集合的含義與表示-完整版課件

1.1.1集合的含義與表示1.1集合提出問題“集合”是日常生活中的一個常用詞，現(xiàn)代漢語解釋為:許多的人或物聚在一起.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，集合是一種簡潔、高雅的數(shù)學(xué)語言，我們怎樣理解數(shù)學(xué)中的“集合”？

考察下列問題：（1）1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)；（2）絕對值小于3的整數(shù)；（3）師大附中201205班的所有男同學(xué)；（4）平面上到定點(diǎn)O的距離等于定長的所有的點(diǎn).思考1：上述每個問題都由若干個對象組成，每組對象的全體分別形成一個集合，集合中的每個對象都稱為元素.上述4個集合中的元素分別是什么？知識探究（一）：集合的概念

思考2：一般地，怎樣理解“元素”與“集合”？思考3：組成集合的元素所屬對象是否有限制？集合中的元素個數(shù)的多少是否有限制？思考4：美國NBA火箭隊(duì)的全體隊(duì)員是否組成一個集合？若是，這個集合中有哪些元素？思考5：試列舉一個集合的例子，并指出集合中的元素.知識探究（二）：集合元素的特性任意一組對象是否都能組成一個集合？集合中的元素有什么特征？思考1：某單位所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個集合？由此說明什么？提示：集合中的元素必須是確定的，即確定性.思考2：在一個給定的集合中能否有相同的元素？由此說明什么？提示：集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，即互異性.思考3：201204班的全體同學(xué)組成一個集合，調(diào)整座位后這個集合有沒有變化？由此說明什么？提示：集合中的元素是沒有順序的，即無序性.知識探究（三）:元素與集合的關(guān)系思考1：設(shè)集合A表示“1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”，那么3，4，5，6這四個元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？思考2：對于一個給定的集合A，那么某元素a與集合A有哪幾種可能關(guān)系？思考3：如果元素a是集合A中的元素，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)化的語言表達(dá)？思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)化的語言表達(dá)？知識探究（四）：常見的數(shù)集思考1：所有的自然數(shù)，正整數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，實(shí)數(shù)能否分別構(gòu)成集合？思考2：自然數(shù)集，正整數(shù)集，整數(shù)集，有理數(shù)集，實(shí)數(shù)集等一些常用數(shù)集，分別用什么符號表示？

常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法

N*或N＋NZQR知識探究（五）：集合的表示方法觀察下列集合：(1)中國古代四大發(fā)明組成的集合；(2)20的所有正因數(shù)組成的集合；(3)不等式x－2≥3的解集；(4)所有正偶數(shù)組成的集合．思考1：上述四個集合中的元素能分別一一列舉出來嗎？提示：(1)(2)中的元素可以一一列舉出來．(3)(4)中的元素不能一一列舉，因?yàn)樵赜袩o窮多個.思考2：設(shè)(3)(4)中的元素為x，請用等式(或不等式)分別將它們表示出來．提示：(3)中元素x≥5；(4)中的元素x＝2n，n∈N＋.表示集合的常用方法(1)列舉法：把集合的元素

出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．一般形式：{a1，a2，a3，…，an}．一一列舉(2)描述法：用集合所含元素的

表示集合的方法稱為描述法，具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號，及

，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的

．一般形式：{x|p(x)}，其中x是集合元素的一般符號，p(x)是集合元素的共同特征.共同特征取值(或變化)范圍共同特征理論遷移[例1]

