2022年秋新教材高中數(shù)學(xué)章末綜合檢測一計數(shù)原理新人教A版選擇性必修第三冊

PAGEPAGEPAGE16章末綜合檢測（一）計數(shù)原理（A、B卷）A卷——基本知能盤查卷(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．從A地到B地要經(jīng)過C地和D地，從A地到C地有3條路，從C地到D地有2條路，從D地到B地有4條路，則從A地到B地不同走法的種數(shù)是()A．9 B．1C．24 D．3解析：選C完成從A地到B地這件事情共分三步：第一步，從A地到C地；第二步，從C地到D地；第三步，從D地到B地．符合分步乘法計數(shù)原理，共有3×2×4＝24種不同的走法．2．下列計算結(jié)果為28的是()A．Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,6) B．Ceq\o\al(7,7)C．Aeq\o\al(2,8) D．Ceq\o\al(2,8)解析：選DCeq\o\al(2,8)＝eq\f(8×7,2)＝4×7＝28.3．某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學(xué)生甲要想報考某高校的法學(xué)專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為()A．6 B．12C．18 D．19解析：選D從六科中選考三科的選法有Ceq\o\al(3,6)種，其中不選物理、政治、歷史中任意一科的選法有1種，因此學(xué)生甲的選考方法共有Ceq\o\al(3,6)－1＝19種．4．高三(一)班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會上4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求2個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：選B不同的排法種數(shù)為Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,6)＝3600.5．在(x－2)6展開式中，二項式系數(shù)的最大值為m，含x5項的系數(shù)為n，則eq\f(n,m)＝()A.eq\f(5,3) B．－eq\f(5,3)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選D因為n＝6是偶數(shù)，所以展開式共有7項，其中中間一項的二項式系數(shù)最大，其二項式系數(shù)為m＝Ceq\o\al(3,6)＝20，含x5項的系數(shù)為n＝(－1)Ceq\o\al(1,6)×2＝－12，則eq\f(n,m)＝－eq\f(12,20)＝－eq\f(3,5).故選D.6.用六種不同的顏色給如圖所示的六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有()A．4320種 B．2880種C．1440種 D．720種解析：選A分步進(jìn)行：1區(qū)域有6種不同的涂色方法，2區(qū)域有5種不同的涂色方法，3區(qū)域有4種不同的涂色方法，4區(qū)域有3種不同的涂色方法，6區(qū)域有4種不同的涂色方法，5區(qū)域有3種不同的涂色方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6×5×4×3×4×3＝4320(種)不同的涂色方法．7．五種不同的商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，丙、丁兩種不能排在一起，則不同的排法總數(shù)共有()A．12種 B．20種C．24種 D．48種解析：選C甲、乙捆綁看成一個元素，與丙、丁之外的1個元素共兩個元素進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種排法，再插空排入丙、丁，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝24種不同排法．8．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則a8＝()A．－180 B．180C．45 D．－45解析：選B令t＝1－x，則x＝1－t，所以有(2－t)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a10t10，因為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)210－r(－t)r＝Ceq\o\al(r,10)210－r(－1)rtr，令r＝8，得a8＝Ceq\o\al(8,10)×22＝180.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9．下列問題是組合問題的是()A．把5本不同的書分給5個學(xué)生，每人一本B．從7本不同的書中取出5本給某個同學(xué)C．10個人相互發(fā)一微信，共發(fā)幾次微信D．10個人互相通一次電話，共通了幾次電話解析：選BDA中，由于書不同，每人每次拿到的也不同，有順序之分，故它是排列問題．B中，從7本不同的書中，取出5本給某個同學(xué)，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題．C中，因為兩人互發(fā)微信與寫微信的人與收微信人的順序有關(guān)，故它是排列問題．D中，因為互通電話一次沒有順序之分，故它是組合問題．10．下列關(guān)于(a－b)10的說法，正確的是()A．展開式中的二項式系數(shù)之和為1024B．展開式中第6項的二項式系數(shù)最大C．展開式中第5項或第7項的二項式系數(shù)最大D．展開式中第6項的系數(shù)最小解析：選ABD由展開式的二項式系數(shù)之和為2n知A正確；當(dāng)n為偶數(shù)時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是中間一項，故B正確，C錯誤；D也正確，因為展開式中第6項的系數(shù)是負(fù)數(shù)，且二項式系數(shù)最大，所以是系數(shù)最小的項．11．