2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)近8年真題分類匯編專題20平面向量2最值問(wèn)題

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！專題20—平面向量（2）—最值問(wèn)題考試說(shuō)明：1、了解平面向量數(shù)量積的應(yīng)用；了解平面向量的綜合問(wèn)題會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題。高頻考點(diǎn)：1、平面向量加法、減法的幾何意義，及其在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；坐標(biāo)法在最值問(wèn)題中的應(yīng)用平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)、解三角形的綜合應(yīng)用；高考中，平面向量這部分經(jīng)?？疾樽钪祮?wèn)題，難度較大，學(xué)生會(huì)感覺很難把握，現(xiàn)給大家把高考中平面向量中的最值問(wèn)題整理一下，希望對(duì)大家有所幫助。典例分析1．（2018?天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．32．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是A． B． C．2 D．3．（2017?新課標(biāo)Ⅱ）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．4．（2017?新課標(biāo)Ⅲ）在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為A．3 B． C． D．25．（2017?上海）如圖所示，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，若為該正八邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．6．（2016?四川）在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，，動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值是A． B． C． D．7．（2016?四川）已知正三角形的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值是A． B． C． D．8．（2021?天津）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，則的值為1；的最小值為．9．（2021?浙江）已知平面向量，，滿足，，，．記平面向量在，方向上的投影分別為，，在方向上的投影為，則的最小值是．10．（2020?天津）如圖，在四邊形中，，，，且，，則實(shí)數(shù)的值為，若，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．真題集訓(xùn)1．（2015?福建）已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于A．13 B．15 C．19 D．212．（2015?湖南）已知，，在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為A．6 B．7 C．8 D．93．（2014?浙江）設(shè)為兩個(gè)非零向量，的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最小值為1．A．若確定，則唯一確定 B．若確定，則唯一確定 C．若確定，則唯一確定 D．若確定，則唯一確定4．（2014?湖南）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，5．（2014?浙江）記，，，，設(shè)，為平面向量，則A．，， B．，， C．， D．，6．（2020?上海）已知，，，，，是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量，滿足，且，（其中，2，，2，，，則的最大值是．7．（2020?浙江）已知平面單位向量，滿足．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是．8．（2020?上海）已知、、、、五個(gè)點(diǎn)，滿足，2，，，2，，則的最小值為．9．（2019?浙江）已知正方形的邊長(zhǎng)為1．當(dāng)每個(gè)，2，3，4，5，取遍時(shí)，的最小值是，最大值是．10．（2018?上海）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，、是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．11．（2017?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在圓上．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．12．（2016?上海）如圖，已知點(diǎn)，，，是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．13．（2016?浙江）已知向量，，，，若對(duì)任意單位向量，均有，則的最大值是．14．（2016?上海）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．15．（2015?上海）已知平面向量、、滿足，且，，，2，，則的最大值是．典例分析答案1．（2018?天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．3分析：如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，求出，，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．解答：解：如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，過(guò)點(diǎn)做軸，過(guò)點(diǎn)做軸，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．2．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是A． B． C．2 D．分析：把等式變形，可得得，即，設(shè)，則的終點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓周上，再由已知得到的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)的兩條射線上，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．解答：解：由，得，，如圖，不妨設(shè)，則的終點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓周上，又非零向量與的夾角為，則的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)的兩條射線上．不妨以為例，則的最小值是到直線的距離減1．即．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬難題．3．（2017?新課標(biāo)Ⅱ）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．分析：根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時(shí)，取得最小值，方法2：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，取得等號(hào)．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵．4．（2017?新課標(biāo)Ⅲ）在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為A．3 B． C． D．2分析：方法一：如圖：以為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，根據(jù)，求出，，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．方法二：根據(jù)向量分解的等系數(shù)和線直接可得．解答：解：如圖：以為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為，，，，，圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，，，，，其中，，，故的最大值為3，方法二：根據(jù)向量分解的等系數(shù)和線，可得的最大值為3，如圖所述故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．5．（2017?