市普陀區(qū)晉原中學(xué)2015-2016學(xué)年高二上期中數(shù)學(xué)試卷解析版

2015-2016學(xué)年市普陀區(qū)晉原中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試一、填空已知{an]為等差數(shù)列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，則 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=5﹣4×2﹣n，則其通項(xiàng)公式 在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取點(diǎn)E、F、G、H，如果EH、FG相交于一點(diǎn)M，那么M一定在直線 在等差數(shù)列{an}中，若an+an+2=4n+6（n∈N*），則該數(shù)列的通項(xiàng)公式 若存在，則實(shí)數(shù)r的取值范圍 已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=log3（n∈N*），設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn＜﹣4成立的最小自然數(shù)n等于 等比數(shù)列{an}的公比0＜q＜1，a172=a24，則使a1+a2+…+an＞++…+成立的正整數(shù)n的最 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an= ，前n項(xiàng)和為Sn，則 在等差數(shù)列{an}中，＜﹣1，若它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn取得最小正數(shù) 所有n的和為 意大利著名數(shù)學(xué)家那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)列{an}為 那契數(shù)列中的 項(xiàng)f（x）R上的增函數(shù)，數(shù)列{xn}2+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0，則x2015的值 二、選擇在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P段AD1上運(yùn)動(dòng)，則異面直線CP與BA1所成的角的取值范圍是（A．0＜θ＜B．0＜θ≤C．0≤θ≤已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足：對(duì)于所有n∈N*，有，其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．則 某學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一都有A，B兩種菜可供選擇．資料表明，凡是在星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%的人改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有30%的人改選A種菜．用an，bn分別表示在第n個(gè)星期一選A種菜的人數(shù)和選B種菜的人數(shù)，如果a1=300，則a10為（ A．300B．350C．400數(shù)列{an}滿足a1=1，，記數(shù)列{an2}前n項(xiàng)的和為Sn，若對(duì)任意的n∈N*恒成立，整數(shù)t的最小值為（ 三、解答四面體A﹣BCD的棱長均為a，E、FAD、BCAF與CE所成的20．2014年，中國聯(lián)想以28億元收購摩托羅拉移動(dòng)公司，并計(jì)劃投資30億元來發(fā)展該品牌2014年摩托羅拉的銷售量為100萬部．據(jù)，從2015年起，摩托羅拉的銷售量10010%20143002014n到2020年年底，中國聯(lián)想能否通過摩托羅拉實(shí)現(xiàn)？（即銷售利潤超過總投資21．?dāng)?shù)列{an}na2，a3，a4的值，并求{an}正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且T3=9，并滿足a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比數(shù)列求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)設(shè)Bn=++…+，試確定Bn與的大小關(guān)系，并給出證明22．設(shè)函數(shù) a1，a2，a3bn=an+1﹣anbn與bn+1的遞推關(guān)系，并求{bn}設(shè)數(shù)列{cn}cn=log2（3an﹣2）﹣10，n∈N*，數(shù)列{cn}nSn，1000是否為數(shù)列{cn?Sn}中的項(xiàng)？若是，求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，若不是，請(qǐng)說明理由．列{an}前nSn若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求c的值和若數(shù)列{an}m與cc=1，當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，求證 是一個(gè)常數(shù)2015-2016學(xué)年市普陀區(qū)晉原中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試參考答案與試一、填空已知{an]為等差數(shù)列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，則 a3，a4a3+a4a3=3，a4=5，已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=5﹣4×2﹣n，則其通項(xiàng)公式為【分析】由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=5﹣4×2﹣n，利用公式直接求解 當(dāng)n=1時(shí)， 故答案為 【分析】把數(shù)列an==1+，根據(jù)單調(diào)性，項(xiàng)的符號(hào)判斷最大項(xiàng)【解答】解：∵an=∴an=數(shù)列{an}在[1，7]，[8，+∞）單調(diào)遞減∵在[1，7]上an＜1，在[8，+∞）上∴a8為最大項(xiàng)，在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取點(diǎn)E、F、G、H，如果EH、FG相交于一點(diǎn)M，那么M一定在直線BD 【分析】根據(jù)題意，可得直線EH、FG分別是平面ABD、平面BCD內(nèi)的直線，因此EH、FG的交點(diǎn)必定在平面ABD和平面BCD的交線上．