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(3,x)))5的展開式中含xα(α∈Z)，則α的值可能為()A．－5 B．1C．7 D．2解析：選ABC由題意可知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x2)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,x)))r＝25－r·(－3)r·Ceq\o\al(r,5)·x10－3r，其中r＝0,1，2，…，5.令10－3r＝－5，得r＝5；令10－3r＝1，得r＝3；令10－3r＝7，得r＝1；令10－3r＝2，得r＝eq\f(8,3)?N.所以α的值可能為－5,1,7，故選A、B、C.12．已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a7,27)＝－128，則有()A．m＝2B．a(chǎn)3＝－280C．a(chǎn)0＝－1D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14解析：選BCD令1－x＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(1,2)，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)－m))7＝(1－m)7＝a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a7,27)＝－128，得m＝3.再令x＝1，得a0＝(－1)7＝－1.因為(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7，所以a3＝Ceq\o\al(3,7)×(－1)7－3×(－2)3＝－280.對(2x－3)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7兩邊求導(dǎo)得14(2x－3)6＝－a1－2a2(1－x)－…－7a7(1－x)6，令x＝2得－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14.故選B、C、D.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．方程3Aeq\o\al(3,x)＝2Aeq\o\al(2,x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x)的解為________．解析：由排列數(shù)公式可知3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3且x∈N*，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝eq\f(2,3)(舍去)，∴x＝5.答案：514．將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有________種．解析：根據(jù)2號盒子里放球的個數(shù)分類．第一類，2號盒子里放2個球，有Ceq\o\al(2,4)種放法．第二類，2號盒子里放3個球，有Ceq\o\al(3,4)種放法，所以不同的放球方法的種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＝10.答案：1015．在(x－2)5·(eq\r(2)＋y)4的展開式中，x3y2的系數(shù)為________．解析：(x－2)5的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－r(－2)r，令5－r＝3，得r＝2，則x3的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝40；(eq\r(2)＋y)4的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)(eq\r(2))4－ryr，令r＝2，得y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,4)(eq\r(2))2＝12.故展開式中x3y2的系數(shù)為40×12＝480.答案：48016．若從1,2,3,4,7,9中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則能得到________個不同的對數(shù)值(結(jié)果用數(shù)字表示)．解析：注意到1不能作為底數(shù)，1的對數(shù)為0，從2,3,4,7,9中任取兩個不同的數(shù)為真數(shù)、底數(shù)，可有5×4個值，但log23＝log49，log24＝log39，log32＝log94，log42＝log93，所以不同的對數(shù)值共有5×4－4＋1＝17(個)．答案：17四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)將四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中．(1)若每個盒子放一個球，則有多少種不同的放法？(2)恰有一個空盒的放法共有多少種？解：(1)每個盒子放一個球，共有Aeq\o\al(4,4)＝24種不同的放法．(2)先選后排，分三步完成．第一步：四個盒子中選一個為空盒子，有4種選法；第二步：任選兩球為一個元素，有Ceq\o\al(2,4)種選法；第三步：將三個元素放入三個盒中，有Aeq\o\al(3,3)種放法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有4×Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝144種放法．

