高考總復(fù)習(xí)走向清北課件20數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖象

第二十講三角函數(shù)的圖象回歸課本

31.作y=Asin(ωx+φ)的圖象主要有以下兩種方法:(1)用“五點(diǎn)法”作圖.相應(yīng)的x,通過(guò)列表,計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象.用“五點(diǎn)法”作y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖,主要是通過(guò)變量代換,

設(shè)z=ωx+φ,由z取0,

,

π,

,2π來(lái)求出2

2(2)由函數(shù)y=sinx的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象

,有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.

移

0

|

|)

或

個(gè)

向

位

y=sin(x+φ)方法一:先平移后伸縮y=sinx向左(

右(0)

平

單

1

縱

標(biāo)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)

A倍

橫

標(biāo)y=sinωxy=sinx橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

倍y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ).

方法二:先伸縮后平移1縱

標(biāo)向左(0)或向右(0)平移

個(gè)單位縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)

A倍橫

標(biāo)叫做周期,

2

1

2叫做相位,x=0時(shí)的相位φ稱為初相.

T2.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí),A

叫做振幅,T=

f

叫做頻率,ωx+φ對(duì)稱軸方程是x=

+kπ,(k∈Z).3.對(duì)稱問(wèn)題y=sinx圖象的對(duì)稱中心是(kπ,0),(k∈Z).(k∈Z).

2對(duì)稱軸方程是x=kπ,(k∈Z).y=cosx圖象的對(duì)稱中心是

k,0,

2

考點(diǎn)陪練,.

,

1

y

sin

如圖所示

函數(shù)

在區(qū)間

的簡(jiǎn)圖

2x

3

2

是(

)3

3

,解析:x

時(shí),y

,排除B?D;x

時(shí),y

2

2

6

2排除C.

答案:A2.若f(x)=sin(ωx+φ)的圖象(部分)如圖所示,則ω和φ的取值是()C.

,

D.

,

,T

4,又T

3

31

2

61

2

6A.

1,

B.

1,

,.T

2

4

32

6

6

3

x

.0

sin

2

2

6

解析:

k.由圖知k

0,

答案:C3.

y

a

sin

將函數(shù)

的圖象按向量

平移后所得的圖

,

a

(

)

象關(guān)于點(diǎn)

中心對(duì)稱

則向量

的坐標(biāo)可能為

.

A

.

C

,0

D.

,02x

3

,0

12

,0

B.

,0

12

6

12

6

a

..

2x

的一個(gè)對(duì)稱中心為

,0

3

6

,0

12

12

6

12

,0

12

答案:CA.y

sin

B.y

sin

C.y

sin

1

D.y

sin

1

4.(2010·四川)將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移

動(dòng)

個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2

10

倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象的函數(shù)解析式是(

)

2x

10

x

2

10

2x

5

x

2

20

10解析:將函數(shù)y

sinx的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到

x

10

x

2

10答案:C,

y

sin

的圖象如下

結(jié)果發(fā)現(xiàn)恰有

x

,

y

sin

x

6

3

5.(2010

江西)四位同學(xué)在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別選定了一個(gè)適當(dāng)?shù)膮^(qū)間,各自作出三個(gè)函數(shù)y

sin2x,一位同學(xué)作出的圖象有錯(cuò)誤,那么有錯(cuò)誤的圖象是(

)兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為

,12解析:當(dāng)x

2k(kZ)時(shí),y

sin2x

sin[2(2k)]

0,

1

6

6

2

3

sin2k

0,顯然周期最小的函數(shù)為

3

2

y

sin2x,過(guò)函數(shù)y

sin2x的圖象上的點(diǎn)(2k,0)(kZ)作一直線x

2k(kZ),則此直線與另外兩條曲線的

32,結(jié)合各選項(xiàng)可知有錯(cuò)誤的圖象為C.

