復(fù)合函數(shù)零點問題

第12煉復(fù)合函數(shù)零點問題一、基礎(chǔ)知識：1、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=fG),t=g(x),且函數(shù)g(x)的值域為f(t)定義域的子集，那么y通過t的聯(lián)系而得到自變量％的函數(shù)，稱y是％的復(fù)合函數(shù)，記為y=f[g(x)]2、復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計算的步驟：求y=g[f(x)]函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的順序，一層層求出函數(shù)值。例如：已知f(x)=2x,g(x)=x2-x，計算g[f(2)解：f(2)=22=4g[f(2)]=g(4)=123、已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求x的解，則遵循“由外到內(nèi)”的順序，一層層拆解直到求出x的值。例如：已知f(x)=2x，g(x)=x2-2x，若g[f(x)]=0，求x解：令t=f(x)，則g(t)=0n12-2t=0解得t=0,t=2當(dāng)t=0nf(x)=0n2x=0，則xe0當(dāng)t=2nf(x)=2n2x=2，則x=1綜上所述：x=1由上例可得，要想求出g[f(x)]=0的根，則需要先將f(x)視為整體，先求出f(x)的值，再求對應(yīng)x的解，這種思路也用來解決復(fù)合函數(shù)零點問題，先回顧零點的定義：4、函數(shù)的零點：設(shè)f(x)的定義域為D，若存在xgD，使得f(x)=0，則稱x=x為000f(x)的一個零點5、復(fù)合函數(shù)零點問題的特點：考慮關(guān)于x的方程g[f(x)]=0根的個數(shù)，在解此類問題時，要分為兩層來分析，第一層是解關(guān)于f(x)的方程，觀察有幾個f(x)的值使得等式成立；第二層是結(jié)合著第一層f(x)的值求出每一個f(x)被幾個x對應(yīng)，將x的個數(shù)匯總后即為g[f(x)]=0的根的個數(shù)6、求解復(fù)合函數(shù)y=g[f(x)]零點問題的技巧：

(1)此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出f(^),gG)的圖像(2)若已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計關(guān)于f(%)的方程g[f(x)]=0中f(x)解的個數(shù)，再根據(jù)個數(shù)與f(x)的圖像特點，分配每個函數(shù)值f(x)被幾個x所對應(yīng)，從而確i定f(x)的取值范圍，進而決定參數(shù)的范圍i復(fù)合函數(shù)：、典型例題設(shè)定義域為R的函數(shù)f設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)=x-1|若關(guān)于x的方程1,x-1f2(x)+bf(x)+C=0由3個不同的解x1，x2,x3，思路：先作出f(x)的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對于任意的y，滿足y-f(x)的x的個數(shù)00分別為2個(y>0,y豐1)和3個(y-1),已知有3個解，從而可得f(x)=1必為000f2(x)+bf(x)+c-0的根，而另一根為1或者是負數(shù)。所以f(x)=1，可解得：it-t-1或t-2，則只需作出t(x)=x2-1的圖像，然后統(tǒng)計與t-1與t-2的交點總數(shù)即可，共有5個答案：C”、?1一1.例3：已知函數(shù)f(x)-Ix+-I-1x--1，關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0xx(a,beR)恰有6個不同實數(shù)解，則a的取值范圍是

思路：所解方程f2(x)+af(x)+b=0可視為f(x)2+a\f(x)+b=0,故考慮作出f(x)的圖像：ff(x)的圖像：f(x)=<2x,0<x<1-2x,-1<x<0，"-2,x<-1x如圖，由圖像可知，若有6個不同實數(shù)解，則必有f(x)=2,0<f(x)<2，所以-a=f(x)+f(x)e(2,4),1212f(x)的圖像解得-4<f(x)的圖像答案：-4<a<-2[2lx-11-1,0<x<2例4：已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=11/、，則關(guān)于x的方-f(x-2),x>212A.6B.7C.8D.9程6[f(x)]2-f(x)A.6B.7C.8D.9完成后可再利用奇函數(shù)的性質(zhì)作出負半軸圖像。通34C.5完成后可再利用奇函數(shù)的性質(zhì)作出負半軸圖像。通34C.5D.6得f(x)=\f(x)=-1，只需統(tǒng)計1223思路：已知方程6[f(x)]2-f(x)-1=0可解y=；,y=-1與y=f(x)的交點個數(shù)即可。由奇函數(shù)可先做出x>0的圖像，x>2時，f(x)=1f(x得f(x)=\f(x)=-1，只需統(tǒng)計1223過數(shù)形結(jié)合可得共有7個交點答案：B小煉有話說：在作圖的過程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點屬于哪一段區(qū)間。例5：若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點x,x，且f(x)=x，則關(guān)于x的方程12113(f(x)》+2af(x)+b=0的不同實根的個數(shù)是()

