高等代數(shù)線性變換公開課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

第七章線性變換7.1線性映射7.2線性變換運(yùn)算7.3線性變換和矩陣7.4不變子空間7.5特征值和特征向量7.6能夠?qū)腔仃囌n外學(xué)習(xí)8：一類特殊矩陣特征值當(dāng)代數(shù)和幾何結(jié)合成伴侶時(shí)，他們就相互吸收對(duì)方新鮮活力，并快速地趨于完美。---拉格朗日（Lagrange,1736-1813）數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少知覺，形少數(shù)時(shí)難入微。---華羅庚（1910－1985）7.1線性映射一、內(nèi)容分布7.1.1線性映射定義、例.7.1.2線性變換象與核.二、教學(xué)目標(biāo):1．準(zhǔn)確線性變換（線性映射）定義，判斷給定法則是否是一個(gè)線性變換（線性映射）．2．正確了解線性變換象與核概念及相互間聯(lián)絡(luò)，并能求給定線性變換象與核．三、重點(diǎn)難點(diǎn):判斷給定法則是否是一個(gè)線性變換（線性映射），求給定線性變換象與核．

7.1.1線性映射定義、例

設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，V和W是F上向量空間.

定義1

設(shè)σ是V到W一個(gè)映射.假如以下條件被滿足，就稱σ是V到W一個(gè)線性映射：①對(duì)于任意

②對(duì)于任意輕易證實(shí)上面兩個(gè)條件等價(jià)于下面一個(gè)條件：③對(duì)于任意

和任意在②中取，對(duì)③進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納，能夠得到：（1）（2）例1

對(duì)于

每一向量

定義

σ是

到

一個(gè)映射，我們證實(shí)，σ是一個(gè)線性映射.

例2

令H是

中經(jīng)過原點(diǎn)一個(gè)平面.對(duì)于每一向量ξ，令

表示向量ξ在平面H上正射影.依據(jù)射影性質(zhì)，

是

到

一個(gè)線性映射.

例3

令A(yù)是數(shù)域F上一個(gè)m×n矩陣，對(duì)于n元列空間

每一向量

要求：

是一個(gè)m×1矩陣，即是空間

一個(gè)向量，σ是

到

一個(gè)線性映射.例4

令V和W是數(shù)域F上向量空間.對(duì)于V每一向量ξ令W零向量0與它對(duì)應(yīng)，輕易看出這是V到W一個(gè)線性映射，叫做零映射.

例5

令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，取定F一個(gè)數(shù)k，對(duì)于任意

定義輕易驗(yàn)證，σ是V到本身一個(gè)線性映射，這么一個(gè)線性映射叫做V一個(gè)位似.

尤其，取k=1，那么對(duì)于每一

都有

這時(shí)σ就是V到V恒等映射，或者叫做V單位映射，假如取k=0，那么σ就是V到V零映射.

例6

取定F一個(gè)n元數(shù)列

對(duì)于每一向量

要求

輕易驗(yàn)證，σ是

到F一個(gè)線性映射，這個(gè)線性映射也叫做F上一個(gè)n元線性函數(shù)或

上一個(gè)線性型.

例7

對(duì)于F[x]每一多項(xiàng)式f（x），令它導(dǎo)數(shù)

與它對(duì)應(yīng)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)基本性質(zhì)，這么定義映射是F[x]到本身一個(gè)線性映射.

例8

令C[a,b]是定義在[a,b]上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)所成R上向量空間，對(duì)于每一

要求

仍是[a,b]上一個(gè)連續(xù)實(shí)函數(shù)，依據(jù)積分基本性質(zhì)，σ是C[a,b]到本身一個(gè)線性映射.

7.1.2線性變換象與核定義2

設(shè)σ是向量空間V到W一個(gè)線性映射,(1)假如

那么

叫做

在σ之下象.(2)設(shè)

那么

叫做

在σ

之下原象.定理7.1.1

設(shè)V和W是數(shù)域F上向量空間，而

是一個(gè)線性映射，那么V任意子空間在σ之下象是W一個(gè)子空間，而W任意子空間在σ之下原象是V一個(gè)子空間.

