人教版九年級下冊數(shù)學273-位似公開課課件

ABA’C’B’CO27.3位似ABA’C’B’CO27.3位似

前面我們已經(jīng)學習了圖形的哪些變換？平移：平移的方向,平移的距離.旋轉：旋轉中心,旋轉方向,旋轉角度.相似：相似比.對稱(軸對稱與軸對稱圖形,中心對稱與中心對稱圖形)：對稱軸,對稱中心.注：圖形這些不同的變換是我們學習幾何必不可少的重要工具,它不但裝點了我們的生活,而且是學習后續(xù)知識的基礎.下面請欣賞如下圖形的變換回顧：前面我們已經(jīng)學習了圖形的哪些變換？平移：平移的方向,平移的

下列圖形中，每個圖中的四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′都是相似圖形.分別觀察這五個圖，你發(fā)現(xiàn)每個圖中的兩個四邊形各對應點的連線有什么特征？下列圖形中，每個圖中的四邊形ABCD和四1．位似圖形的概念如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一點,對應邊互相平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心.這時的相似比又稱為位似比。相似對應點的連線相交一點對應邊平行明確：1．位似圖形的概念如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應點所在的1.判斷下列各對圖形是不是位似圖形.（1）正五邊形ABCDE與正五邊形A′B′C′D′E′；（2）等邊三角形ABC與等邊三角形A′B′C′.思考：是否相似圖形都是位似圖形？是是1.判斷下列各對圖形是不是位似圖形.（1）正五邊形ABC判斷下面的正方形是不是位似圖形？（1）不是ACDBFEG顯然，位似圖形是相似圖形的特殊情形.相似圖形不一定是位似圖形，可位似圖形一定是相似圖形判斷下面的正方形是不是位似圖形？（1）不是ACDBFEG顯然

位似是一種具有位置關系的相似。位似圖形是相似圖形的特殊情形。位似圖形必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。兩個位似圖形的位似中心只有一個。兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側。注意思考：位似圖形有何性質？位似是一種具有位置關系的相似。注意思考：位似圖形有何性質？2.位似圖形的性質2.位似圖形的性質

對應點與位似中心共線。不經(jīng)過位似中心的對應邊平行。位似圖形上任意一對應點到位似中心的距離之比等于位似比。位似圖形的性質對應點與位似中心共線。位似圖形的性質若△ABC與△A’B’C’的相似比為：1:2，則OA：OA’=（）。OAA’BCB’C’1:2若△ABC與△A’B’C’的相似比為：1:2，則OA：OA’O.ABCA'C’B’.

1．如圖，已知△ABC和點O.以O為位似中心，求作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長擴大到原來的兩倍.OA:OA’

=OB:OB’=OC:OC’=1:2O.ABCA'C’B’.1．如圖，已知△ABC和點O.以思考：還有沒其他作法？O.ABA'C’B’C如果位似中心跑到三角形內部呢？思考：還有沒其他作法？O.ABA'C’B’C如果位似中心跑到ACBOACBOABA’C’B’CO以0為中心把△ABC縮小為原來的一半。ABA’C’B’CO以0為中心把△ABC

位似的作用位似可以將一個圖形放大或縮小。位似的作用位似可以將一個圖形放大或縮小。二、位似圖形的畫法ABA’C’B’CO以0為位似中心把△ABC在同側縮小為原來的一半1.畫出ABC2.選取中心點3.連結OA、OB、OC4.在OA、OB、OC上分別選取A’、B’、C’，使OA’/OA=1/2、OB’/OB=1/2、OC’/OC=1/2步驟：5.連結A’B’C’，所連成的圖形就是所求作圖形二、位似圖形的畫法ABA’C’B’CO以0為位似中心把△AB二、位似圖形的畫法ABA’C’B’CO以0為中心把△ABC縮小為原來的一半二、位似圖形的畫法ABA’C’B’CO以0為中心把△ABC練習：如圖：以O為位似中心，將△ABC放大為原來的兩倍