判斷下列每組對象能否構(gòu)成一個集合：（1）高一(4)班成績較好的同學(xué)；（2）2011年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者；（3）立方接近零的正數(shù)；（4）2012年倫敦奧運(yùn)會所有比賽項(xiàng)目．考點(diǎn)一：集合的基本概念[精解詳析]結(jié)合集合中元素的特性對四個小題具體分析如下：序號內(nèi)容分析結(jié)論（1）“成績較好”的界限不明確，不符合集合元素的確定性不能構(gòu)成集合（2）2010年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者是兩位美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家和一名具有英國和塞浦路斯雙重國籍的經(jīng)濟(jì)學(xué)家，元素是確定的能構(gòu)成集合（3）“接近零”的界限不明確不能構(gòu)成集合（4）所有比賽項(xiàng)目是確定的能構(gòu)成集合[一點(diǎn)通]判斷元素能否組成集合，關(guān)鍵看這些元素是否具有確定性．如果是確定的，則能構(gòu)成集合，否則就不能構(gòu)成集合．2．判斷下列各組對象能否構(gòu)成一個集合：(1)所有著名的數(shù)學(xué)家；(2)全校身高超過185cm的部分女生；(3)方程x2－1＝0的所有實(shí)數(shù)根；(4)大于－5的所有負(fù)數(shù)．解：序號能否構(gòu)成集合原因分析(1)否“著名的數(shù)學(xué)家”無明確標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)不成集合(2)否“部分女生”不是全體，“部分”包括哪些，不明確(3)能x2－1＝0的所有實(shí)數(shù)根為1，－1，滿足確定性(4)能滿足確定性，即{x|－5<x<0}考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系[例2]設(shè)集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，試判斷a＋b與集合A，B的關(guān)系．[精解詳析]

a∈A，則a＝2k1(k1∈Z)；b∈B，則b＝2k2＋1(k2∈Z)，所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1.又k1＋k2為整數(shù)，2(k1＋k2)為偶數(shù)，故2(k1＋k2)＋1必為奇數(shù)，所以a＋b∈B且a＋b?A.[一點(diǎn)通]判斷一個對象是否為某個集合的元素，就是判斷這個對象是否具有這個集合的元素具有的共同特征．如果一個對象是某個集合的元素，那么這個對象必具有這個集合的元素的共同特征．答案：B考點(diǎn)三：集合的表示方法

(3)大于4的全體奇數(shù)構(gòu)成的集合；

(4)坐標(biāo)平面內(nèi)，兩坐標(biāo)軸上點(diǎn)的集合；

(5)所有的三角形構(gòu)成的集合．

[一點(diǎn)通]1．列舉法是把集合中的元素一一列舉出來，寫在花括號里表示集合的方法．列舉時要注意元素的不重不漏，不計(jì)次序，且元素與元素之間用“，”隔開．2．用描述法表示集合時，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)為集合中元素所具備的共同特征．要注意豎線不能省略，同時表達(dá)要力求簡練、明確．6．用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(3)直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合．解：(1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解組成的集合為{0,1}．(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0,1)．故兩直線的交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}．7．用描述法表示下列集合：(1)正偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中第一象限的點(diǎn)組成的集合．解：(1)偶數(shù)可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定n∈N*，所以正偶數(shù)集可表示為{x|x＝2n，n∈N*}．(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N*，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N*}．(3)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0，且縱坐標(biāo)大于0，故平面直角坐標(biāo)系中第一象限的點(diǎn)組成的集合為{(x，y)|x>0，y>0}.考點(diǎn)四：集合中元素特性[例4](12分)已知集合A中含有兩個元素a和a2，若1∈A，求實(shí)數(shù)a的值．[精解詳析]若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1.(4分)當(dāng)a＝1時，a＝a2，集合A有一個元素，∴a≠1. (7分)當(dāng)a＝－1時，集合A含有兩個元素1，－1，符合互異性．(10分)∴a＝－1. (12分)[一點(diǎn)通]根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值，再根據(jù)集合中的元素的互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn)．另外，利用集合中元素的特性解題時，要注意分類討論思想的應(yīng)用．8．實(shí)數(shù)集{2x，x2＋x，－4}中元素x的值可以為(

)A．0 B．1C．－1 D．－2解析：把0,1，－2分別代入集合中，可知不滿足集合中元素的互異性，－1滿足條件．答案：C9．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}且－3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．解：(1)若a－3＝－3，則a＝0，此時A＝{－3，－1，－4}，滿足題意.(2)若2a－1＝－3，則a＝－1，此時A＝{－4，－3，－3}，不滿足元素的互異性.(3)若a2－4＝－3，則a＝±1.當(dāng)a＝1時，A＝{－2,1，－3}，滿足題