尤其，向量空間V在σ之下象是W一個(gè)子空間，叫做σ象,記為

即另外，W零子空間{0}在σ之下原象是V一個(gè)子空間，叫做σ核，記為即定理7.1.2

設(shè)V和W是數(shù)域F向量空間，而是一個(gè)線性映射，那么(i)σ是滿射(ii)σ是單射證實(shí)

論斷(i)是顯然,我們只證論斷(ii)假如σ是單射,那么ker(σ)只能是含有唯一零向量.反過來設(shè)ker(σ)={0}.假如

那么

從而

所以

即σ是單射.假如線性映射

有逆映射，那么是W到V一個(gè)線性映射.

提議同學(xué)給出證實(shí).

7.2線性變換運(yùn)算

一、內(nèi)容分布7.2.1加法和數(shù)乘7.2.2線性變換積7.2.3線性變換多項(xiàng)式二、教學(xué)目標(biāo):掌握線性映射加法、數(shù)乘和積定義，會(huì)做運(yùn)算.掌握線性變換多項(xiàng)式,能夠求出給定線性變換多項(xiàng)式.三、重點(diǎn)難點(diǎn):

會(huì)做運(yùn)算.7.2.1加法和數(shù)乘

令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，V到本身一個(gè)線性映射叫做V一個(gè)線性變換.我們用L（V）表示向量空間和一切線性變換所成集合，設(shè)定義:

加法:

數(shù)乘:,那么是V一個(gè)線性變換.能夠證實(shí):和

都是V一個(gè)線性變換.

令，那么對(duì)于任意

和任意

證實(shí)

所以

是V一個(gè)線性變換

令，那么對(duì)于任意

和任意

所以kσ是V一個(gè)線性變換.

線性變換加法滿足變換律和結(jié)合律,輕易證實(shí),對(duì)于任意,以下等式成立:

(1)(2)令θ表示V到本身零映射,稱為V零變換,它顯然含有以下性質(zhì)：對(duì)任意

有：

(3)設(shè)

σ負(fù)變換－σ指是V到V映射輕易驗(yàn)證，－σ也是V線性變換，而且

（4）線性變換數(shù)乘滿足以下算律：這里k,l是F中任意數(shù)，σ,τ是V任意線性變換.定理7.2.1

L（V）對(duì)于加法和數(shù)乘來說作成數(shù)域F上一個(gè)向量空間.

7.2.2線性變換積

設(shè)

輕易證實(shí)合成映射

也是V上線性變換，即

我們也把合成映射

叫做σ與τ積，而且簡(jiǎn)記作στ。除上面性質(zhì)外，還有：對(duì)于任意

成立。證實(shí)

我們驗(yàn)證一下等式（9）其余等式能夠類似地驗(yàn)證。設(shè)

我們有因而（9）成立。7.2.3線性變換多項(xiàng)式

線性變換乘法滿足結(jié)合律：

對(duì)于任意

都有

所以,我們能夠合理地定義一個(gè)線性變換σn次冪

這里n是正整數(shù)。我們?cè)俣x

這里ι表示V到V單位映射，稱為V單位變換。這么一來，一個(gè)線性變換任意非負(fù)整數(shù)冪有意義。

深入，設(shè)

是F上一個(gè)多項(xiàng)式，而

以σ代替x，以

代替，得到V一個(gè)線性變換

這個(gè)線性變換叫做當(dāng)

時(shí)f(x)值，而且記作

（1）因?yàn)閷?duì)于任意

我們也可將

簡(jiǎn)記作，這時(shí)能夠?qū)懀?）帶入法：假如而且

那么依據(jù)L(V)中運(yùn)算所滿足性質(zhì),我們有

7.3線性變換和矩陣

一、內(nèi)容分布

7.3.1線性變換矩陣7.3.2坐標(biāo)變換7.3.3矩陣唯一確定線性變換7.3.4線性變換在不一樣基下矩陣—相同矩陣二、教學(xué)目標(biāo)

