2022年秋新教材高中數(shù)學(xué)章末綜合檢測二隨機變量及其分布新人教A版選擇性必修第三冊

PAGEPAGEPAGE19章末綜合檢測（二）隨機變量及其分布A卷——基本知能盤查卷(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．袋中有2個黑球6個紅球，從中任取兩個，可以作為隨機變量的是()A．取到球的個數(shù) B．取到紅球的個數(shù)C．至少取到一個紅球 D．至少取得一個紅球的概率解析：選B隨機變量是隨著實驗結(jié)果變化而變化的變量，只有B滿足．2．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，有放回地依次取出2個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量X，則X所有可能值的個數(shù)是()A．25 B．10C．9 D．5解析：選C由題意，由于是有放回地取，故可有如下情況：若兩次取球為相同號碼，則有1＋1＝2,2＋2＝4,3＋3＝6,4＋4＝8,5＋5＝10,5個不同的和；若兩次取球為不同號碼，則還有1＋2＝3,1＋4＝5,2＋5＝7,4＋5＝9這四個和，故共有9個．3．某同學(xué)通過計算機測試的概率為eq\f(1,3)，他連續(xù)測試3次，其中恰有1次通過的概率為()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,27) D.eq\f(2,27)解析：選A連續(xù)測試3次，其中恰有1次通過的概率為P＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(4,9).4．已知ξ的分布列為ξ－1012Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,8)則ξ的均值為()A．0 B．－1C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,4)解析：選DE(ξ)＝－1×eq\f(1,4)＋0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,8)＝eq\f(1,4).5．如果隨機變量X表示拋擲一個各面分別有1,2,3,4,5,6的均勻的正方體向上面的數(shù)字，那么隨機變量X的均值為()A．2.5 B．3C．3.5 D．4解析：選C∵P(X＝k)＝eq\f(1,6)(k＝1,2,3，…，6)，∴E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋…＋6×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6)(1＋2＋…＋6)＝eq\f(1,6)×21＝3.5.6．若某校研究性學(xué)習(xí)小組共6人，計劃同時參觀某科普展，該科普展共有甲、乙、丙三個展廳，6人各自隨機地確定參觀順序，在每個展廳參觀一小時后去其他展廳，所有展廳參觀結(jié)束后集合返回，設(shè)事件A為：在參觀的第一個小時時間內(nèi)，甲、乙、丙三個展廳恰好分別有該小組的2個人；事件B為：在參觀的第一個小時時間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人．則P(A|B)＝()A.eq\f(3,8) B.eq\f(1,8)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,16)解析：選A由題意，A發(fā)生即甲、乙、丙三個展廳恰好分別有該小組的2個人的情況數(shù)有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種；B發(fā)生，共有Ceq\o\al(2,6)·24＝240，P(A|B)＝eq\f(90,240)＝eq\f(3,8).7．設(shè)隨機變量X～B(2，p)，隨機變量Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則D(3Y＋1)＝()A.eq\f(8,3) B．4C．8 D．10解析：選C由題意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(1,2)p(1－p)＋Ceq\o\al(2,2)p2＝eq\f(5,9)，所以p＝eq\f(1,3)，則Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，故D(Y)＝4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,9)，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×eq\f(8,9)＝8.8．在等差數(shù)列{an}中，a4＝2，a7＝－4.現(xiàn)從{an}的前10項中隨機取數(shù)，每次取出一個數(shù)，取后放回，連續(xù)抽取3次，假定每次取數(shù)互不影響，那么在這三次取數(shù)中，取出的數(shù)恰好為兩個正數(shù)和一個負數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,25) D.eq\f(6,25)解析：選D由a4＝2，a7＝－4可得等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝10－2n(n＝1,2，…，10)，{an}的前10項分別為8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8，－10.由題意，三次取數(shù)相當于三重伯努利試驗，在每次試驗中取得正數(shù)的概率為eq\f(2,5)，取得負數(shù)的概率為eq\f(1,2)，在三次取數(shù)中，取出的數(shù)恰好為兩個正數(shù)和一個負數(shù)的概率為Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＝eq\f(6,25).二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9．下列說法正確的是()A．某輛汽車一年中發(fā)生事故的次數(shù)是一個離散型隨機變量B．正態(tài)分布隨機變量等于一個特定實數(shù)的概率為0C．公式E(X)＝np可以用來計算離散型隨機變量的均值D．從一副撲克牌中隨機抽取5張，其中梅花的張數(shù)服從超幾何分布解析：選ABD公式E(X)＝np并不適用于所有的離散型隨機變量的均值的計算，適用于二項分布的均值的計算，故C錯誤，易知A、B、D正確．10．已知隨機變量ξ的分布如下：ξ123Peq\f(1,4)1－eq\f(3,2)a2a2則實數(shù)a的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)解析：選BC由隨機變量ξ的分布知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤1－\f(3,2)a≤1，,0≤2a2≤1，,\f(1,4)＋1－\f(3,2)a＋2a2＝1，))解得a＝eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,4).11．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有6個紅球，2個白球和2個黑球，先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐，分別以A1，A2，A3表示事件“由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球”，再從乙罐中隨機取出1個球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，下列結(jié)論正確的是()A．