上海）如圖所示，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，若為該正八邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．分析：由題意求出以為起點(diǎn)，以其它頂點(diǎn)為向量的模，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性及值域可得當(dāng)與重合時(shí)，取最小值，求出最小值，結(jié)合選項(xiàng)得答案．解答：解：由題意，正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，且，，，．再由正弦函數(shù)的單調(diào)性及值域可得，當(dāng)與重合時(shí)，最小為．結(jié)合選項(xiàng)可得的取值范圍為．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．6．（2016?四川）在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，，動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值是A． B． C． D．分析：由，可得為的外心，又，可得可得為的垂心，則為的中心，即為正三角形．運(yùn)用向量的數(shù)量積定義可得的邊長(zhǎng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，求得，的坐標(biāo)，再設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式可得的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．解答：解：由，可得為的外心，又，可得，，即，即有，，可得為的垂心，則為的中心，即為正三角形．由，即有，解得，的邊長(zhǎng)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，可得，，，由，可設(shè)，，由，可得為的中點(diǎn)，即有，，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且為．另解：如圖，根據(jù)已知，有，因此有、、全等，進(jìn)而得到為正三角形，計(jì)算可得，根據(jù)題意在以為圓心、1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，因此的中點(diǎn)在以為圓心、為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)為的中點(diǎn)，因此的最大值為．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的定義和性質(zhì)，以及模的最值的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．（2016?四川）已知正三角形的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值是A． B． C． D．分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．，．．點(diǎn)的軌跡方程為：，令，，，．又，可得，代入，即可得出．解答：解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．，．．滿足，點(diǎn)的軌跡方程為：，令，，，．又，則，．的最大值是．也可以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系．解法二：取中點(diǎn)，，從而軌跡為以為圓心，為半徑的圓，，，三點(diǎn)共線時(shí)，為最大值．所以最大值為．故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8．（2021?天津）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，則的值為；的最小值為．分析：設(shè)，表示出，，，利用數(shù)量積的定義與性質(zhì)即可求出．解答：解：如圖，設(shè)，是邊長(zhǎng)為1等邊三角形，，，，，，，是邊長(zhǎng)為等邊三角形，，，則，，，的最小值為．故答案為：1，．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的定義，向量的運(yùn)算法則，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．9．（2021?浙江）已知平面向量，，滿足，，，．記平面向量在，方向上的投影分別為，，在方向上的投影為，則的最小值是．分析：首先由所給的關(guān)系式得到，，之間的關(guān)系，然后求解其最小值即可．解答：解：令，因?yàn)?，故，，，，令，平面向量在，方向上的投影分別為，，設(shè)，則：，從而：，故，方法一：由柯西不等式可得，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．方法二：則表示空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到平面上的點(diǎn)的距離的平方，由平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線距離公式推廣得到的空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到平面距離公式可得：．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的投影，類比推理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于難題．10．（2020?天津）如圖，在四邊形中，，，，且，，則實(shí)數(shù)的值為，若，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．分析：以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的平行和向量的數(shù)量積即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，再設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積可得關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值．解答：解：以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，解得，，，，，，，，設(shè)，則，其中，，，，，，當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為，故答案為：，．點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了向量的共線和向量的數(shù)量積，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．真題集訓(xùn)答案1．解：由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，，，，，，，，，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，的最大值為13，故選：．2．解：由題意，為直徑，所以所以為時(shí)，．所以的最大值為7．另解：設(shè)，，，，，當(dāng)時(shí)，為，取得最大值7．故選：．3．解：由題意可得令可得△由二次函數(shù)的性質(zhì)可知恒成立當(dāng)時(shí)，取最小值1．即故當(dāng)唯一確定時(shí)，唯一確定，故選：．4．解：動(dòng)點(diǎn)滿足，，可設(shè)，，．又，，．，（其中，，，的取值范圍是．或，，將其起點(diǎn)平移到點(diǎn)，由其與同向反向時(shí)分別取最大值、最小值，即的取值范圍是．故選：．5．解：對(duì)于選項(xiàng)，取，則由圖形可知，根據(jù)勾股定理，結(jié)論不成立；對(duì)于選項(xiàng)，取，是非零的相等向量，則不等式左邊，，顯然，不等式不成立；對(duì)于選項(xiàng)，取，是非零的相等向量，則不等式左邊，，而不等式右邊，故不成立，選項(xiàng)正確．故選：．6．解：如圖，設(shè)，，由，且，，分別以，為圓心，以1和2為半徑畫圓，其中任意兩圓的公共點(diǎn)共有6個(gè)．故滿足條件的的最大值為6．故答案為：6．7．解：設(shè)、的夾角為，由，為單位向量，滿足，所以，解得；又，，且，的夾角為，所以，，；則，所以時(shí)，取得最小值為．故答案為：．8．解：設(shè)，則，，設(shè)，如圖，求的最小值，則：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為．故答案為：．9．解：正方形的邊長(zhǎng)為1，可得，，，，由于，2，3，4，5，取遍，可得，，可取，，，，可得所求最小值為0；由，的最大值為4，可取，，，，，可得所求最大值為．故答案為：0，．10．解：根據(jù)題意，設(shè)，；；，或；且；；當(dāng)時(shí)，；的最小值為；的最小值為，同理求出時(shí)，的最小值為．故答案為：．11．解：根據(jù)題意，設(shè)，，則有，，，，化為：/r/