1．熟練地求出線性變換關(guān)于給定基矩陣Ａ，以及給定n階矩陣Ａ和基，求出關(guān)于這個(gè)基矩陣為Ａ線性變換．2．由向量α關(guān)于給定基坐標(biāo)，求出σ(α)關(guān)于這個(gè)基坐標(biāo)．3．已知線性變換關(guān)于某個(gè)基矩陣，熟練地求出σ關(guān)于另一個(gè)基矩陣。三、重點(diǎn)難點(diǎn)線性變換和矩陣之間相互轉(zhuǎn)換,坐標(biāo)變換,相同矩陣。7.3.1線性變換矩陣

現(xiàn)在設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，令σ是V一個(gè)線性變換，取定V一個(gè)基令

………設(shè)

N階矩陣A叫做線性變換σ關(guān)于基矩陣.上面表示經(jīng)常寫出更方便形式:(1)7.3.2坐標(biāo)變換設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間,

是它一個(gè)基,ξ關(guān)于這個(gè)基坐標(biāo)是

而σ(ξ)坐標(biāo)是

問:和

之間有什么關(guān)系?

設(shè)因?yàn)棣沂蔷€性變換，所以

（2）將（1）代入（2）得最終，等式表明，坐標(biāo)所組成列是

綜合上面所述,我們得到坐標(biāo)變換公式：定理7.3.1令V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，σ是V一個(gè)線性變換，而σ關(guān)于V一個(gè)基

矩陣是

假如V中向量ξ關(guān)于這個(gè)基坐標(biāo)是，而σ(ξ)坐標(biāo)是

，

那么例1在空間

內(nèi)取從原點(diǎn)引出兩個(gè)彼此正交單位向量

作為

基.令σ是將

每一向量旋轉(zhuǎn)角θ一個(gè)旋轉(zhuǎn).σ是

一個(gè)線性變換.我們有

所以σ關(guān)于基

矩陣是設(shè)，它關(guān)于基

坐標(biāo)是,而

坐標(biāo)是.那么

7.3.3矩陣唯一確定線性變換

引理7.3.2設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，

是V一個(gè)基，那么對(duì)于V中任意

n個(gè)向量，有且僅有V一個(gè)線性變換σ，使得:證

設(shè)

是V中任意向量.我們以下地定義V到本身一個(gè)映射σ：我們證實(shí)，σ是V一個(gè)線性變換。設(shè)那么

于是

設(shè)

那么

這就證實(shí)了σ是V一個(gè)線性變換。線性變換σ顯然滿足定理所要求條件：假如τ是V一個(gè)線性變換，且

那么對(duì)于任意從而■定理7.3.3

設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，

是V一個(gè)基，對(duì)于V每一個(gè)線性變換σ，令σ關(guān)于基

矩陣A與它對(duì)應(yīng)，這么就得到V全體線性變換所成集合L（V）到F上全體n階矩陣所成集合

一個(gè)雙射，而且假如,而，則(3)

(4)

證設(shè)線性變換σ關(guān)于基

矩陣是A。那么

是

一個(gè)映射。是F上任意一個(gè)n階矩陣。令

由引理7.3.2，存在唯一

使

反過來，設(shè)顯然σ關(guān)于基

矩陣就是A.這就證實(shí)了如上建立映射是

雙射.

設(shè)

我們有

因?yàn)棣沂蔷€性變換,所以

所以

所以στ關(guān)于基

矩陣就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是顯然?！跬普?.3.4

設(shè)數(shù)域F上n維向量空間V一個(gè)線性變換σ關(guān)于V一個(gè)取定基矩陣是A，那么σ可逆必要且只要A可逆，而且關(guān)于這個(gè)基矩陣就是

.證

設(shè)σ可逆。令

關(guān)于所取定基矩陣是B。由（7），

然而單位變換關(guān)于任意基矩陣都是單位矩陣I.所以AB=I.同理BA=I.所以注意到（5），能夠看出

同理

所以σ有逆，而

□

反過來，設(shè)