如果把位似圖形放到直角坐標系中，又如何去探究位似變換與坐標之間的關系呢？練習：如圖：以O為位似中心，如果把位似圖形放到

請以坐標原點O為位似中心，作□

ABCD的位似圖形，并把它的邊長放大3倍。小練習

分析：根據(jù)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比，我們只要連結位似中心O和□

ABCD的各頂點，并把線段延長（或反向延長）到原來的3倍，就得到所求作圖形的各個頂點。請以坐標原點O為位似中心，作□ABCD的位1.連結OA，OB，OC，OD.2.分別延長OA，OB，OC，OD至G，C，E，F(xiàn)，使3.依次連結GC，CE，EF，F(xiàn)G.四邊形GCEF就是所求作的四邊形.如果反向延長OA，OB，OC，OD，就得到四邊形G’C’E’F’，也是所求作的四邊形.作法：1.連結OA，OB，OC，OD.2.分別延長OA，OB，使新圖形與原圖形對應線段的比是2∶1.ABGCEDF●P在原圖上取幾個關鍵點A,B,C,D,E,F,G;圖外任取一點P;作射線AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP;在這些射線上依次取點A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PC′=2PC,PE′=2PE,PF′=2PF,PG′=2PG;B′A′C′D′E′F′G′順次連接點A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,所得到的圖形(向下的箭頭)就是符合要求的圖形。小練習使新圖形與原圖形對應線段的比是2∶1.ABGCEDF●P在原

如果依次在射線上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG上取點A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′呢?結果是一個向上的箭頭.新圖形與原圖形是位似圖形，位似比是2∶1A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P你還有其它方法嗎?如果依次在射線上PA,PB,PC,PD,PE①確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關鍵點，如四邊形有四個關鍵點，即它的四個頂點；③確定位似比，根據(jù)位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮小；④符合要求的圖形不唯一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關，并且同一個位似中心的兩側各有一個符合要求的圖形。

位似變換的步驟①確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；

如果兩個圖形不僅相似,而且對應頂點的連線相交于一點,像這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心,這時的相似比又稱為位似比.1.什么叫位似圖形?2.位似圖形的性質

位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比3.利用位似可以把一個圖形放大或縮小復習回顧如果兩個圖形不僅相似,而且對應頂點的連線相交于一點DEFAOBC如何把三角形ABC放大為原來的2倍?DEFAOBC對應點連線都交于____________對應線段_______________________________位似中心平行或在一條直線上復習回顧DEFAOBC如何把三角形ABC放大為原來的2倍?DEFAOB'A'xyBAo在平面直角坐標系中,有兩點A(6,3),B(6,0),以原點O為位似中心,相似比為1:3,把線段AB縮小.A′(2,1),B′(2,0)觀察對應點之間的坐標的變化,你有什么發(fā)現(xiàn)?探索1:B'A'xyBAo在平面直角坐標系中,有兩點A(6,3),BB'A'xyBAo在平面直角坐標系中,有兩點A(6,3),B(6,0),以原點O為位似中心,相似比為1:3,把線段AB縮小.A′(2,1),B′(2,0)A〞B〞A〞(-2,-1),B(-2,0)在平面直角坐標系中,如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.觀察對應點之間的坐標的變化,你有什么發(fā)現(xiàn)?B'A'xyBAo在平面直角坐標系中,有兩點A(6,3),Bxyo在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點的坐標分別為A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原點O為位似中心,相似比為2畫它的位似圖形.BACA′(4,6),B′(4,2),C′(12,4)放大后對應點的坐標分別是多少?B'A'C'探索2:還有其他辦法嗎?2461213624xyo在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點的坐標分別為A(xyo在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點的坐標分別為A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原點O為位似中心,相似比為2,將△ABC放大.A′(-4,-6),B′(-4,-2),C′(-12,-4)BAC放大后對應點的坐標分別是多少?B”A”xyo在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點的坐標分別為A(xyo例題.在平面直角坐標系中,四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),畫出它的一個以原點O為位似中心,相似比為1/2的位似圖形.A′(-3,3),B′(-4,1),C′(-2,0),D′(-1,2)BACDA′B′C′D′你還有其他辦法嗎?試試看.xyo例題.在平面直角坐標系中,四邊形ABCD的四個頂點的在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k例如：點A(x,y)的對應點為A’，則A’點的坐標可以這樣確定歸納：xA’=xA×k