而平面ABD交平面BCDBD，由此即可得到點(diǎn)P在BDE、HAB、ADAB、ADABD∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，可得直線EH?平面F、GBC、CDBC、CDBCD∴F∈平面BCD，G∈平面BCD，可得直線FG?平面EHFGABDBCD∵平面ABD∩平面EH、FGBD的位置關(guān)系，著重考查了在等差數(shù)列{an}中，若an+an+2=4n+6（n∈N*），則該數(shù)列的通項(xiàng)公式 【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為4d=8d=2，n=1an+an+2=4n+6 存在，則實(shí)數(shù)r的取值范圍．r【解答】解 存在 ∴3r2+4r+1≥0∴r≤﹣1或r≥﹣故答案為：ABCD﹣A1B1C1D1中，EC1D1AEBC所成的角的余弦值為．【分析題意知AD∥BC，∴∠DAE就是異面直線AE與BC所成角，解三角形即可求得結(jié)果【解答】解：連接DE，設(shè)∴∠DAEAEBC在△RtADE中，由于 ，AD=2，可得∴cos∠DAE==故答案為：．故答案為：．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=log3（n∈N*），設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn＜﹣4成立的最小自然數(shù)n等于 nn的最小值．【解答】解：an=log3nn+1＞81n＞80，n81．等比數(shù)列{an}的公比0＜q＜1，a172=a24，則使a1+a2+…+an＞++…+成立的正整數(shù)n的最大值為18 n【解答】解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，依題意有∴a1q9=1．則a1＞0，且∵{an}為等比數(shù)列，∴{}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． ∵0＜q＜1a1=q﹣9a12=q﹣18代入整理，q﹣18（1﹣qn）＞q1﹣n（1﹣qn），n＜19，∵n∈N*，∴n18．n項(xiàng)和的應(yīng)用，考查數(shù)列與不等式的應(yīng)用，綜合性數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 ，前n項(xiàng)和為Sn，則．【分析】先利用裂項(xiàng)相消法求出Sn，再求極限即可 =．故答案為：．在等差數(shù)列{an}中，＜﹣1，若它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn取得最小正數(shù)的 【分析由題意可知，等差數(shù)列{an}中a1＞0，公差d＜0，可將＜﹣1轉(zhuǎn)化為：0a11＜0，a10＞0nSn【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，∴a1＞0∴Sn=an2+bn中其對(duì)稱軸n=﹣又S19==19a10＞0，而S20=119n=10Snn=1或n=19．故答案為：119．n項(xiàng)和公式，考查分析問題與解決問題的能 ＜所有n的和為 2an+2+an+1﹣2an+1=0，n=1時(shí)，2a2+a1=3，則a2=，滿足即2an+1=an即數(shù)列{an}是公比q=，首項(xiàng)a1=的等比數(shù)列則前n項(xiàng)和為 7＜2n＜17，n=3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)遞推數(shù)列得到數(shù)列{an}是公比q=，首項(xiàng)a1=的等比意大利著名數(shù)學(xué)家那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)列{an}為 那契數(shù)列中的第 項(xiàng)【分析】令a0=0，根據(jù)那契數(shù)列的性質(zhì)可得：那==a101，即可得出【解答】解：令a0=0，根據(jù)那契數(shù)列的性質(zhì)可得：那= 是那契數(shù)列中的第101項(xiàng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了那契數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題f（x）R上的增函數(shù)，數(shù)列{xn}2+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0，則x2015的值 x8=a，則x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，結(jié)合x2015的值．【解答】解：設(shè)x8=a，則∴f（a）＜0設(shè)數(shù)列{xn}通項(xiàng)∴x8=x1+14=﹣3．解得二、選擇在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P段AD1上運(yùn)動(dòng)，則異面直線CP與BA1所成的角的取值范圍是（A．0＜θ＜B．0＜θ≤C．0≤θ≤【分析】由題意在正方體ABCD﹣A1BC1D1中，點(diǎn)P段AD1上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)A1B∥D1C，將A1BCPD1C∴CPA1BCPD1C∵△AD1C是正三角形可知當(dāng)P與A重合時(shí)成角為∵PD1D1CA1BCPA1BCPD1C成已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足：對(duì)于所有n∈N*，有，其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．