而A可逆。由定理7.3.3，有

于是

我們需要對(duì)上面定理7.3.1和定理7.3.3深刻意義加以說明:

1.取定n維向量空間V一個(gè)基之后,在映射:

之下,

(作為線性空間)研究一個(gè)抽象線性變換σ,就能夠轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)詳細(xì)矩陣.也就是說,線性變換就是矩陣.以后,能夠經(jīng)過矩陣來研究線性變換,也能夠經(jīng)過線性變換來研究矩陣.2.我們知道,數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間V同構(gòu)于,V上線性變換

轉(zhuǎn)化為

上一個(gè)詳細(xì)變換:

也就是說,線性變換都含有上述形式.

7.3.4線性變換在不一樣基下矩陣

——相同矩陣

定義：設(shè)A，B是數(shù)域F上兩個(gè)n階矩陣.假如存在F上一個(gè)n階可逆矩陣T使等式

成立，那么就說B與A相同，記作：.n階矩陣相同關(guān)系含有以下性質(zhì)：1.自反性：每一個(gè)n階矩陣A都與它自己相同，因?yàn)?.對(duì)稱性：假如，那么；

因?yàn)橛?.傳遞性：假如且那么實(shí)際上，由

得設(shè)線性變換σ關(guān)于基

矩陣是A,σ關(guān)于基

矩陣是B,由基

到基

過渡矩陣T,即:定理7.3.4

在上述假設(shè)下,有:

即:線性變換在不一樣基下矩陣是相同.反過來,一對(duì)相同矩陣能夠是同一個(gè)線性變換在不一樣基下矩陣.證實(shí)留做練習(xí)7.4不變子空間一、內(nèi)容分布

7.4.1定義與基本例子7.4.2不變子空間和線性變換矩陣化簡(jiǎn)7.4.3深入例子二、教學(xué)目標(biāo)

1．掌握不變子空間定義及驗(yàn)證一個(gè)子空間是否某線性變換不變子空間方法．2．會(huì)求給定線性變換一些不變子空間．三、重點(diǎn)難點(diǎn)

驗(yàn)證一個(gè)子空間是否某線性變換不變子空間、會(huì)求給定線性變換一些不變子空間。7.4.1定義與基本例子

令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間,σ是V一個(gè)線性變換.定義

V一個(gè)子空間W說是在線性變換σ之下不變,假如

.假如子空間W在σ之下不變，那么W就叫做σ一個(gè)不變子空間.

注意:子空間W在線性變換σ之下不變,指,

即:

并不能說:

例1

V本身和零空間{0}顯然在任意線性變換之下不變.例2

令σ是V一個(gè)線性變換，那么σ核Ker(σ)像Im(σ)之下不變.例3

V任意子空間在任意位似變換之下不變.

例4

令σ是

中以某一過原點(diǎn)直線L為軸，旋轉(zhuǎn)一個(gè)角θ旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)軸L是σ一個(gè)一維不變子空間，而過原點(diǎn)與L垂直平面H是σ一個(gè)二維不變子空間.例5

令F[x]是數(shù)域F上一切一元多項(xiàng)式所成向量空間，

是求導(dǎo)數(shù)運(yùn)對(duì)于每一自然數(shù)n，令

表示一切次數(shù)不超出n多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式所成子空間.那么

在σ不變.

設(shè)W是線性變換σ一個(gè)不變子空間.只考慮σ在W上作用，就得到子空間E本身一個(gè)線性變換，稱為σ在W上限制，而且記作

這么，對(duì)于任意

然而假如

那么

沒有意義。7.4.2不變子空間和線性變換矩陣化簡(jiǎn)

設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，σ是V一個(gè)線性變換。假設(shè)σ有一個(gè)非平凡不變子空間W，那么取W一個(gè)基

再補(bǔ)充成V一個(gè)基

因?yàn)閃在σ之下不變，所以

仍在W內(nèi)，因而能夠由W基

線性表示。我們有：所以，σ關(guān)于這個(gè)基矩陣有形狀

而A中左下方O表示一個(gè)