答案:C類型一“五點(diǎn)法”作圖解題準(zhǔn)備:根據(jù)三角函數(shù)的圖象在一個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)?最低

點(diǎn)及與x軸的三個(gè)交點(diǎn)來(lái)作圖,即先確定這五個(gè)點(diǎn)來(lái)作這個(gè)

函數(shù)的圖象.其一般步驟是:3(2)在坐標(biāo)系中描出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),用平滑的曲線順次連接,得

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象;(3)將所得圖象向兩邊擴(kuò)展,得y=Asin(ωx+φ)在R上的圖象.

(1)令ωx+φ分別等于0,

π,

2

值和y值,即求出對(duì)應(yīng)的五點(diǎn);,2π,求出對(duì)應(yīng)的x

2y

sin

3cos【典例1】作出函數(shù)的一個(gè)周期

內(nèi)的圖象.[分析]考查:“五點(diǎn)法”作圖.x

x2

2

3cos

,得y

2sin

,其周期T

x

x

x

4,振幅A

2,令

0,

,,22

1x

32

3

2

2

2

2

2

3

[解]先選點(diǎn)再列表,最后描點(diǎn)連線.由y

sin,2.列表:,

y

2sin

描點(diǎn)連線

可得函數(shù)

在一個(gè)周期2

10

x

,

2

3

3

3

內(nèi)的圖象如圖.2|

|

[反思感悟]用“五點(diǎn)法”作正?余弦函數(shù)的圖象要注意以下

幾點(diǎn):①先將解析式化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)

的形式;②周期

;③振幅A(A>0);④列出一個(gè)周期的

五個(gè)特殊點(diǎn);⑤描點(diǎn)?用平滑曲線連線.T

倍(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sinωx類型二三角函數(shù)的圖象變換解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)的圖象變換包括平移和伸縮兩類變換,具

體有以下三種變換:(1)相位變換:y=sinx的圖象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個(gè)

單位得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖象.(2)周期變換:y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(0<ω<1)或縮短(ω>1)到原來(lái)的的圖象.

1(3)振幅變換:y=sinx圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1)或縮

短(0<A<1)到原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=Asinx的圖

象.

2

1

y

sinx

?

y

cos

【典例

】

如何由

得到

的圖象1

2

y

sin

?

x

y

sin

如何由

的圖象得到

的圖象1

x

2

4

2x3

3

[分析]先化異名為同名,后作變換.y

cos

1

1

得到y(tǒng)

sin

;

x

cos

x

2

4

2

4

x

sin

x

2

4

2

2

4

[解]1

x4

4

所以可由y

sinx向左平移再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),

x

,即可得到y(tǒng)

cos

x

2

4

2

4

2由y

sin

的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)1

2x3

3

2x

3

x

的圖象;再把y

sin

x

3

3

的圖象向右平移

個(gè)單位,即得到y(tǒng)

sinx的圖象.

3倍(ω>1),則只需將x換成,若將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮[反思感悟]對(duì)于y=f(x)的圖象,若將圖象平移a(a>0)個(gè)單位,當(dāng)

向左平移則把x換成x+a,當(dāng)向右平移則把x換成x-a,其他任

何數(shù)值和符號(hào)不變,若將圖上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的ω1x短到原來(lái)的

1(ω>1),則只需將x換成ωx即可.類型三三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式解題準(zhǔn)備:給出圖象求解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B的難點(diǎn)在于φ

的確定,本質(zhì)為待定系數(shù)法.基本方法是:①“五點(diǎn)法”,運(yùn)

用“五點(diǎn)”中的一點(diǎn)確定.②圖象變換法,即已知圖象是由

哪個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)變換得到的,通常可由零值點(diǎn)或最值

作為突破口,要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一零值點(diǎn)的位置.【典例3】下圖為y=Asin(ωx+φ)的圖象的一段,求其解析式.2[分析]確定A.若以N為五點(diǎn)法作圖中的第一零點(diǎn),由于此時(shí)曲

線是先下降后上升(類似于y=-sinx的圖象)所以A<0;若以M

點(diǎn)為第一個(gè)零點(diǎn),由于此時(shí)曲線是先上升后下降(類似于

y=sinx的圖象)所以A>0.而ω=

,φ可由相位來(lái)確定.T所求解析式為y

3sin2x.①

3

6

3

2,此時(shí)解析式為y

3sin2x

.

