2022年秋高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.1條件概率與事件的獨(dú)立性4.1.2乘法公式與全概率公式4.1.3獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系課件新人教B版選擇性必修第二冊

4.1.2乘法公式與全概率公式4.1.3獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系第四章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.結(jié)合古典概型,會用乘法公式計(jì)算概率.2.結(jié)合古典概型,會利用全概率公式計(jì)算概率.*3.了解貝葉斯公式.4.結(jié)合古典概型,理解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系.基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)一乘法公式與全概率公式1.乘法公式:由條件概率的計(jì)算公式P(B|A)=可知,P(BA)=P(A)P(B|A),這就是說,根據(jù)事件A發(fā)生的概率,以及已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,可以求出A與B同時(shí)發(fā)生的概率.一般地,這個(gè)結(jié)論稱為乘法公式.定理1

若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足(1)任意兩個(gè)事件均互斥,即AiAj=?,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n.則對Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且*3.貝葉斯公式:一般地,當(dāng)1>P(A)>0且P(B)>0時(shí),有這稱為貝葉斯公式.定理2

若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足:(1)任意兩個(gè)事件均互斥,即AiAj=?,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.則對Ω中的任意概率非零的事件B,有上述公式也稱為貝葉斯公式.過關(guān)自診1.已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,則P(BA)=

.

答案

0.06

解析P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06.2.已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B|)=0.4,則P(B)=

.

答案

0.35

3.袋子中有三個(gè)紅球、一個(gè)黑球,不放回地摸球,則第二次摸到紅球的概率是

.

知識點(diǎn)二獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系1.事件的相互獨(dú)立性:一般地,當(dāng)P(AB)=P(A)P(B)時(shí),就稱事件A與B相互獨(dú)立(簡稱獨(dú)立).事件A與B相互獨(dú)立的直觀理解是,事件A是否發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率,事件B是否發(fā)生也不會影響事件A發(fā)生的概率.2.獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系:當(dāng)P(B)>0且P(AB)=P(A)P(B)時(shí),由條件概率的計(jì)算公式有,即P(A|B)=P(A).這就是說,此時(shí)事件A發(fā)生的概率與已知事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的概率相等,也就是事件B的發(fā)生,不會影響事件A發(fā)生的概率.類似地,可以看出,如果P(A|B)=P(A),那么一定有P(AB)=P(A)P(B).因此,當(dāng)P(B)>0時(shí),A與B獨(dú)立的充要條件是P(A|B)=P(A).這也就同時(shí)說明,當(dāng)P(A|B)≠P(A)時(shí),事件B的發(fā)生會影響事件A發(fā)生的概率,此時(shí)A與B是不獨(dú)立的.事實(shí)上,“A與B獨(dú)立”也經(jīng)常被說成“A與B互不影響”等.過關(guān)自診1.在某次考試中,甲、乙通過的概率分別為0.7,0.4,若兩人考試相互獨(dú)立,則甲未通過而乙通過的概率為(

)

A.0.28 B.0.12C.0.42 D.0.16答案

B

解析甲未通過的概率為0.3,則甲未通過而乙通過的概率為0.3×0.4=0.12.故選B.答案

A

3.甲、乙兩水文站同時(shí)做水文預(yù)報(bào),如果甲站、乙站各自預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7,那么,在一次預(yù)報(bào)中,甲、乙預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率為(

)A.0.7 B.0.56C.0.64 D.0.8答案

B

解析由題意可知,甲、乙兩站的預(yù)報(bào)準(zhǔn)確率是相互獨(dú)立的,故所求事件的概率P=0.8×0.7=0.56.故選B.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一乘法公式與全概率公式【例1】

1號箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,2號箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1號箱中取出一球放入2號箱,然后從2號箱隨機(jī)取出一球.問從2號箱取出紅球的概率是多少?規(guī)律方法

復(fù)雜事件概率的求法求復(fù)雜事件的概率,往往可以把它分解成若干個(gè)互不相容的簡單事件之并,然后利用條件概率和乘法公式,求出這些簡單事件的概率,最后利用概率的可加性,得到最終結(jié)果,這一方法的一般化就是全概率公式.變式訓(xùn)練1從5件正品、2件次品的7件產(chǎn)品中不放回地取出2件,則第二次取出正品的概率是

.

探究點(diǎn)二事件獨(dú)立性的判斷【例2】把一顆質(zhì)地均勻的骰子任意地?cái)S一次,判斷下列各組事件是否獨(dú)立.(1)A={擲出偶數(shù)點(diǎn)},B={擲出奇數(shù)點(diǎn)};(2)A={擲出偶數(shù)點(diǎn)},B={擲出3的倍數(shù)點(diǎn)};(3)A={擲出偶數(shù)點(diǎn)},B={擲出的點(diǎn)數(shù)小于4}.規(guī)律方法

兩個(gè)事件是否獨(dú)立的判斷(1)直接法:由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.(2)定義法:當(dāng)P(AB)=P(A)P(B)時(shí),事件A,B獨(dú)立.(3)條件概率法:當(dāng)P(A)>0時(shí),可用P(B|A)=P(B)判斷.變式訓(xùn)練2下列事件A,B是獨(dú)立事件的是(

)A.一枚硬幣擲兩次,A=“第一次為正面向上”,B=“第二次為反面向上”B.袋中有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球,不放回地摸兩球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C.擲一枚骰子,A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D.A=“某小烏龜能活到20歲”,B=“這小烏龜能活到50歲”答案

A

解析

對于A選項(xiàng),A,B兩個(gè)事件發(fā)生,沒有關(guān)系,故是相互獨(dú)立事件.對于B選項(xiàng),A事件發(fā)生時(shí),影響到B事件,故不是相互獨(dú)立事件.對于C選項(xiàng),由于投的是一個(gè)骰子,A,B是對立事件,所以不是相互獨(dú)立事件.對于D選項(xiàng),能活到20歲的,可能也能活到50歲,故A,B不是相互獨(dú)立事件.故選A.探究點(diǎn)三相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算【例3】小王某天乘火車從重慶到上海去辦事,若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率;(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率.規(guī)律方法

與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率問題求解策略明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.一般地,已知兩個(gè)事件A,B,它們的概率分別為P(A),P(B),那么:(1)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件A+B.(2)A,B都發(fā)生為事件AB.它們之間的概率關(guān)系如表所示:變式探究

本例條件下,求恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率.

素養(yǎng)培優(yōu)方程(組)思想在概率中的應(yīng)用

規(guī)律方法

已知基本事件的概率求與其有關(guān)的事件的概率時(shí),通常分析相關(guān)事件的性質(zhì),利用條件概率公式、相互獨(dú)立事件公式直接求解;若已知基本事件的相關(guān)概率求基本事件的概率,則需要在分析相關(guān)事件的性質(zhì)后,構(gòu)建方程(組)求解.學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)1.擲一枚硬幣兩次,記事件A=“第一次出現(xiàn)正面”,B=“第二次出現(xiàn)反面”,則有(

)A.A與B相互獨(dú)立 B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A與B互斥

D.P(AB)=答案

A解析

事件A的發(fā)生與否對事件B的發(fā)生沒有影響,故A正確;由于A與B可以同時(shí)發(fā)生,所以事件A與B不互斥,故B,C錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)D,∵A,B相互獨(dú)立,∴P(AB)=P(A)·P(B