,

yA'=yA×kxA’=xA×(-k)，yA'=yA×(-k)或即A’（kx,ky）即A’（-kx,-ky）在平面直角坐標系中，例如：點A(x,y)的對應點為A’，則A例：如果四邊形ABCD的坐標分別為A（-6，6），B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),寫出以原點為位似中心，相似比為(1/2)的一個圖形的對應點的坐標練習：參考答案：例：如果四邊形ABCD的坐標分別為練習：參考答案：隨堂練習1.判斷下列各對圖形哪些是位似圖形，哪些不是.（1）五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′（2）正方形ABCD與正方A′B′C′D′√×隨堂練習1.判斷下列各對圖形哪些是位似圖形，哪些不是.（（3）等邊三角形ABC與等邊三角形A′B′C′√（3）等邊三角形ABC與等邊三角形A′B′C′√2.下面的說法對嗎?為什么?

（1）分別在△ABC的邊AB,AC上取點D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC縮小后的圖形。（2）分別在△ABC的邊AB,AC的延長線上取點D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的圖形。（3）分別在△ABC的邊AB,AC的反向延長線上取點D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC縮小后的圖形。ABCDEADEBCEDCBA√×√2.下面的說法對嗎?為什么?ABCDEAD3．如圖P，E，F(xiàn)分別是AC，AB，AD的中點，四邊形AEPF與四邊形ABCD是位似圖形嗎？如果是位似圖形，說出位似中心和位似比.是位似圖形。位似中心是點A，位似比是1:2。3．如圖P，E，F(xiàn)分別是AC，AB，AD的中4.哪些圖形是位似圖形并指出位似圖形的位似中心。OP(1)(3)(2)√×√位似中心是點O。位似中心是點P。4.哪些圖形是位似圖形并指出位似圖形的位似5.作出一個新圖形，使新圖形與原圖形對應線段的比是2∶1。5.作出一個新圖形，使新圖形與原圖形對應線6.（1）如果在射線OA,OB,OC上分別取D,E,F,使OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC,那么,結果會怎樣?DEFAOBC

結果會得到一個放大了的△DEF,且△DEF的三邊是△ABC三邊的2倍.即它們的位似比是2∶1。6.（1）如果在射線OA,OB,OC上分

（2）如果在射線AO,BO,CO上分別取點D,E,F使DO=OA,EO=OB,FO=OC,那么,結果又會怎樣?

結果會得到一個與△ABC全等的△DEF,.即它們的位似比是1∶1。DEFAOBC（2）如果在射線AO,BO,CO上分別取點D,EOABC7.任意畫一個三角形,將△ABC的三邊縮小為原來的一半。F●E●D●OABC7.任意畫一個三角形,將△ABC的課堂小結1.位似圖形、位似中心、位似比：

如果兩個圖形不僅形狀相同,而且每組對應頂點所在的直線都經(jīng)過同一個點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形。這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比.課堂小結1.位似圖形、位似中心、位似比：如果2.位似圖形的性質：

位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。以坐標原點為位似中心的位似變換有以下性質：若原圖形上點的坐標為（x，y），與原圖形的位似比為k，則像上的對應點的坐標為（kx，ky）或（―kx，―ky）。2.位似圖形的性質：位似圖形上的任意一對對應點到位似中心

畫出基本圖形。選取位似中心。根據(jù)條件確定對應點，并描出對應點。順次連結各對應點，所成的圖形就是所求的圖形。3.位似圖形的畫法：畫出基本圖形。3.位似圖形的畫法：

對稱平移旋轉相似4.圖形變換對稱4.圖形變換再見再見ABA’C’B’CO27.3位似ABA’C’B’CO27.3位似

前面我們已經(jīng)學習了圖形的哪些變換？平移：平移的方向,平移的距離.旋轉：旋轉中心,旋轉方向,旋轉角度.相似：相似比.對稱(軸對稱與軸對稱圖形,中心對稱與中心對稱圖形)：對稱軸,對稱中心.注：圖形這些不同的變換是我們學習幾何必不可少的重要工具,它不但裝點了我們的生活,而且是學習后續(xù)知識的基礎.下面請欣賞如下圖形的變換回顧：前面我們已經(jīng)學習了圖形的哪些變換？平移：平移的方向,平移的