18.(12分)如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求共有多少不同的染色方法．解：可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)論．由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法．當(dāng)S，A，B染好時，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當(dāng)S，A，B已染好時，C，D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種)．19．(12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n(n∈N*)的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10∶1.(1)求展開式中各項系數(shù)的和；(2)求展開式中含xeq\f(3,2)的項；(3)求展開式中系數(shù)的絕對值最大的項．解：因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展開式的通項是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(eq\r(x))n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x2)))r＝(－2)rCeq\o\al(r,n)xeq\f(n－5r,2)，所以T5＝T4＋1＝24Ceq\o\al(4,n)xeq\f(n,2)－10，T3＝T2＋1＝22Ceq\o\al(2,n)xeq\f(n,2)－5.所以eq\f(24C\o\al(4,n),22C\o\al(2,n))＝eq\f(10,1)，所以n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))8各項系數(shù)的和為1.(2)展開式通項為Tr＋1＝(－2)rCeq\o\al(r,8)xeq\f(8－5r,2)，令eq\f(8－5r,2)＝eq\f(3,2)，得r＝1.所以展開式中含xeq\f(3,2)的項為T2＝T1＋1＝(－2)1Ceq\o\al(1,8)xeq\f(3,2)＝－16xeq\f(3,2).(3)展開式的第r項、第r＋1項、第r＋2項的系數(shù)的絕對值分別為Ceq\o\al(r－1,8)2r－1，Ceq\o\al(r,8)2r，Ceq\o\al(r＋1,8)2r＋1，若第r＋1項的系數(shù)的絕對值最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r－1,8)2r－1≤C\o\al(r,8)2r，,C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r＋1,8)2r＋1，))解得5≤r≤6，故系數(shù)的絕對值最大的項為第六項或第七項，即T6＝－1792x－eq\f(17,2)，T7＝1792x－11.20．(12分)用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字，完成下面三個小題．(1)若數(shù)字允許重復(fù)，可以組成多少個不同的五位偶數(shù)；(2)若數(shù)字不允許重復(fù)，可以組成多少個能被5整除的且百位數(shù)字不是3的不同的五位數(shù)；(3)若直線方程ax＋by＝0中的a，b可以從已知的六個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字，則直線方程表示的不同直線共有多少條？解：(1)5×6×6×6×3＝3240(個)．(2)當(dāng)首位數(shù)字是5，而末位數(shù)字是0時，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝18(個)；當(dāng)首位數(shù)字是3，而末位數(shù)字是0或5時，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,4)＝48(個)；當(dāng)首位數(shù)字是1或2或4，而末位數(shù)字是0或5時，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝108(個)．故共有18＋48＋108＝174(個)．(3)a，b中有一個取0時，有2條；a，b都不取0時，有Aeq\o\al(2,5)＝20(條)；a＝1，b＝2與a＝2，b＝4重復(fù)，a＝2，b＝1與a＝4，b＝2重復(fù)．故共有2＋20－2＝20(條)．21．(12分)(1)已知Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Aeq\o\al(2,n－1)＋1，求n；(2)若Ceq\o\al(m－1,8)>3Ceq\o\al(m,8)，求m.解：(1)由Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Aeq\o\al(2,n－1)＋1得eq\f(n＋1n,2)＝(n－1)(n－2)＋1.即n2－7n＋6＝0.解得n＝1，或n＝6.由Aeq\o\al(2,n－1)知，n≥3，故n＝6.(2)原不等式可化為eq\f(8！,m－1！9－m！)>eq\f(3×8！,m！8－m！)，解得m>eq\f(27,4).∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，∴1≤m≤8.又m是整數(shù)，∴m＝7或m＝8.22．(12分)把4個男同志和4個女同志均分成4組，到4輛公共汽車上從事售票服務(wù)，相同的2人在不同的公共汽車上服務(wù)算不同的情況．(1)有多少種不同的分配方法？(2)若男同志與女同志分別分組，則有多少種不同的分配方法？解：(1)男女合在一起共有8人，每輛車上2人，可以分四個步驟完成，先安排2人上第一輛車，有Ceq\o\al(2,8)種分配方法，再安排2人上第二輛車，有Ceq\o\al(2,6)種分配方法，再安排2人上第三輛車，有Ceq\o\al(2,4)種分配方法，最后安排2人上第四輛車，有Ceq\o\al(2,2)種分配方法．由分步乘法計數(shù)原理，得共有Ceq\o\al(2,8)×Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,2)＝2520種分配方法．(2)男女分別分組，4個男同志平分成兩組，有eq\f(C\o\al(2,4),2)＝3種分配方法，4個女同志分成兩組，有eq\f(C\o\al(2,4),2)＝3種分配方法，所以不同的分配方法有3×3×Aeq\o\al(4,4)＝216(種)．

