2023屆 高三高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 一元二次不等式的解法 課件 91張

第3講一元二次不等式的解法第二章不等式1基礎(chǔ)知識整合PARTONE交點(diǎn)大于判別式Δ≥0兩相異兩相等沒有

x<x1或x>x2

x1<x<x2?R?1．a(chǎn)x2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．a(chǎn)x2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．1．(2022·福建漳州模擬)設(shè)集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，則(?RS)∪T＝(

)A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析由題意得T＝{x|－4≤x≤1}，根據(jù)補(bǔ)集定義，?RS＝{x|x≤－2}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤1}．答案解析答案解析答案解析答案解析答案－14答案解析6．(2022·安徽蕪湖模擬)不等式mx2＋mx＋1>0對一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.答案[0,4)答案解析2核心考向突破PARTTWO多角度探究突破考向一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2<6x－10.解解解(4)原不等式可化為x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0無實(shí)數(shù)根，畫出函數(shù)y＝x2－6x＋10的圖象如圖④所示，由圖象可得原不等式的解集為?.解解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計(jì)算對應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實(shí)根(無實(shí)根時(shí)，不等式的解集為R或?)．(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根．(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．解解解例2

(2021·山東省棗莊市第三中學(xué)高三學(xué)情調(diào)查)解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解解解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的方法(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)討論二次項(xiàng)系數(shù)是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對應(yīng)的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集；確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．解原不等式化為(x－a)(x－a2)>0.①當(dāng)a2－a>0，即a>1或a<0時(shí)，解不等式，得x>a2或x<a；②當(dāng)a2－a<0，即0<a<1時(shí)，解不等式，得x<a2或x>a；③當(dāng)a2－a＝0，即a＝0或a＝1時(shí)，解不等式，得x≠a.綜上，當(dāng)a>1或a<0時(shí)，不等式的解集為{x|x>a2或x<a}；當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠a}．解

2.解不等式：x2－(a2＋a)x＋a3>0.解解答案解析例4

(1)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集為{x|－2<x<1}，則函數(shù)y＝f(－x)的圖象為(

)答案解析考向二三個(gè)二次的關(guān)系答案解析答案解析已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應(yīng)的一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出相應(yīng)的系數(shù)．注意結(jié)合不等式解集的形式判斷二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)．答案解析答案(－2，－1)(答案不唯一)答案解析多角度探究突破答案考向三一元二次不等式恒成立問題例5

(1)(2022·豫西南五校聯(lián)考)已知關(guān)于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是(

)A．[0,1]B．(0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析(2)若關(guān)于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，2] B．(－∞，－2)C．(－2,2) D．(－2,2]答案解析一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0答案解析答案解析(2)若對于x∈[1,3]，mx2－mx＋m－6<0(m≠0)恒成立，則m的取值范圍是________.答案解析解析(3)若mx2－mx－1<0對于m∈[1,2]恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________.答案解析在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.(3)對于以下兩種題型，可以利用二次函數(shù)在端點(diǎn)m，n處的取值特點(diǎn)確定不等式求范圍．①ax2＋bx＋c<0(a>0)對x∈[m，n]恒成立；②ax2＋bx＋c>0(a<0)對x∈[m，n]恒成立．提醒：一般地，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元；求誰的范圍，誰就是參數(shù)．如本例(2)中建立關(guān)于x的函數(shù)，m為參數(shù)，本例(3)中建立關(guān)于m的函數(shù)，x為參數(shù)．答案解析8．(2022·山東濟(jì)寧月考)已知函數(shù)f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在區(qū)間(m－1，－2m)上恒成立．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.答案解析答案解析解析解決不等式能成立問題的策略一般也是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，即a>f(x)能成立?a>f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.答案解析已知關(guān)于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若該不等式的解集為(－4,2)，求a，b的值；(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．自主培優(yōu)（三）分類討論思想在不等式中的應(yīng)用解(2)當(dāng)b＝a＋1時(shí)，－x2＋ax＋b>0?x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.當(dāng)a＋1＝－1，即a＝－2時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)a＋1<－1，即a<－2時(shí)，原不等式的解集為(a＋1，－1)；當(dāng)a＋1>－1，即a>－2時(shí)，原不等式的解集為(－1，a＋1)．綜上，當(dāng)a<－2時(shí)，不等式的解集為(a＋1，－1)；當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a>－2時(shí)，不等式的解集為(－1，a＋1)．解答題啟示解一元二次不等式時(shí)，心中要有對應(yīng)一元二次函數(shù)的圖象(拋物線)，主要是弄清拋物線的開口方向、與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由此想到解含參數(shù)的一元二次不等式，首先按二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)、零三類討論，二次項(xiàng)系數(shù)非零時(shí)，再按判別式為正、負(fù)、零三類討論，判別式非負(fù)時(shí)(如本例)，再按對應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)根的大小關(guān)系分類討論．解對點(diǎn)訓(xùn)練(2021·廈門模擬)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．3課時(shí)作業(yè)PARTTHREE解析在C項(xiàng)中，對于方程x2＋6x＋10＝0，因?yàn)棣ぃ?6－40＝－4<0，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集為R.答案解析答案解析3．(2022·淄博二模)已知某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每臺產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是(

)A．100臺

B．120臺

C．150臺

D．180臺解析由已知得，產(chǎn)量為x臺時(shí)，總售價(jià)為25x.欲使生產(chǎn)者不虧本，必須滿足25x≥3000＋20x－0.1x2，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故欲使生產(chǎn)者不虧本，最低產(chǎn)量是150臺．故選C.答案解析答案解析當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x＋2，代入不等式f(x)>x2得x＋2<x2，即(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，所以不等式f(x)<x2的解集為(2，＋∞)；當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x－2，代入不等式f(x)<x2得x－2<x2，解得x∈R，所以不等式f(x)<x2的解集為(－∞，0]．綜上，不等式f(x)<x2的解集為(－∞，0]∪(2，＋∞)．故選A.解析答案解析6．(2021·皖南八校聯(lián)考)若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，則“a∈(2,3)”是“B?A”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案解析7．(2022·濟(jì)寧調(diào)研)已知a，b，c，d都是常數(shù)，a>b，c>d.若f(x)＝2022－(x－a)(x－b)的零點(diǎn)為c，d，則下列不等式正確的是(

)A．a(chǎn)>c>b>d B．a(chǎn)>b>c>dC．c>d>a>b D．c>a>b>d解析f(x)＝2022－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2022，又f(a)＝f(b)＝2022，c，d為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示．由圖可知c>a>b>d，故選D.答案解析8．(2021·青島模擬)若不等式x2＋px>4x＋p－3，當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立，則x的取值范圍是(

)A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案解析答案解析答案解析解析因?yàn)椴坏仁絒x]2＋[x]－12≤0，所以([x]－3)([x]＋4)≤0，所以－4≤[x]≤3，又因?yàn)閇