2022年秋高中數(shù)學(xué)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最玄乘估計(jì)課件新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)第八章課標(biāo)要求1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念,會(huì)通過(guò)殘差分析判斷線性回歸模型的擬合效果.2.了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

一元線性回歸模型

我們稱該式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中,Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.過(guò)關(guān)自診判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)兩個(gè)變量之間產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因僅僅是因?yàn)闇y(cè)量工具產(chǎn)生的誤差.(

)(2)在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí),響應(yīng)變量在x軸上,解釋變量在y軸上.(

)(3)隨機(jī)誤差一般是不可觀測(cè)的隨機(jī)變量.(

)××√知識(shí)點(diǎn)2

一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)1.經(jīng)驗(yàn)回歸方程2.殘差與殘差分析對(duì)于響應(yīng)變量Y,通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值,通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的

稱為預(yù)測(cè)值,觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果,通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果,以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等,這方面工作稱為殘差分析.在殘差圖中,當(dāng)殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說(shuō)明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.(

)(2)殘差平方和越接近0,線性回歸模型的擬合效果越好.(

)(3)R2越小,線性回歸模型的擬合效果越好.(

)(4)進(jìn)行回歸分析前,要先進(jìn)行相關(guān)性的分析.(

)(5)經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心().(

)×√×√√2.在回歸分析中,利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出的值一定是真實(shí)值嗎?為什么?提示

不一定是真實(shí)值.利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出的值,在很多時(shí)候只是預(yù)測(cè)值,例如,人的體重與身高存在一定的線性相關(guān)關(guān)系,但體重除了受身高的影響外,還受其他因素的影響,如飲食、是否喜歡運(yùn)動(dòng)等.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求經(jīng)驗(yàn)回歸方程【例1】

某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得下表數(shù)據(jù):x681012y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力.解(1)散點(diǎn)圖如圖:規(guī)律方法

求經(jīng)驗(yàn)回歸方程:變式訓(xùn)練1(2022陜西咸陽(yáng)月考)某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度,并將所得數(shù)據(jù)分成五組,繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)(結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)的形式);(2)為了解該車間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作年限有關(guān),現(xiàn)從車間所有工人中隨機(jī)調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡(參加工作的年限),所得數(shù)據(jù)如表:工齡x(單位:年)4681012生產(chǎn)速度y(單位:件/小時(shí))4257626267根據(jù)上表數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程解

(1)由頻率分布直方圖可知,(0.006+0.016+0.026+a+0.016)×10=1,解得a=0.036,∵0.06+0.16+0.26=0.48<0.5,0.06+0.16+0.26+0.36=0.84>0.5,∴中位數(shù)位于50~60之間,設(shè)中位數(shù)為m,則0.06+0.16+0.26+0.036(m-50)=0.5,探究點(diǎn)二回歸分析【例2】

某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績(jī)y的數(shù)據(jù)如下:次數(shù)x3033353739444650成績(jī)y3034373942464851(1)作出散點(diǎn)圖;(2)建立成績(jī)y關(guān)于次數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)作出殘差圖;(4)計(jì)算R2,并用R2說(shuō)明擬合效果的好壞.解(1)該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績(jī)y之間的散點(diǎn)圖如圖所示,由散點(diǎn)圖可知,它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系.(3)某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與成績(jī)之間的數(shù)據(jù)及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)為

殘差圖如圖所示.由圖可知,殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說(shuō)明選用的模型比較合適.(4)計(jì)算得R2≈0.985

5.說(shuō)明擬合效果較好.規(guī)律方法

1.解答本類題目應(yīng)先通過(guò)散點(diǎn)圖、樣本相關(guān)系數(shù)來(lái)分析兩個(gè)變量是否線性相關(guān),再利用求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的公式求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并利用殘差圖或R2來(lái)分析模型的擬合效果.2.“R2、殘差圖”在回歸分析中的作用:(1)R2是用來(lái)刻畫回歸效果的,由R2=1-,可知R2越大,意味著殘差平方和越小,也就是說(shuō)模型的擬合效果越好.(2)殘差圖也是用來(lái)刻畫回歸效果的,判斷依據(jù)是:殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說(shuō)明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定.變式訓(xùn)練2在一段時(shí)間內(nèi),某種商品的價(jià)格x(單位:元)和需求量y(單位:件)之間的一組數(shù)據(jù)如下:x/元1416182022y/件1210753已知x與y線性相關(guān),求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并用R2說(shuō)明擬合效果的好壞.探究點(diǎn)三求非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程【例3】