B卷——高考能力達(dá)標(biāo)卷(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．現(xiàn)有高一學(xué)生9人，高二學(xué)生12人，高三學(xué)生7人，自發(fā)組織參加數(shù)學(xué)課外活動小組，從中推選兩名來自不同年級的學(xué)生做一次活動的主持人，不同的選法共有()A．756種 B．56種C．28種 D．255種解析：選D推選兩名來自不同年級的兩名學(xué)生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(種).2．將1,2,3，…，9這9個數(shù)字填在如圖所示的空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當(dāng)3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法有()34A．6種 B．12種C．18種 D．24種12D34ACB9解析：選A根據(jù)數(shù)字的大小關(guān)系可知，1,2,9的位置是固定的，如圖所示，則剩余5,6,7,8這4個數(shù)字，而8只能放在A或B處，若8放在B處，則可以從5,6,7這3個數(shù)字中選一個放在C處，剩余兩個位置固定，此時共有3種方法，同理，若8放在A處，也有3種方法，所以共有6種方法．3．設(shè)常數(shù)a∈R，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x)))5的二項展開式中x7項的系數(shù)為－10，則a等于()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選ATr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))r＝ar·Ceq\o\al(r,5)·x10－3r，令10－3r＝7，得r＝1，故Ceq\o\al(1,5)a＝－10?a＝－2.4．某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有()A．16種 B．36種C．42種 D．60種解析：選D若3個不同的項目投資到4個城市中的3個，每個城市一項，共Aeq\o\al(3,4)種方法；若3個不同的項目投資到4個城市中的2個，一個城市一項、一個城市兩項，共Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種方法．由分類加法計數(shù)原理知共Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60(種)方法．5．我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲-15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦．如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A．12種 B．18種C．24種 D．48種解析：選C把甲、乙看作1個元素和另一飛機(jī)全排列，調(diào)整甲、乙，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)種方法，再把丙、丁插入到剛才“兩個”元素排列產(chǎn)生的3個空位中，有Aeq\o\al(2,3)種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得總的方法種數(shù)為Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝24.6．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，則自然數(shù)n的值是()A．9 B．8C．7 D．6解析：選B∵a2＝Ceq\o\al(2,n)，an－5＝(－1)n－5Ceq\o\al(n－5,n)＝(－1)n－5Ceq\o\al(5,n)，∴2Ceq\o\al(2,n)＋(－1)n－5Ceq\o\al(5,n)＝0，即eq\f(120,－1n－5n－2n－3n－4)＝－1，∴(n－2)(n－3)(n－4)＝120且n－5為奇數(shù)，∴n＝8.7．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6，x<0，,－\r(x)，x≥0，))則當(dāng)x>0時，f[f(x)]表達(dá)式的展開式中常數(shù)項為()A．－20 B．20C．－15 D．15解析：選A當(dāng)x>0時，f[f(x)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(x)＋\f(1,\r(x))))6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－\r(x)))6的展開式中，常數(shù)項為Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))3(－eq\r(x))3＝－20.8.用三種不同的顏色填涂如圖所示的3×3方格中的9個區(qū)域，要求每行每列的三個區(qū)域都不同色，則不同的填涂種數(shù)為()A．8 B．12C．14 D．16解析：選B將9個區(qū)域分別標(biāo)號為1～9號，如圖，第一步給區(qū)域1涂色有3種不同方法；第二步給區(qū)域2涂色有2種不同方法；第三步給區(qū)域4涂色，可分為兩類，第一類區(qū)域4與區(qū)域2同色，則此時區(qū)域5不能與區(qū)域1同色，有1種涂色方法；第二類區(qū)域4與區(qū)域2不同色，則區(qū)域4有1種涂色方法，此時，區(qū)域5也有1種涂色方法，故第三步共有1＋1＝2(種)不同方法；第四步涂3,6,7,8,9五個區(qū)域，由于1,2,4,5四個區(qū)域所涂顏色確定，所以3,6,7,8,9五個區(qū)域所涂顏色也唯一確定，故不同的涂色方法有3×2×2×1＝12(種)．二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9．在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))5的展開式中，有()A．含x的項 B．含eq\f(1,x2)的項C．含x4的項 D．