零矩陣.這里

是

關(guān)于W基

矩陣，由此可見，假如線性變換σ有一個(gè)非平凡不變子空間，那么適當(dāng)選取V基，能夠使與σ對(duì)應(yīng)矩陣中有一些元素是零。尤其，假如V能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)非平凡子空間

直和：

那么選取

一個(gè)基

和

一個(gè)基

湊成V一個(gè)基

當(dāng)

都在σ之下不變時(shí)，輕易看出，σ關(guān)于這么選取基矩陣是這里

是一個(gè)r階矩陣,它是

關(guān)于基

普通地，假如向量空間V能夠?qū)懗蓅個(gè)子空間

直和，而且每一子空間都在線性變換σ之下不變，那么在每一子空間中取一個(gè)基，湊成V一個(gè)基，σ關(guān)于這個(gè)基矩陣就有形狀

這里

關(guān)于所取

基矩陣.矩陣，而

是n–r階矩陣，它是

關(guān)于基

矩陣。例6

令σ是例4所給出

線性變換.顯然是一維子空間L與二維子空間H直和，而L與H在σ之下不變.取L一個(gè)非零向量，取

H兩個(gè)彼此正交單位長(zhǎng)度向量

那么

是

一個(gè)基，而σ關(guān)于這個(gè)基矩陣是7.4.3深入例子例7

假如，那么證：1.任取2.任取例8

假如，那么對(duì)任何

證：，那么

例9

判定以下子空間在給定σ下是否為不變子空間

（1）

（2）（3）

（4）

解

(1)是.

(2)否.

(3)是.

(4)否.

例10

σ是V上一個(gè)線性變換，W是

生成子空間：

.則.

證：

必要性：W中不變子空間，

充分性：假如

是包含最小子空間，

例11

設(shè)σ是V上線性變換，α是V上非零向量，且

線性無關(guān)，但線性相關(guān).那么

是包含α最小不變子空間.證(1)線性表出,所以

這么，生成元在σ下象全部屬于.所以是一個(gè)σ不變子空間（2）對(duì)任何包含α不變子空間W，

故，

即

包含W一個(gè)最小子空間.

例12

設(shè)

是V一給基,σ在

下矩陣為

求包含

最小子空間.

解

算

坐標(biāo)為（用“()”表示取坐標(biāo)）中線性無關(guān)

坐標(biāo)排成行列式為：

所以

是包含

最小子空間.

注意到

與

是等價(jià)向量組，所以

一.內(nèi)容分布

7.5.1引例7.5.2矩陣特征值和特征向量定義7.5.3特征值和特征向量計(jì)算方法7.5.4矩陣特征值和特征向量性質(zhì)二.教學(xué)目標(biāo)

1.了解特征值和特征向量概念2.熟練掌握求矩陣特征值和特征向量方法3.掌握特征值與特征向量一些慣用性質(zhì)三.重點(diǎn)難點(diǎn)

矩陣特征值和特征向量求法及性質(zhì)7.5.1引例

在經(jīng)濟(jì)管理許多定量分析模型中，經(jīng)常會(huì)碰到矩陣特征值和特征向量問題.

它們之間關(guān)系為

寫成矩陣形式，就是是當(dāng)前工業(yè)發(fā)展水平(以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測(cè)量單位).

例發(fā)展與環(huán)境問題已成為二十一世紀(jì)各國政府關(guān)注和重點(diǎn)，為了定量分析污染與工業(yè)發(fā)展水平關(guān)系，有人提出了以下工業(yè)增加模型：設(shè)是某地域當(dāng)前污染水平(以空氣或河湖水質(zhì)某種污染指數(shù)為測(cè)量單位)，

若干年后(比如5年后)污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為

和記

，，，即(2)式可寫成

設(shè)當(dāng)前

，則

即

，由此能夠預(yù)測(cè)若干年后污染水平與工業(yè)發(fā)

展水平。由上例我們發(fā)覺，矩陣A乘以向量

恰好等于

4倍，倍數(shù)4及向量

即是我們本節(jié)要討論矩陣特征值和特征向量.7.5.2特征值和特征向量定義定義1：設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，λ是F中一個(gè)數(shù)，假如存在V中非零向量α，使得

那么稱λ為矩陣A一個(gè)特征值，α稱為A屬于特征值λ特征向量.例

因

解:所以4是

一個(gè)特征值，

是A屬于4特征向量.