,0

.

6

6

3

0

,所求解析式為y

3sin2x.②

2

3

32

32

2

,0

3

T

,0

3

2

3

2

x

sin

x

3

y

sin

.

3

.

sin

同樣由②也可得①2

2

3

3

2x

3

[反思感悟]1本例中①與②這兩個(gè)解析式是一致的,由①可得②.2(2)由此題兩種解法可見(jiàn),在由圖象求解析式時(shí),“第一零點(diǎn)”的確定是很重要的,盡量使A取正值,由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段圖象,求其解析式時(shí),A比較容易看圖得出,困難的是求待定系數(shù)ω和φ,常用如下兩種方法:①如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點(diǎn)”坐標(biāo),那么由

ω=

即可求出ω;確定φ時(shí),若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的零點(diǎn)橫坐標(biāo)x0,則令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π)即可求出φ.T②代入點(diǎn)的坐標(biāo).利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)?最低點(diǎn)或零點(diǎn))坐

標(biāo)代入解析式,再結(jié)合圖形解出ω和φ,若對(duì)A,ω的符號(hào)或?qū)?/p>

φ的范圍有要求,則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.(3)利用圖象特征確定函數(shù)解析式y(tǒng)=Asin(ω+φ)+k或根據(jù)代

數(shù)條件確定解析式時(shí),要注意以下幾種常用方法:①振幅A=(ymax-ymin).12②相鄰兩個(gè)最值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)之差,或者一個(gè)單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)

度為

T

,

由此推出ω的值.

2③確定φ值,一般用給定特殊點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式確定.類型四三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性解題準(zhǔn)備:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的對(duì)稱問(wèn)題(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于直線x=xk(其中

2

谷處且與x軸垂直的直線為其對(duì)稱軸.(2)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(xj,0)(其中

ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心對(duì)稱圖形,也就是說(shuō)函數(shù)圖象與x

軸的交點(diǎn)(平衡位置點(diǎn))是其對(duì)稱中心.2

4

.

y

sin

【典例

】求函數(shù)

的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心

k

Z

,

是其對(duì)稱軸[

]

y

sinx

,x

k

分析

觀察

的圖象3x

4

2k,0kZ是其對(duì)稱中心(即:對(duì)稱軸過(guò)最值點(diǎn)且垂直于x軸,對(duì)稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)).k

(kZ)為對(duì)稱軸,

kZ為

k

4

2

4(kZ),3x

k

kkZ.

,0

3

12

[解]由3x知x

3

12對(duì)稱中心.類型五三角函數(shù)模型的常見(jiàn)應(yīng)用解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象,因此在解決實(shí)際

問(wèn)題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用.如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期

性,那么它就可以借助三角函數(shù)來(lái)描述,三角函數(shù)模型的常

見(jiàn)類型有:(1)航海類問(wèn)題.涉及方位角概念,方位角指的是從指正北方向

線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角度.還涉及正?余弦定

理.(2)與三角函數(shù)圖象有關(guān)的應(yīng)用題.近年全國(guó)高考有一解答題正是此類應(yīng)用題.(3)引進(jìn)角為參數(shù),利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行推理,解決最優(yōu)化問(wèn)題,即求最值.(4)三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用.t(時(shí))03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5【典例5】已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24,

單位:小時(shí))的函數(shù),記作:y=f(t).下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù):經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè),y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T?振幅A及函數(shù)表達(dá)式;(2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才可對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放.

請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間,有多

少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)?1

[解](1)由表中數(shù)據(jù),知周期T=12.∴ω=

.

T

12

6由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.①由t=3,y=1.0,得b=1.②,12由①②得A=0.5,b=1,∴振幅為∴

y

cos

t

1.