含eq\f(1,x4)的項解析：選ABC二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))5的展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·35－r·(－2)r·x10－3r，r＝0,1,2,3,4,5，故展開式中含x的項為x10－3r，結(jié)合所給的選項，知A、B、C中的項都含有．10．下列說法正確的是()A．Aeq\o\al(3,10)Aeq\o\al(7,7)與Aeq\o\al(9,10)相等B．過三棱柱任意兩頂點的異面直線共有36對C．若Ceq\o\al(x,28)＝Ceq\o\al(3x－8,28)，則x＝4D．從5個人中選3人站成一排，則不同的排法為60種解析：選ABDA中，Aeq\o\al(3,10)Aeq\o\al(7,7)＝10×9×8×7！，Aeq\o\al(9,10)＝10×9×8×7！，故Aeq\o\al(3,10)Aeq\o\al(7,7)＝Aeq\o\al(9,10)，正確．B中，三棱柱有6個頂點，可組成Ceq\o\al(4,6)－3＝12個不同四面體，而每個四面體有三對異面直線，則共有12×3＝36對，正確．C中，∵Ceq\o\al(x,28)＝Ceq\o\al(3x－8,28)，∴x＝3x－8或x＋(3x－8)＝28，即x＝4或9，C錯誤．D中，從5個人中選出3人，共有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60種不同選法，正確．11．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是()A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為Aeq\o\al(3,7)B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6)C．若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(1,5)解析：選ABD對于A，若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為Ceq\o\al(3,7)，錯誤；對于B，若物理和化學(xué)選一門，有Ceq\o\al(1,2)種方法，其余兩門從剩余的五門中選，有Ceq\o\al(2,5)種選法；若物理和化學(xué)選兩門，有Ceq\o\al(2,2)種選法，剩下一門從剩余的五門中選，有Ceq\o\al(1,5)種選法，由分類加法計數(shù)原理得，總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)，錯誤；對于C，若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)，正確；對于D，有3種情況：①只選物理且物理和歷史不同時選，有Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(2,4)種選法；②選化學(xué)，不選物理，有Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(2,5)種選法；③物理與化學(xué)都選，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)種選法，故選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝6＋10＋4＝20(種)，錯誤．12．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1,\r(x))))n(a>0)的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是()A．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256B．展開式中第6項的系數(shù)最大C．展開式中存在常數(shù)項D．展開式中含x15項的系數(shù)為45解析：選BCD因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1,\r(x))))n的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，所以Ceq\o\al(4,n)＝Ceq\o\al(6,n)，得n＝10.因為展開式的各項系數(shù)之和為1024，所以令x＝1，得(a＋1)10＝1024，得a＝1.故給定的二項式為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,\r(x))))10，其展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為eq\f(1,2)×210＝512，故A不正確；由n＝10可知二項式系數(shù)最大的項是展開式的第6項，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,\r(x))))10展開式的系數(shù)與對應(yīng)的二項式系數(shù)相等，故B正確；展開式的通項公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(x2)10－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))k＝Ceq\o\al(k,10)x20－eq\f(5k,2)(k＝0,1,2，…，10)，令20－eq\f(5k,2)＝0，解得k＝8，即常數(shù)項為第9項，故C正確；令20－eq\f(5k,2)＝15，得k＝2，故展開式中含x15項的系數(shù)為Ceq\o\al(2,10)＝45，故D正確．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成______組．解析：分兩類：第一類，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30組不同的結(jié)果；同理，第二類也有30組不同的結(jié)果，共可得到30＋30＝60組．答案：6014．從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種(用數(shù)字填寫答案)．解析：法一：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4(種)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種．