又

故

也是A屬于4特征向量.注1：α是A屬于λ特征向量，則

，cα也是A屬于λ特征向量

練習(xí)1(1)假如向量是矩陣特征向量，

則k=__________(2)設(shè)，以下向量中能夠成為A

特征向量是（）

A.

B.

C.

D.

√2(1)解：(2)解：A.B.C.D.7.5.3特征值和特征向量計(jì)算方法使

λ是A特征值

有非零解

注2：

λ是A特征值

λ是方程

根.α是A屬于λ特征向量

且

是

非零解。

注3：α是A屬于λ特征向量

是非零解。

定義2：

稱為A特征多項(xiàng)式。

稱為A特征方程，

稱為A特征矩陣。

例1設(shè)，求A全部特征值、特征量。

解：A特征多項(xiàng)式為A特征值為

對(duì)于解因?yàn)榈没A(chǔ)解系A(chǔ)對(duì)應(yīng)于全部特征向量為

即對(duì)于

解

即因?yàn)?/p>

得基礎(chǔ)解系A(chǔ)對(duì)應(yīng)于全部特征向量為注4：A特征向量有沒有窮多個(gè)，分為兩大類：

一類為一類為問題1：同類兩個(gè)特征向量線性相關(guān)性怎樣？問題2：不一樣類任兩個(gè)特征向量線性相關(guān)性怎樣？求A全部特征值和特征向量方法：1.計(jì)算特征多項(xiàng)式

2.求特征方程

全部根，

即得A全部特征值

3.對(duì)于A每一個(gè)特征值

，求對(duì)應(yīng)齊次線性方程組

（不全為零）例2：求矩陣

特征值和特征向量。

一個(gè)基礎(chǔ)解系

，則A屬于

全部特征向量為解

A特征多項(xiàng)式

A特征值為

，對(duì)于

，解

得基礎(chǔ)解系:A屬于特征值1全部特征向量為

對(duì)于

，解

得基礎(chǔ)解為

A屬于特征值–1全部特征向量為

7.5.4特征向量和特征值性質(zhì)性質(zhì)1

有相同特征值

分析：要證

有相同特征值

只須證

注意到

性質(zhì)3

A主對(duì)角線上元素和稱為A跡，記作

，則

性質(zhì)2

A屬于不一樣特征值特征向量線性無關(guān)。注意到（*）（**）在（*）和（**）中令λ=0

練習(xí)：求

特征值，特征向量。

解：A特征多項(xiàng)式為所以A特征值為

對(duì)于

，解

對(duì)于

，解

小結(jié)1、定義1：設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，λ是F中一個(gè)數(shù)，假如存在V中非零向量α，使得

那么稱λ為矩陣A一個(gè)特征值，α稱為A屬于特征值λ特征向量.2、

λ是A特征值

λ是方程

根.3、

α是A屬于λ特征向量

是非零解。

4、求A全部特征值和特征向量方法：1.計(jì)算特征多項(xiàng)式

2.求特征方程

全部根，

即得A全部特征值

3.對(duì)于A每一個(gè)特征值

，求對(duì)應(yīng)齊次線性方程組

（不全為零）一個(gè)基礎(chǔ)解系

，則A屬于

全部特征向量為5、3個(gè)性質(zhì)。作業(yè)：P2961、（i）（iii）思索題：矩陣A特征值由特征向量唯一確定嗎？為何？7.6能夠?qū)腔仃?/p>

一、內(nèi)容分布

7.6.1什么是可對(duì)角化7.6.2本征向量線性關(guān)系7.6.3可對(duì)角化判定7.6.4矩陣對(duì)角化方法及步驟二、教學(xué)目標(biāo)

1．掌握可對(duì)角化定義與判斷．2．熟練掌握矩陣對(duì)角化方法步驟．三、重點(diǎn)難點(diǎn)

可對(duì)角化判斷與計(jì)算。7.6.1什么是可對(duì)角化

設(shè)A是數(shù)域F上一個(gè)n階矩陣，假如存在F上一個(gè)n階逆矩陣T，使得

含有對(duì)角形式（1）則說矩陣A能夠?qū)腔?

