土木工程制圖講義換面法篇

王雷第四章章?lián)Q換面面法§4.1換面法法一、換換面法法的概概念★如何求求一般般位置置直線線的實(shí)實(shí)長？？★如何求求一般般位置置平面面的真真實(shí)大大??？？解決方方法：：更換投投影面面。物體本本身在在空間間的位位置不不動(dòng)，，而用用某一一新投投影面面（輔輔助投投影面面）代代替原原有投投影面面，使使物體相相對新新的投投影面面處于于解題題所需需要的的有利利位置置，然后后將物物體向向新投投影面面進(jìn)行行投射射。VHABababV1a1b

1二、新新投影影面的的選擇擇原則則1．有利利于解解題如：新新投影影面∥或幾何元元素(應(yīng)熟練練掌握握特殊殊位置置幾何何元素素的特特性)2．新投投影面面須垂垂直某某一原原投影影面以構(gòu)成成一個(gè)個(gè)相互互垂直直的兩兩投影影面的的新體體系VHABababV1a1b

1VHAaaaxX⒈更換一一次投投影面面

舊投影體系X—VH

新投影體系V1HX1—A點(diǎn)的兩兩個(gè)投投影：：a，aA點(diǎn)的兩兩個(gè)投投影：：a，a1'VHXV1HX1aaa'1axax1.三、點(diǎn)點(diǎn)的投投影變變換規(guī)規(guī)律新投影影體系系的建建立V1HX1V1a'1ax1VHAaaaxXVHXV1HX1aaa'1axax1.投影規(guī)規(guī)律①點(diǎn)的新新投影影和與與保留留投影影的連連線，，必垂垂直于新投投影軸軸。aa1X1②點(diǎn)的新新投影影到新新投影影軸的的距離離等于于被代代換投影到到舊投投影軸軸的距距離。。a1ax1=aaxV1HX1V1a'1ax1XVHaaaxVHXV1HX1aaX1H1Va1axax1ax1●a'1..作圖步步驟更換V面①由點(diǎn)的的不變變投影影向新新投影影軸作作垂線線，②在垂線線上量量取一一段距距離，，使這這段距距離等等于被代替替的投投影到到原投投影軸軸的距距離。。更換H面⒉更換兩兩次投投影面面先把V→V1，V1H，得到中間新投影體系:V1HX1—V1再把H→H1，H1V1，得到新投影體系:X2—H1按次序序更換換AaVHaaxXX1V1a'1ax1H1X2ax2a1新投影體體系的建建立Oax2aaXVHa1X1HV1X2V1H1a'1axax1..作圖方法法作圖規(guī)律律a1a'1X2軸a1ax2=aax1VHABabab四、換面面法的四四個(gè)基本本作圖問問題1.把一般位位置直線線變換成成投影面面平行線線用V1面代替V面，在V1/H投影體系系中，AB//V1。X1HV1V1a'1b'1空間分析析：

換H面行嗎？不行！作圖：例：求直線AB的實(shí)長及與H面的夾角。ababXVH新投影軸軸的位置置？b'1●與ab平行。.a'1●X1a'1●b'1●VHaaXBbbA2.把一般位位置直線線變換成成投影面面垂直線線空間分析析：ababXVHX1HV1V1H1X2作圖：X1V1a'1b'1X2H1二次換面面把投影影面平行行線變成成投影面面垂直線線。X2軸的位置置？a1b1.與a'1b'1垂直一次換面面把直線線變成投投影面平平行線；；a1b1一般位置置直線變變換成投投影面垂垂直線，，需經(jīng)幾幾次變換換？3.把一般位位置平面面變換成成投影面面垂直面面空間分析析：在平面內(nèi)內(nèi)取一條投影影面平行行線，經(jīng)一次次換面后后變換成成新投影影面的垂垂直線，，則該平平面變成成新投影影面的垂垂直面。。作圖方法法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)進(jìn)行一次次變換？？若變換H面，需在面面內(nèi)取什什么位置置直線？？正平線??！如果把平平面內(nèi)的的一條直直線變換換成新投投影面的垂直線線，那么么該平面面則變換換成新投投影面的垂直面面。VH

a

b

cabcABCXdD

d

V1X1c1b1

a1d1acbabcXVH例：把三角形ABC變換成投影面面垂直面面。HV1X1作圖：：1.在平面內(nèi)內(nèi)取一條條水平線線AD。dd2.將AD變換成新新投影面面的垂直線。。c'1●a'1d'1●b'1●反映平面面對哪個(gè)個(gè)投影面面的夾角角？.αV1X1H1一次換面面,把一般位位置平面面變換成成投影面面垂直面面；二次換面面，把投投影面垂垂直面變變換成投投影面平平行面。。空間分析析：一次變換能否實(shí)現(xiàn)？為什么？作圖方法法：經(jīng)一次變變換把△ABC變換成輔輔助投影影面的垂垂直面后后，再選取一個(gè)個(gè)新投影影面，使使其既垂垂直于輔助平面，又又平行于于△ABC，這樣，△ABC在新投影影面體系系中就成成為輔助助投影面面P2的平行面面了。4.把一般位位置平面面變換成成投影面面平行面面a'1b'1●X2V1H1abacbXVHc作圖：：AB是水平線線a1●c1●b1●c'1●X2軸的位置？？平面的實(shí)實(shí)形.X1HV1.與其平行行例：把△ABC變換成投影面面平行面面。b'1X1V1H五、換面面法的應(yīng)應(yīng)用作圖:c'1a'1例1：試過點(diǎn)點(diǎn)A作直線與已已知直線線BC垂直相交交。HccbabXVHccbabXVd'1dd空間及投投影分析析：當(dāng)直線BC平行于某某投影面面時(shí)，由由直角投投影定理理可知,與BC垂直的直直線在該該投影面面上的投投影反映映其垂直直關(guān)系。。1.將直線BC轉(zhuǎn)換成V1面的平行行線;2.求出點(diǎn)A在V1面的投影影a1′;3.過a1′作BC投影垂線線，AD即為所求求。討論：有否其它變換方法？將點(diǎn)A及直線BC看成同一一平面，將平面面ABC換成新投投影面平平行面，，則在該該面上作作出點(diǎn)A到BC距離。例1：試過點(diǎn)點(diǎn)A作直線與已已知直線線BC垂直相交交。求點(diǎn)A到已知直線線BC距離。b'1X1V1Hc'1a'1HcbabXVHccbabXVd'1ddHccbabXVHccbabXV此方法可可解決同同一平面面內(nèi)的定定位、度度量問題題，如平平行兩直直線距離離、夾角角，作角角平分線線等。空間及投投影分析析只有AB與CD都平行于于投影面面即AB與C點(diǎn)構(gòu)成的的平面平平行于投投影面時(shí)時(shí)，其投投影的夾夾角才反反映真實(shí)實(shí)大?。ǎ?0°）因此,需將AB與C點(diǎn)所確定定的平面面變換成成投影面面平行面面。例2:過C點(diǎn)作直線線CD與AB相交成60o角。abacbXVHc●●60°ABDCabdc例2:過C點(diǎn)作直線線CD與AB相交成60o角。