下列圖形中，每個圖中的四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′都是相似圖形.分別觀察這五個圖，你發(fā)現(xiàn)每個圖中的兩個四邊形各對應點的連線有什么特征？下列圖形中，每個圖中的四邊形ABCD和四1．位似圖形的概念如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一點,對應邊互相平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心.這時的相似比又稱為位似比。相似對應點的連線相交一點對應邊平行明確：1．位似圖形的概念如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應點所在的1.判斷下列各對圖形是不是位似圖形.（1）正五邊形ABCDE與正五邊形A′B′C′D′E′；（2）等邊三角形ABC與等邊三角形A′B′C′.思考：是否相似圖形都是位似圖形？是是1.判斷下列各對圖形是不是位似圖形.（1）正五邊形ABC判斷下面的正方形是不是位似圖形？（1）不是ACDBFEG顯然，位似圖形是相似圖形的特殊情形.相似圖形不一定是位似圖形，可位似圖形一定是相似圖形判斷下面的正方形是不是位似圖形？（1）不是ACDBFEG顯然

位似是一種具有位置關系的相似。位似圖形是相似圖形的特殊情形。位似圖形必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。兩個位似圖形的位似中心只有一個。兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側。注意思考：位似圖形有何性質？位似是一種具有位置關系的相似。注意思考：位似圖形有何性質？2.位似圖形的性質2.位似圖形的性質

對應點與位似中心共線。不經(jīng)過位似中心的對應邊平行。位似圖形上任意一對應點到位似中心的距離之比等于位似比。位似圖形的性質對應點與位似中心共線。位似圖形的性質若△ABC與△A’B’C’的相似比為：1:2，則OA：OA’=（）。OAA’BCB’C’1:2若△ABC與△A’B’C’的相似比為：1:2，則OA：OA’O.ABCA'C’B’.

1．如圖，已知△ABC和點O.以O為位似中心，求作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長擴大到原來的兩倍.OA:OA’

=OB:OB’=OC:OC’=1:2O.ABCA'C’B’.1．如圖，已知△ABC和點O.以思考：還有沒其他作法？O.ABA'C’B’C如果位似中心跑到三角形內部呢？思考：還有沒其他作法？O.ABA'C’B’C如果位似中心跑到ACBOACBOABA’C’B’CO以0為中心把△ABC縮小為原來的一半。ABA’C’B’CO以0為中心把△ABC

位似的作用位似可以將一個圖形放大或縮小。位似的作用位似可以將一個圖形放大或縮小。二、位似圖形的畫法ABA’C’B’CO以0為位似中心把△ABC在同側縮小為原來的一半1.畫出ABC2.選取中心點3.連結OA、OB、OC4.在OA、OB、OC上分別選取A’、B’、C’，使OA’/OA=1/2、OB’/OB=1/2、OC’/OC=1/2步驟：5.連結A’B’C’，所連成的圖形就是所求作圖形二、位似圖形的畫法ABA’C’B’CO以0為位似中心把△AB二、位似圖形的畫法ABA’C’B’CO以0為中心把△ABC縮小為原來的一半二、位似圖形的畫法ABA’C’B’CO以0為中心把△ABC練習：如圖：以O為位似中心，將△ABC放大為原來的兩倍

如果把位似圖形放到直角坐標系中，又如何去探究位似變換與坐標之間的關系呢？練習：如圖：以O為位似中心，如果把位似圖形放到

請以坐標原點O為位似中心，作□

ABCD的位似圖形，并把它的邊長放大3倍。小練習

分析：根據(jù)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比，我們只要連結位似中心O和□

ABCD的各頂點，并把線段延長（或反向延長）到原來的3倍，就得到所求作圖形的各個頂點。請以坐標原點O為位似中心，作□ABCD的位1.連結OA，OB，OC，OD.2.分別延長OA，OB，OC，OD至G，C，E，F(xiàn)，使3.依次連結GC，CE，EF，F(xiàn)G.四邊形GCEF就是所求作的四邊形.如果反向延長OA，OB，OC，OD，就得到四邊形G’C’E’F’，也是所求作的四邊形.作法：1.連結OA，OB，OC，OD.2.分別延長OA，OB，使新圖形與原圖形對應線段的比是2∶1.ABGCEDF●P在原圖上取幾個關鍵點A,B,C,D,E,F,G;圖外任取一點P;作射線AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP;在這些射線上依次取點A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PC′=2PC,PE′=2PE,PF′=2PF,PG′=2PG;B′A′C′D′E′F′G′順次連接點A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,所得到的圖形(向下的箭頭)就是符合要求的圖形。小練習使新圖形與原圖形對應線段的比是2∶1.ABGCEDF●P在原

