遼寧省盤(pán)錦市2023學(xué)年高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)2．設(shè)且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為8，則實(shí)數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．34．若x，y滿(mǎn)足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3206．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．7．已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，若，則A． B．C． D．8．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C．2 D．9．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減11．已知雙曲線(xiàn)：（，）的右焦點(diǎn)與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A．2 B． C． D．312．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，則數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為_(kāi)____14．平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.15．如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正三角形中，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，將沿線(xiàn)段進(jìn)行翻折，得到右圖所示的圖形，翻折后的點(diǎn)在線(xiàn)段上，則線(xiàn)段的最小值為_(kāi)______．16．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則點(diǎn)表示的區(qū)域面積為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿(mǎn)分10分）已知矩陣A＝(k≠0)的一個(gè)特征向量為α＝，A的逆矩陣A－1對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(3，1)變?yōu)辄c(diǎn)(1，1)．求實(shí)數(shù)a，k的值．18．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求的值．20．（12分）如圖，在三棱柱中，已知四邊形為矩形，，，，的角平分線(xiàn)交于.（1）求證:平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，并證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類(lèi)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】項(xiàng)，由得到，則，故項(xiàng)正確；項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，該不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上所述，故選．3．A【解析】

先求的展開(kāi)式，再分類(lèi)分析中用哪一項(xiàng)與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出的值.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)取時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為由題知，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式中的系數(shù)問(wèn)題，其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類(lèi)討論，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以在點(diǎn)處取得最大值，則，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．5．C【解析】

首先把看作為一個(gè)整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開(kāi)式求得的系數(shù)，再求的展開(kāi)式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.7．A【解析】

由可得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，故選A．8．D【解析】

把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.9．D【解析】

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再寫(xiě)出其共軛復(fù)數(shù)，得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．得結(jié)論．【詳解】，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．10．C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

由已知，圓心M到漸近線(xiàn)的距離為，可得，又，解方程即可.【詳解】由已知，，漸近線(xiàn)方程為，因?yàn)閳A被雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心M到漸近線(xiàn)的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的問(wèn)題，涉及到直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.12．A【解析】

分別代值計(jì)算可得，觀(guān)察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問(wèn)題得以解決.【詳解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，

，

，

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用：求數(shù)列中的項(xiàng)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由已知可得?4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1時(shí)，a1＝S1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.【詳解】∵⊥，∴?4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn，n＝1時(shí)，a1＝S1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1.，滿(mǎn)足上式，.∴2（）.∴數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為2（1）＝2（1）.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.14．【解析】

作出平面區(qū)域，可知平面區(qū)域?yàn)槿切?，求出三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)三角形的外接圓方程為，將三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示：由圖可知，平面區(qū)域?yàn)?，?lián)立，解得，則點(diǎn)，同理可得點(diǎn)、，設(shè)的外接圓方程為，由題意可得，解得，，，因此，所求圓的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓方程的求解，同時(shí)也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15．【解析】

設(shè)，，在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù)，從而可得的最小值．【詳解】解：設(shè)，，則，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴，∴當(dāng)即時(shí)，取得最小值．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用，屬中檔題．16．【解析】

先畫(huà)出滿(mǎn)足條件的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用定積分即可求解.【詳解】畫(huà)出實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足表示的平面區(qū)域，如圖（陰影部分）：則陰影部分的面積，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．解：設(shè)特征向量為α＝對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則＝λ，即因?yàn)閗≠0，所以a＝2．5分因?yàn)?，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝2．綜上，a＝2，k＝2．20分【解析】試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k考點(diǎn)：特征向量,逆矩陣點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算，考查逆矩陣．18．（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，，則且為的中點(diǎn)，又∵為的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，故平面．（2）由平面，得，．以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，．取平面的一個(gè)法向量為，由，得：，令，得同理可得平面的一個(gè)法向量為∵平面平面，∴解得，得，又，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則.所以，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是．19．（1）（2）【解析】

（1）依題意,任意角的三角函數(shù)的定義可知,,進(jìn)而求出．在利用余弦的和差公式即可求出.（2）根據(jù)鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,得出,進(jìn)而得出,利用正弦的和差公式即可求出,結(jié)合為銳角,為鈍角,即可得出的值.【詳解】解：因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn),點(diǎn)的縱坐標(biāo)是,所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知,．從而．（1）于是．（2）因?yàn)殁g角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,所以,從而．于是．因?yàn)闉殇J角,為鈍角,所以從而．【點(diǎn)睛】本題本題考查正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義,考查正弦余弦的兩角和差公式,是基礎(chǔ)題.20．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，連接，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的全等，證得，，由線(xiàn)面垂直的判斷定理證得平面，再由面面垂直的判斷得證.（2）平面幾何知識(shí)和線(xiàn)面的關(guān)系可證得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)二面角的向量計(jì)算公式可求得其值.【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，連接，，，又為的角平分線(xiàn)，四邊形為正方形，，又，，，，，又為的中點(diǎn)，又平面，，平面，又平面，平面平面，（2）在中，，，，在中，，，又，，，，又，，平面，平面，故建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，得,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，得，由圖示可知二面角是銳角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間的面面垂直關(guān)系的證明，二面角的計(jì)算，在證明垂直關(guān)系時(shí)，注意運(yùn)用平面幾何中的等腰三角形的“三線(xiàn)合一”，勾股定理、菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，屬于基礎(chǔ)題.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.【解析】

（Ⅰ），，兩式相減化簡(jiǎn)整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（Ⅱ）由題設(shè)可得，可得，利用錯(cuò)位相減法即可得出．【詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)椋?，兩式相減可得，，故，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，∴，又，所以，故，所以；（Ⅱ）由題設(shè)可得，所以，所以，①則，②①－②得：，所以，