專題12 導(dǎo)數(shù)之極值點(diǎn)偏移（二）（學(xué)生版）

9專題11導(dǎo)數(shù)之極值點(diǎn)偏移（二）一、考情分析函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點(diǎn)，是一個(gè)多元數(shù)學(xué)問題，不管待證的是兩個(gè)變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).二、考點(diǎn)梳理1、極值點(diǎn)偏移的判定定理對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏.2、運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法1、極值點(diǎn)偏移處理方法：（1）求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系.口訣：極值偏離對(duì)稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個(gè)步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2、答題模板若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.[來源:Z,xx,k.Com]（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.[來源:Zxxk.Com]（3）通過求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時(shí)，.（4）不妨設(shè)，通過的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時(shí)，且，，故，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)?，故，由于在上單調(diào)遞減，故.【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)須細(xì)心；（2）此類題目若試題難度較低，會(huì)分解為三問，前兩問分別求的單調(diào)性、極值點(diǎn)，證明與（或與）的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結(jié)論，讓你給予證明，此時(shí)自己應(yīng)主動(dòng)把該小問分解為三問逐步解題.[來源:Z。xx。k.Com]

三、題型分析例1、已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（1）求的取值范圍.（2）設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明.例2、（2021·重慶市開州中學(xué)高三月考）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)，滿足且，證明：.

例3、已知，．若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．例4、已知函數(shù)與的圖象在點(diǎn)處有相同的切線．（Ⅰ）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：．

例5、（2021·湖北恩施·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)．（1）判斷的單調(diào)性；（2）設(shè)方程的兩個(gè)根為，，求證：．

遷移應(yīng)用1、（2021·湖北江岸·高二期末）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.2、已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明:當(dāng)時(shí)，.

3、（2021·江蘇·周市高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且，證明：．4、（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，證明：．

5、（2021·四川·成都外國語學(xué)校高三月考（文））已知函數(shù).（1）證明：曲線在點(diǎn)處的切線恒過定點(diǎn)；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：.6、（2021·陜西·千陽縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，證明：且．

7、（2021·北京·臨川學(xué)校高三期末）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)