2

6∴

1

1,

cos

t

(2)由題知,當(dāng)y>1時(shí)才可對(duì)沖浪者開(kāi)放,即12k-3<t<12k+3(k∈Z).③∵0≤t≤24,故可令③中k分別為0?1?2,得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.∴在規(guī)定時(shí)間8：00至20：00之間,有6個(gè)小時(shí)的時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng),即9:00至15：00.2

6

61

∴

cos

t

0.2

6

2∴2kπ-

t

2k

(k∈Z),

y

sin

個(gè)單位,求所得圖象的解析式.錯(cuò)源一未抓住平移對(duì)象而致誤的圖象沿x軸向左平移

3

【典例1】將函數(shù)

2x

3,

[

]

y

sin

錯(cuò)解由條件知平移后解析式為

即為

.

y

sin

的圖象2

2x

3

3

2x

3

[剖析]此題出錯(cuò)率極高,主要原因是未抓住函數(shù)圖象平移是針對(duì)自變量x而言的.[

]

2

y

sin

正解

所得函數(shù)圖象的解析式應(yīng)是

,

x

3

3即y

sin2x

sin2x.錯(cuò)源二伸縮變換中記憶不準(zhǔn)而致錯(cuò)

x

3

12

x

2

3

x

2

6

n

[

]y

si

正解

[剖析]“錯(cuò)解一”錯(cuò)在變換公式記憶錯(cuò)誤;“錯(cuò)解二”錯(cuò)誤

較多,不僅變換公式記憶錯(cuò)誤,還不清楚變換是針對(duì)自變量x

的.2x

3

錯(cuò)源三抓不住對(duì)稱變換中針對(duì)對(duì)象而致錯(cuò)

x

3

圖象的解析式.

x

3

x

3

[剖析]錯(cuò)在前也加了負(fù)號(hào),將函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,只是

3

在自變量x前加負(fù)號(hào),其他處都不變.

x

,即y

sin

x

或y

cos

x

3

3

6

[評(píng)析]若將函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所得圖象的解析式為y=sin(-ωx+φ);若將函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,所得圖象的解析式為y=-sin(ωx+φ).技法

“四看”解決圖象平移問(wèn)題一看:平移要求拿到這類問(wèn)題,首先要看題目要求由哪個(gè)函數(shù)圖象平移到哪

個(gè)函數(shù)圖象,這是判斷移動(dòng)方向的關(guān)鍵點(diǎn).一般題目會(huì)有下

面兩種常見(jiàn)的敘述.

3

6

3

6

2x

3

y

sin2x的圖象(

)A.向左平移C.向左平移

B.向右平移D.向右平移

3

6

3

6

2x

3

到函數(shù)y

sin2x的圖象(

)A.向左平移C.向左平移

B.向右平移D.向右平移y=sin2x移到

,

y

sin

2

y

sin

x

[解析]上面兩題是平移問(wèn)題兩種典型的敘述方法,粗看兩題好

像差不多,其實(shí)兩題的要求是不同的.第(1)題是要把函數(shù)移到y(tǒng)=sin2x,兩題平移的要求不同.第(1)題是基本形式,應(yīng)該選D,而第(2)題是它的反形式,故選C.[答案](1)D(2)C2x

而第(2)題是要把函數(shù)

3

3

二看:函數(shù)形式我們?cè)诮鉀Q這類問(wèn)題時(shí),一定要依賴y=Asin(ωx+φ)的形式,如果題目給定的函數(shù)不是這樣的形式,就要化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再考慮平移.

6

6

3

3

2x

6

數(shù)y

cos2x的圖象(

)A.向右平移C.向左平移

B.向右平移D.向左平移y

sin

cos

cos2x

2x

cos,因此將y

cos2x向右移動(dòng)[解析]此題主要是函數(shù)形式的變化,我們所研究的兩個(gè)函數(shù)必

須都是形如y=Asin(ωx+φ)的形式.當(dāng)實(shí)際題目中的兩個(gè)函

數(shù)不都是這樣的形式時(shí),要先利用函數(shù)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.所以

我們可以改變2

32

3

32x

6

6