復變函數(shù)與積分變換 第四章第二節(jié) 冪級數(shù)課件

1第二節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的斂散性三、冪級數(shù)的運算和性質四、典型例題五、小結與思考1第二節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的斂散性三、冪2一、冪級數(shù)的概念1.復變函數(shù)項級數(shù)定義其中各項在區(qū)域

D內有定義.表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù),記作

2一、冪級數(shù)的概念1.復變函數(shù)項級數(shù)定義其中各項在區(qū)域D內3稱為這級數(shù)的部分和.級數(shù)最前面n項的和和函數(shù)3稱為這級數(shù)的部分和.級數(shù)最前面n項的和和函數(shù)4稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級數(shù)在D內處處收斂,那末它的和一定4稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級數(shù)在D內處處收斂,那52.冪級數(shù)當或函數(shù)項級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).52.冪級數(shù)當或函數(shù)項級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).6二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數(shù)在收斂,那末對的級數(shù)必收斂且絕對收斂,如果在級數(shù)發(fā)散,那末對滿足的級數(shù)必發(fā)散.滿足6二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級7證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對所有的n,7證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對所有的8而由正項級數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請課后完成.[證畢]8而由正項級數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請課后完成92.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù),其收斂的情況有三種:(1)對所有的正實數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級數(shù)在復平面內處處絕對收斂.92.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù),其收斂的情況有三種10(2)對所有的正實數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時,級數(shù)在復平面內除原點外處處發(fā)散.(3)存在正實數(shù)R,使得|z|<R時級數(shù)絕對收斂使得|z|>R時級數(shù)發(fā)散10(2)對所有的正實數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時,級數(shù)11.收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.11.收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.12答案:冪級數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問題1:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結論,要對具體級數(shù)進行具體分析.注意問題2:冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?12答案:冪級數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問題1:133.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑133.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑14方法2:根值法那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果14方法2:根值法那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果15三、冪級數(shù)的運算和性質1.冪級數(shù)的有理運算15三、冪級數(shù)的運算和性質1.冪級數(shù)的有理運算162.冪級數(shù)的代換(復合)運算如果當時,又設在內解析且滿足那末當時,說明:此代換運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).162.冪級數(shù)的代換(復合)運算如果當時,又設在內解析且滿17定理四設冪級數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內的導數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到,是收斂圓內的解析函數(shù)

.(1)3.復變冪級數(shù)在收斂圓內的性質17定理四設冪級數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內的導數(shù)可將18(3)在收斂圓內可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內,冪級數(shù)的和函數(shù)解析;冪級數(shù)可逐項求導,逐項積分.(常用于求和函數(shù))即18(3)在收斂圓內可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內,19四、典型例題例1

求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的部分和為19四、典型例題例1求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的20級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內,級數(shù)絕對收斂,收斂半徑為1,20級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理21解所以例2求的收斂半徑.21解所以例2求的22例3把函數(shù)表成形如的冪級數(shù),其中是不相等的復常數(shù).解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出22例3把函數(shù)表成形如的冪級數(shù),其中是不相等的復常數(shù).解23級數(shù)收斂,且其和為23級數(shù)收斂,且其和為24例4求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項積分,得:所以24例4求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項積分,得:25例5計算解25例5計算解26第二節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的斂散性三、冪級數(shù)的運算和性質四、典型例題五、小結與思考1第二節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的斂散性三、冪27一、冪級數(shù)的概念1.復變函數(shù)項級數(shù)定義其中各項在區(qū)域

D內有定義.表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù),記作

2一、冪級數(shù)的概念1.復變函數(shù)項級數(shù)定義其中各項在區(qū)域D內28稱為這級數(shù)的部分和.級數(shù)最前面n項的和和函數(shù)3稱為這級數(shù)的部分和.級數(shù)最前面n項的和和函數(shù)29稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級數(shù)在D內處處收斂,那末它的和一定4稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級數(shù)在D內處處收斂,那302.冪級數(shù)當或函數(shù)項級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).52.冪級數(shù)當或函數(shù)項級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).31二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數(shù)在收斂,那末對的級數(shù)必收斂且絕對收斂,如果在級數(shù)發(fā)散,那末對滿足的級數(shù)必發(fā)散.滿足6二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級32證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對所有的n,7證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對所有的33而由正項級數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請課后完成.[證畢]8而由正項級數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請課后完成342.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù),其收斂的情況有三種:(1)對所有的正實數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級數(shù)在復平面內處處絕對收斂.92.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù),其收斂的情況有三種35(2)對所有的正實數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時,級數(shù)在復平面內除原點外處處發(fā)散.(3)存在正實數(shù)R,使得|z|<R時級數(shù)絕對收斂使得|z|>R時級數(shù)發(fā)散10(2)對所有的正實數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時,級數(shù)36.收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.11.收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.37答案:冪級數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問題1:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結論,要對具體級數(shù)進行具體分析.注意問題2:冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?12答案:冪級數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問題1:383.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑133.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑39方法2:根值法那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果14方法2:根值法那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果40三、冪級數(shù)的運算和性質1.冪級數(shù)的有理運算15三、冪級數(shù)的運算和性質1.冪級數(shù)的有理運算412.冪級數(shù)的代換(復合)運算如果當時,又設在內解析且滿足那末當時,說明:此代換運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).162.冪級數(shù)的代換(復合)運算如果當時,又設在內解析且滿42定理四設冪級數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內的導數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到,是收斂圓內的解析函數(shù)

.(1)3.復變冪級數(shù)在收斂圓內的性質17定理四設冪級數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內的導數(shù)可將43(3)在收斂圓內可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內,冪級數(shù)的和函數(shù)解析;冪級數(shù)可逐項求導,逐項積分.(常用于求和函數(shù))即18(3)在收斂圓內可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內,44四、典型例題例1

求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的部分和為19四、典型例題例1求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的45級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內,級數(shù)絕對收斂,收斂半徑為1,20級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理46解所以例2求的收斂半徑.21解所以例2求的47例3把函數(shù)表成形如的冪級