我們知道,能夠經(jīng)過矩陣來研究線性變換,也能夠經(jīng)過線性變換來研究矩陣，本節(jié)更多經(jīng)過線性變換來研究矩陣.矩陣A能夠?qū)腔瘜?duì)應(yīng)到線性變換就是:

設(shè)σ是數(shù)域F上

維向量空間V一個(gè)線性變換，假如存在V一個(gè)基，使得σ關(guān)于這個(gè)基矩陣含有對(duì)角形式(1),那么說，σ能夠?qū)腔?

很輕易證實(shí),σ能夠?qū)腔浞直匾獥l件是σ有n個(gè)線性無關(guān)本征向量.這n個(gè)線性無關(guān)本征向量顯然組成V基.所以，我們需要深入研究本征向量線性關(guān)系，需要研究在什么條件下σ有n個(gè)線性無關(guān)本征向量.7.6.2本征向量線性關(guān)系

定理7.6.1

令σ是數(shù)域F上向量空間V一個(gè)線性變換.假如

分別是σ屬于互不相同特征根

特征向量，那么

線性無關(guān).證

我們對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法來證實(shí)這個(gè)定理

當(dāng)n=1時(shí)，定理成立。因?yàn)楸菊飨蛄坎坏扔诹?。設(shè)n>1而且假設(shè)對(duì)于n－1來說定理成立。現(xiàn)在設(shè)

是σ兩兩不一樣本征值，是屬于本征值本征向量：

假如等式

成立，那么以

乘（3）兩端得

其次，對(duì)（3）式兩端施行線性變換σ，注意到等式（2），我們有（5）式減（4）式得

依據(jù)歸納法假設(shè)，線性無關(guān)，所以

但

兩兩不一樣，所以

代入（3），因?yàn)?/p>

所以

這就證實(shí)了

線性無關(guān)。□推論7.6.2

設(shè)σ是數(shù)域F上向量空間V一個(gè)線性變換，是σ互不相同本征值。又設(shè)

是屬于本征值

線性無關(guān)本征向量,

那么向量

線性無關(guān).

證

先注意這么一個(gè)事實(shí)：σ屬于同一本征值λ本征向量非零線性組合仍是σ屬于λ一個(gè)本征向量。由上面所說事實(shí)，假如某一，則

是σ屬于本征值

本征向量。因?yàn)榛ゲ幌嗤?，所以由定?.6.1，必須全部

即令

則

現(xiàn)在設(shè)存在F中數(shù)

使得

然而

線性無關(guān)，所以

即

線性無關(guān)?！?.6.3可對(duì)角化判定定理7.6.3

令σ是數(shù)域F上n維向量空間V一個(gè)線性變換，假如σ特征多項(xiàng)式

在F內(nèi)有n個(gè)單根，那么存在V一個(gè)基，使σ就關(guān)于這個(gè)基矩陣是對(duì)角形式.證

這時(shí)σ特征多項(xiàng)式

在F[x]內(nèi)能夠分解為線性因式乘積：

且兩兩不一樣。對(duì)于每一個(gè)選取一個(gè)本征向量

由定理7.6.1,

線性無關(guān)，因而組成V一個(gè)基,σ關(guān)于這個(gè)基矩陣是將上面定理轉(zhuǎn)化成矩陣語言,就是:

定理7.6.4

令A(yù)是數(shù)域F上一個(gè)n階矩陣，假如A特征多項(xiàng)式

在F內(nèi)有n個(gè)單根，