某地區(qū)六年來(lái)輕工業(yè)產(chǎn)品利潤(rùn)總額y(單位:億元)與年次x的數(shù)據(jù)如下:年次x123456利潤(rùn)總額y/億元11.3511.8512.4413.0713.5914.41由經(jīng)驗(yàn)知,年次x與利潤(rùn)總額y(單位:億元)近似有如下關(guān)系:y=abxe0.其中a,b均為正數(shù),求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.解對(duì)y=abxe0兩邊取自然對(duì)數(shù),得ln

y=ln

ae0+xln

b.令z=ln

y,則z與x的數(shù)據(jù)如下表:x123456z2.432.472.522.572.612.67由z=ln

ae0+xln

b及最小二乘法,得ln

b≈0.047

7,ln

ae0≈2.378,規(guī)律方法

非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法

變式訓(xùn)練3某展會(huì)一天上午9點(diǎn)半到下午2點(diǎn)的即時(shí)參觀人數(shù)如下表:時(shí)間x9.51010.51111.51212.51313.514人數(shù)y/萬(wàn)12.3920.0225.5730.2635.7737.5740.2340.9541.7343.71已知時(shí)間與參觀人數(shù)具有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系,試求出這段時(shí)間內(nèi)即時(shí)參觀人數(shù)關(guān)于時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.解根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如圖所示.由圖可以看出,樣本點(diǎn)分布在某條對(duì)數(shù)型函數(shù)曲線y=a+bln

x

的周圍.令z=ln

x,則y=a+bz,故y與z具有線性相關(guān)關(guān)系.可知y與z的數(shù)據(jù)如下表:z2.252.302.352.402.442.482.532.562.602.64人數(shù)y/萬(wàn)12.3920.0225.5730.2635.7737.5740.2340.9541.7343.71本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)一元線性回歸模型;(2)最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法;(3)對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析:殘差圖法、殘差平方和法和R2法.2.方法歸納:代入法、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū):(1)不判斷變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系;(2)盲目求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程致誤.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.已知甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x,y的模型時(shí),分別選擇了4種不同模型,計(jì)算它們的R2分別如下表:學(xué)生甲乙丙丁R20.980.780.500.85則建立的模型擬合效果最好的是(

)A.甲

B.乙

C.丙

D.丁答案A

解析

因?yàn)镽2的值越大,模型擬合效果越好,所以甲的擬合效果最好.答案B

3.(2022貴州貴陽(yáng)模擬)某公司為了確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:萬(wàn)元)對(duì)年銷售量y(單位:千件)的影響.現(xiàn)收集了近5年的年宣傳費(fèi)x(單位:萬(wàn)元)和年銷售量y(單位:千件)的數(shù)據(jù),其數(shù)據(jù)如下表所示,且y關(guān)于x的線性回歸方程為

x-8.2,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)x4681012y1571418A.x,y之間呈正相關(guān)關(guān)系

C.該經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(8,7)D.當(dāng)該產(chǎn)品的年宣傳費(fèi)為20萬(wàn)元時(shí),預(yù)測(cè)其年銷售量為34800件答案C

故當(dāng)該產(chǎn)品的年宣傳費(fèi)為20萬(wàn)元時(shí),預(yù)測(cè)其年銷售量為34800件,故選項(xiàng)D正確.故選C.4.某課題組調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬(wàn)元)和年飲食支出y(單位:萬(wàn)元)的情況,調(diào)查結(jié)果顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

=0.254x+0.321.由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可知,家庭年收入每增加1萬(wàn)元,年