TOC\o"1-5"\h\z思路：f'G)=3x2+2ax+b由極值點可得：x,x為3x2+2ax+b=0①的兩根，觀察12到方程①與3(/(x))+2af(x)+b=Q結(jié)構(gòu)完全相同，所以可得3(/(x))+24(x)+Z?=0的兩根為/G)=x,/G)=x,其中/G)=x,若X<X,112211112可判斷出X是極大值點，X是極小值點。且12fG)=x>x=于(x),所以y=/G)與/G)有兩22111個交點，而/(X)與/G)有一個交點，共計3個；若2x>x,可判斷出x是極小值點，x是極大值點。且1212f(x)=x<x=f(x),所以y=f(x)與f(x)有兩個交點，而f(x)與f(x)有一個221112交點，共計3個。綜上所述，共有3個交點答案：A例6：已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3|,若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰有七個不相同的實根，則實數(shù)b的取值范圍是()A.(-2,0)B,(-2,-1)C,(0,1)D,(0,2)思路：考慮通過圖像變換作出f(x)的圖像(如圖)，因為[f(x)]2+bf(x)+c=0最多只能解出2個f(x)，若要出七工/個根，則4(x)=1,f2(x)e(0,1)，所以-b=f(x)+f(x)e(1,2)，解得：b式一2,-1),-“12答案：B例7：已知函數(shù)f(x)二，若關(guān)于x的方程f2(x)-mf(x)+m-1=0例7：已知函數(shù)f的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是(A.(2,e)A.(2,e)B.(1、C.I1』+力X一,x>0思路：/(x)=^eX,分析f(X)的圖像以便于作圖，X一,x>0思路：/(x)=^eX,分析f(X)的圖像以便于作圖，--,x<0、exx>0時，f,(x)=(1-x)e-X,從而f(X)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減，f(1)=1,且當(dāng)xf+8,yf0,所以Xe正半軸為水平漸近線；當(dāng)X<0時，f'(x)=(x-1)e-X，所以則關(guān)于f(X)的f(x)在(-8,0)單調(diào)遞減。由此作圖從圖像可得，若恰有4個不等實根方程f2(x)-mf(x)+m-1=0中，f1(x)￡,f(X)e

2(1一,+8Ie從而將問題轉(zhuǎn)化為根分布問題，設(shè)t=f(x)，則12-mt+m-1=0的兩根(g(1—,+8Ieg(t)=12-mt+m-1，則有<'g(0)>0m-1>0n|111△，--m?一+m-1=0[e2e(…1、解得mg1,1+-Ie)答案：C小煉有話說：本題是作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點來進行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細節(jié)，從而保證圖像的準確。例8：已知函數(shù)例8：已知函數(shù)f(x)=ax+1,x<0

logx,x>0則下列關(guān)于函數(shù)y=f(f(x))+1的零點個數(shù)判斷正確的是()A.當(dāng)a>0時，有4個零點；當(dāng)a<0時，有1個零點B.當(dāng)a>0時，有3個零點；當(dāng)a<0時，有2個零點C.無論a為何值，均有2個零點D.無論a為何值，均有4個零點思路：所求函數(shù)的零點，即方程f[f(x)]=-1的解的個數(shù)，先作出f(x)的圖像，直線y=ax+1為過定點(0,1)的一條直線，但需要對a的符號進行分類討論。當(dāng)a>0時，圖像如圖所示，先拆外層可得f(x)=--<0,f(x)=1，而f(x)有兩個對應(yīng)的X，f(X)也1a2212答案：答案：6個有兩個對應(yīng)的了,共計4個；當(dāng)a<0時，/G)的圖像如圖所示，先拆外層可得fG)=1,且f(1)=1只有一個滿足的了，所以共一個零點。結(jié)合選項，可判斷出A正確2答案：A且f(1)=1只有一個滿足的了，所以共一個零點。結(jié)合選項，可判斷出A正確2答案：A已知函數(shù)f(了)=x3-3x2+1,g(x)=+1,x>0-(x+3)2+1,x<0g[f(x)]-a=0(a為正實數(shù))的實數(shù)根最多有個思路：先通過分析f(x),g(x)的性質(zhì)以便于作圖，f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，從而f(x)在(t,0),(2,”)單增，在(0,2)單減，且f(0)=1,f(2)=-3，g(x)為分段函數(shù)，作出每段圖像即可，如圖所示，若要實數(shù)根最多，則要優(yōu)先選取f(x)能對應(yīng)x較多的情況，由f(x)圖像可得，當(dāng)f(x)e(-3,1)時，每個f(%)可對應(yīng)3個x。只需判斷g[f(x)]=a中，f(x)能在(-3,1)取得的值的個數(shù)即可，觀察g(x)圖像可得，(5\當(dāng)aG1,-V47時，可以有2個f(x)e(-3,1)，而能夠找到6而能夠找到6個根，即最多的根的個數(shù)答案：答案：B例10：已知函數(shù)y=fG)和y=gG)在[-2,2]的圖像如下，給出下列四個命題:(1)方程f[gG)]=0有且只有6個根(2)方程g[fG)]=0有且只有3個根(3)方程f[fG)]=0有且只有5個根(4)方程g[g(x)]=0有且只有4個根則正確命題的個數(shù)是()則正確命題的個數(shù)是()A.1A.1B,/