dX1HV1X2V1H1abacbXVHc作圖：c1●●●c'1●a'1b'1●a1●b1●幾個(gè)解？？兩個(gè)解??！60°D點(diǎn)的投影影如何返返回？..1.將面ABC變換成V1面的垂面面;2.將面ABC變換成H1面的平行行面;d'●如何選擇擇X2軸？3.過c1作c1d1與a1b成60°角,得d1;4.將d1投影返回回。d●d1dd1d1●60°ABDCabdc空間及投投影分析析若平面P是投影面面垂直面面，則垂垂線KL就是該投投影面的的平行線線，距離離可直接接求出。。a'VXHk'kpbacdb'c'd'V1Kk1'PLl1'例3：求點(diǎn)K到平面P（?ABCD）的距離。。例3：求點(diǎn)K到平面P（?ABCD）的距離。。V1X1HVXHp'1k1'l1'll'k'k作圖：a'bacdb'c'd'1.將P面換成V1面的垂直直面P1′;與X1軸平行2.作出K點(diǎn)在V1面上的投投影K1′;3.過K1′點(diǎn)向P1面作垂線線KL即為所求求距離。。4.作出垂線線KL的投影。。請注意L點(diǎn)的投影影如何返返回？pV1Kk1'PLl1'水平線cdbadacbVHXθ例4：求平面ABC和ABD的兩面角角。由幾何定定理知：：兩面角角為兩平平面同時(shí)時(shí)與第三三平面垂垂直相交交時(shí)所得得兩交線線之間的的夾角。。空間及投投影分析析：在投影圖圖中,兩平面的的交線垂垂直于投投影面時(shí)時(shí)，則兩兩平面垂垂直于該該投影面面，它們們的投影影積聚成成直線，，直線間間的夾角角為所求求。H1V1X2HV1X1cdbadacb●d'1●c'1●a'1●b'1θVHXθ作圖：..1.將交線AB換成V1面的平行行線;2.將交線AB換成H1面的垂直直線;d1●3.角∠c1a1(b1)d1即為所求求。例4：求平面ABC和ABD的兩面角角。●a1≡

b1c1●空間及投投影分析析交叉二直直線間的的距離即即是它們們之間公公垂線的的實(shí)長。。若兩交交叉直線線之一變變換成新新投影面面垂直線線時(shí)，公公垂線必必為該投投影面的的平行線線，反映映實(shí)長，，且與另另一直線線投影垂垂直，據(jù)據(jù)此可確確定公垂垂線位置置。例5:求交叉二二直線AB、CD之間的距距離及公公垂線的的投影。。abacbXVHddcAMBCDNa1m1b1c1（d1）（n1）H1例5:求交叉二二直線AB、CD之間的距距離及公公垂線的的投影。。X1HV1abacbXVH作圖：c'1n1c1d1a1db1m1X2H1

V1dca'1b'1d'1m'1n'1mnmn1.將直線CD經(jīng)過兩次次換面變變成H1面的垂直直線，得得n1;2.作另一直直線AB在H1面上的投影a1b1;3.過n1作a1b1垂線m1n1，即為公垂線實(shí)實(shí)長；4.逆變換返返回，求求出公垂垂線的投影；；討論：如何求出出點(diǎn)到直直線的距距離，如何求出出兩平行行直線間間距離？？AMBCDNa1m1b1c1（d1）（n1）H1baabcd例6：已知兩交交叉直線線AB和CD的公垂線線的長度度為MN，且AB為水平線線，求CD及MN的投影。。MN●m●d●nVHXHV1X1m1n1⊥c1d1●n●m空間及投投影分析析當(dāng)直線AB垂直于投投影面時(shí)時(shí)MN平行于投投影面，，這時(shí)它它的投影影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。作圖：請注意各各點(diǎn)的投投影如何何返回？？求m點(diǎn)是難點(diǎn)點(diǎn)。.MN●cV1ACDNMc1d1a1m1b1n1B●●d1●c1●n1.●a1≡b1≡m1一、換換面法就就是改變投影影面的位位置，使它與與所給物物體或其幾幾何元素素處于解題所需需的特殊殊位置。二、換換面法的的關(guān)鍵是是要注意意新投影面面的選擇擇條件，即必須使使新投影面