則 n=14an=4Sn﹣4Sn﹣1an﹣an﹣1=2，從而得到數(shù)列{an}是∴a1=1n≥2n ∴2（an+an 2，又{an}各項(xiàng)n ∴an﹣an﹣1=2．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列 某學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一都有A，B兩種菜可供選擇．資料表明，凡是在星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%的人改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有30%的人改選A種菜．用an，bn分別表示在第n個(gè)星期一選A種菜的人數(shù)和選B種菜的人數(shù)，如果a1=300，則a10為（ A．300B．350C．400【分析由題意可得數(shù)列遞推公式：，又an+bn=500，兩式聯(lián)立消去bn得數(shù)列{an}a1=300a2=300，從而可知a10值．【解答】解：依題意 消去bn得：an+1=A．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1，，記數(shù)列{an2}前n項(xiàng)的和為Sn，若對(duì)任意的n∈N*恒成立，整數(shù)t的最小值為（ 【分析】由題干中的等式變形得出數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，得出an2的通項(xiàng)公m【解答】解 ∴{}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列 =S3﹣S1=a22+a32==又∵m是正整數(shù)，A．三、解答四面體A﹣BCD的棱長均為a，E、FAD、BCAF與CE所成的【分析】畫出圖形，根據(jù)中點(diǎn)找平行線，把所求的異面直線角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角來計(jì)A﹣BCD為正四面體，如圖，連接BE，取BE的中點(diǎn)KFK，F(xiàn)K∥CE，故∠AFK設(shè)這個(gè)正四面體的棱長為2，在△AKF中，AF==CE，KF=CE=，KE== △AKF中，由余弦定理可得cos∠AFK= 20．2014年，中國聯(lián)想以28億元收購摩托羅拉移動(dòng)公司，并計(jì)劃投資30億元來發(fā)展該品牌2014年摩托羅拉的銷售量為100萬部．據(jù)，從2015年起，摩托羅拉的銷售量10010%20143002014n到2020年年底，中國聯(lián)想能否通過摩托羅拉實(shí)現(xiàn)？（即銷售利潤超過總投資【分析】（Ⅰ）100100的等差數(shù)列．每部的銷售利潤構(gòu)成首項(xiàng)為300，公比為0.9的等比數(shù)列．求出關(guān)于n的通項(xiàng)公式n【解答】解：（Ⅰ）∵摩托羅拉的銷售量每年比上一年增加100萬部，因此的銷售量構(gòu)成100，100∵銷售利潤按照每年比上一年減10%，因此每部的銷售利潤構(gòu)成首項(xiàng)為300，公比為∴第n年的銷售利潤記為cn，則（Ⅱ）2020SS=30000（1+2×0.9+3×0.92+4×0.93+5×0.94+6×0.95+7×0.96）①，①﹣②S=30000（100﹣170×0.97）≈603000萬元=60.328+30=58∵60.3＞58，∴可以答：（Ⅰ）n30000n×0.9n﹣1（Ⅱ）到2020年年底，中國聯(lián)想能通過摩托羅拉實(shí)現(xiàn)【點(diǎn)評(píng)】本題了等差，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和的求解，錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考21．?dāng)?shù)列{an}na2，a3，a4的值，并求{an}正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且T3=9，并滿足a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比數(shù)列求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)設(shè)Bn=++…+，試確定Bn與的大小關(guān)系，并給出證明（n﹣1），可得an+1﹣an=an+1，變形為an+1+1=2（an+1），即可得出（2）（i）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}的為d＞0，由T3=9，可得3b2=9，解得b2．由于d． n≥2時(shí)，an=Sn﹣1+（n﹣1），∴an+1﹣an=an+1an+1+1=2（an+1），n≥2時(shí)，數(shù)列{an+1}4an=2n﹣1．∴an=（2）（i）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}的為∵T3=9，∴=3b2=9，解得∵a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比數(shù)列 d2+12d﹣13=0，d=1d=﹣13（舍去∴Bn=++…++++…++=∴Bn＜22．設(shè)函數(shù) a1，a2，a3bn=an+1﹣anbn與bn+1的遞推關(guān)系，并求{bn}設(shè)數(shù)列{cn}cn=log2（3an﹣2）﹣10，n∈N*，數(shù)列{cn}nSn，1000是否為數(shù)列{cn?Sn}中的項(xiàng)？若是，求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，若不是，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由函數(shù)f（n），結(jié)合an，可得cn?Sn1000是否在其中． （2）bn=an+1﹣an=f（2n+1）