法二：從6人中任選3人，不同的選法有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)，從6人中任選3人都是男生，不同的選法有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)，所以至少有1位女生入選的不同的選法有20－4＝16(種)．答案：1615．(x2＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5的展開式的常數(shù)項是________．解析：第一個因式取x2，第二個因式取含eq\f(1,x2)的項得：1×Ceq\o\al(4,5)(－1)4＝5；第一個因式取2，第二個因式取常數(shù)項得：2×(－1)5＝－2，故展開式的常數(shù)項是5＋(－2)＝3.答案：316．設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個數(shù)為________．解析：在x1，x2，x3，x4，x5這五個數(shù)中，因為xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以滿足條件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情況有①一個1(或－1)，四個0，有Ceq\o\al(1,5)×2種；②兩個1(或－1)，三個0，有Ceq\o\al(2,5)×2種；③一個－1，一個1，三個0，有Aeq\o\al(2,5)種；④兩個1(或－1)，一個－1(或1)，兩個0，有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)×2種；⑤三個1(或－1)，兩個0，有Ceq\o\al(3,5)×2種．故共有Ceq\o\al(1,5)×2＋Ceq\o\al(2,5)×2＋Aeq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)×2＋Ceq\o\al(3,5)×2＝130(種)．答案：130四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,\f(1,x))＋\r(3,x2)))n展開式中的倒數(shù)第3項的系數(shù)為45，求：(1)含x3的項；(2)系數(shù)最大的項．解：(1)由題意可知Ceq\o\al(n－2,n)＝45，即Ceq\o\al(2,n)＝45，所以n＝10，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)))r＝Ceq\o\al(r,10)xeq\f(11r－30,12)，令eq\f(11r－30,12)＝3，得r＝6，所以含x3的項為T7＝Ceq\o\al(6,10)x3＝Ceq\o\al(4,10)x3＝210x3.(2)系數(shù)最大的項為中間項即T6＝Ceq\o\al(5,10)xeq\f(55－30,12)＝252xeq\f(25,12).18．(12分)用n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖所示)，要求在A，B，C，D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色．(1)若n＝6，為①著色時共有多少種不同的方法？(2)若為②著色時共有120種不同的方法，求n.解：(1)分四步：第1步涂A有6種不同的方法，第2步涂B有5種不同的方法，第3步涂C有4種不同的方法，第4步涂D有4種不同的方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×5×4×4＝480(種)不同的方法．(2)由題意，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，注意到n∈N*，可得n＝5.19．(12分)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a2＝60.(1)求n的值；(2)求－eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)－eq\f(a3,23)＋…＋(－1)neq\f(an,2n)的值．解：(1)因為T3＝Ceq\o\al(2,n)(－2x)2＝a2x2，所以a2＝Ceq\o\al(2,n)(－2)2＝60，化簡可得n(n－1)＝30，且n∈N*，解得n＝6.(2)因為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(－2x)r＝arxr，所以ar＝Ceq\o\al(r,6)(－2)r，所以(－1)req\f(ar,2r)＝Ceq\o\al(r,6)，故－eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)－eq\f(a3,23)＋…＋(－1)neq\f(an,2n)＝－eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)－eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a6,26)＝Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋…＋Ceq\o\al(6,6)＝26－1＝63.20．(12分)一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球．(1)從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？(2)若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種？解：(1)將取出4個球分成三類情況：①取4個紅球，沒有白球，有Ceq\o\al(4,4)種；②取3個紅球1個白球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)種；③取2個紅球2個白球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)種，故有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＋C