如果依次在射線上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG上取點A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′呢?結果是一個向上的箭頭.新圖形與原圖形是位似圖形，位似比是2∶1A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P你還有其它方法嗎?如果依次在射線上PA,PB,PC,PD,PE①確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關鍵點，如四邊形有四個關鍵點，即它的四個頂點；③確定位似比，根據(jù)位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮?。虎芊弦蟮膱D形不唯一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關，并且同一個位似中心的兩側各有一個符合要求的圖形。

位似變換的步驟①確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；

如果兩個圖形不僅相似,而且對應頂點的連線相交于一點,像這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心,這時的相似比又稱為位似比.1.什么叫位似圖形?2.位似圖形的性質

位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比3.利用位似可以把一個圖形放大或縮小復習回顧如果兩個圖形不僅相似,而且對應頂點的連線相交于一點DEFAOBC如何把三角形ABC放大為原來的2倍?DEFAOBC對應點連線都交于____________對應線段_______________________________位似中心平行或在一條直線上復習回顧DEFAOBC如何把三角形ABC放大為原來的2倍?DEFAOB'A'xyBAo在平面直角坐標系中,有兩點A(6,3),B(6,0),以原點O為位似中心,相似比為1:3,把線段AB縮小.A′(2,1),B′(2,0)觀察對應點之間的坐標的變化,你有什么發(fā)現(xiàn)?探索1:B'A'xyBAo在平面直角坐標系中,有兩點A(6,3),BB'A'xyBAo在平面直角坐標系中,有兩點A(6,3),B(6,0),以原點O為位似中心,相似比為1:3,把線段AB縮小.A′(2,1),B′(2,0)A〞B〞A〞(-2,-1),B(-2,0)在平面直角坐標系中,如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.觀察對應點之間的坐標的變化,你有什么發(fā)現(xiàn)?B'A'xyBAo在平面直角坐標系中,有兩點A(6,3),Bxyo在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點的坐標分別為A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原點O為位似中心,相似比為2畫它的位似圖形.BACA′(4,6),B′(4,2),C′(12,4)放大后對應點的坐標分別是多少?B'A'C'探索2:還有其他辦法嗎?2461213624xyo在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點的坐標分別為A(xyo在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點的坐標分別為A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原點O為位似中心,相似比為2,將△ABC放大.A′(-4,-6),B′(-4,-2),C′(-12,-4)BAC放大后對應點的坐標分別是多少?B”A”xyo在平面直角坐標系中,△ABC三個頂點的坐標分別為A(xyo例題.在平面直角坐標系中,四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),畫出它的一個以原點O為位似中心,相似比為1/2的位似圖形.A′(-3,3),B′(-4,1),C′(-2,0),D′(-1,2)BACDA′B′C′D′你還有其他辦法嗎?試試看.xyo例題.在平面直角坐標系中,四邊形ABCD的四個頂點的在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k例如：點A(x,y)的對應點為A’，則A’點的坐標可以這樣確定歸納：xA’=xA×k

,

yA'=yA×kxA’=xA×(-k)，yA'=yA×(-k)或即A’（kx,ky）即A’（-kx,-ky）在平面直角坐標系中，例如：點A(x,y)的對應點為A’，則A例：如果四邊形ABCD的坐標分別為A（-6，6），B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),寫出以原點為位似中心，相似比為(1/2)的一個圖形的對應點的坐標練習：參考答案：例：如果四邊形ABCD的坐標分別為練習：參考答案：隨堂練習1.判斷下列各對圖形哪些是位似圖形，哪些不是.（1）五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′（2）正方形ABCD與正方A′B′C′D′√×隨堂練習1.判斷下列各對圖形哪些是位似圖形，哪些不是.（（3）等邊三角形ABC與等邊三角形A′B′C′√（3）等邊三角形ABC與等邊三角形A′B′C′√2.下面的說法對嗎?為什么?

（1）分別在△ABC的邊AB,AC上取點D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC縮小后的圖形。（2）分別在△ABC的邊AB,AC的延長線上取點D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的圖形。（3）分別在△ABC的邊AB,AC的反向延長線上取點D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC縮小后的圖形。ABCDEADE