事件B與事件A1不相互獨立B．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件C．P(B|A1)＝eq\f(7,11)D．P(B)＝eq\f(3,5)解析：選ABC由題意知，A1，A2，A3是兩兩互斥事件，且P(A1)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，所以P(B|A1)＝eq\f(PBA1,PA1)＝eq\f(\f(1,2)×\f(7,11),\f(1,2))＝eq\f(7,11)，P(B|A2)＝eq\f(6,11)，P(B|A3)＝eq\f(6,11)，所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(6,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(6,11)＝eq\f(13,22).所以A、B、C正確，D不正確．12.甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))，N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99解析：選ABC由圖象可知甲圖象關(guān)于直線x＝0.4對稱，乙圖象關(guān)于直線x＝0.8對稱，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A正確，C正確；因為甲圖象比乙圖象更“瘦高”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；因為乙圖象的最大值為1.99，即eq\f(1,σ2\r(2π))＝1.99，所以σ2≠1.99，故D錯誤．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．某處有供水龍頭5個，調(diào)查表示每個水龍頭被打開的可能性均為eq\f(1,10)，3個水龍頭同時被打開的概率為________．解析：對5個水龍頭的處理可視為做5重伯努利試驗，每次試驗有2種可能結(jié)果：打開或不打開，相應(yīng)的概率為0.1或1－0.1＝0.9，根據(jù)題意得3個水龍頭同時被打開的概率為Ceq\o\al(3,5)×0.13×0.92＝0.0081.答案：0.008114．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ＜0)＝________.解析：因為P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，所以P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.答案：0.1615.已知隨機變量X的分布列如下表：X12345678910Peq\f(2,3)eq\f(2,32)eq\f(2,33)eq\f(2,34)eq\f(2,35)eq\f(2,36)eq\f(2,37)eq\f(2,38)eq\f(2,39)m則P(X＝10)＝________.解析：由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知eq\f(2,3)＋eq\f(2,32)＋eq\f(2,33)＋…＋eq\f(2,39)＋m＝1，∴m＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(2,32)＋\f(2,33)＋…＋\f(2,39)))＝1－2·eq\f(\f(1,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9)),1－\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9＝eq\f(1,39).答案：eq\f(1,39)16．設(shè)一次試驗成功的概率為p，進行100次重伯努利試驗，當p＝________時，成功次數(shù)的方差的值最大，其最大值為__________．解析：成功次數(shù)X～B(100，p)，所以D(X)＝100p(1－p)≤100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2＝25，當且僅當p＝1－p，即p＝eq\f(1,2)時，成功次數(shù)的方差最大，其最大值為25.答案：eq\f(1,2)25四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．解：設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的事件數(shù)為Aeq\o\al(2,6)＝30，根據(jù)分步計數(shù)原理第1次抽到舞蹈節(jié)目的事件數(shù)為Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因為第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的事件數(shù)為Aeq\o\al(2,4)＝12，于是P(AB)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).18．(12分)某校從學(xué)生會宣傳部6名成員(其中男生4人，女生2人)中，任選3人參加某省舉辦的演講比賽活動．(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；(3)設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求P(B)和P(B|A)．解：(1)ξ的所有可能取值為0,1,2，依題意得P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)設(shè)“甲、乙都不被選中”為事件eq\x\to(C)，則P(eq\x\to(C))＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).∴所求概率為P(C)＝1－P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(3)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，P(B|A)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).19．(12分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：(1)由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,3),C\o\al(3,7))(k＝0,1,2,3)．所以隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(18,35)＋3×eq\f(4,35)＝eq\f(12,7).

20.(12分)某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達時間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1)；第二條路線較長但不擁擠，X服從正態(tài)分布N(6,0.16)．有一天他出發(fā)時離點名時間還有7分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？若離點名時間還有6.5分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？解：還有7分鐘時，若選第一條路線，X服從N(5,1)，能及時到達的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝eq\f(1,2)＋P(5<x≤7)．若選第二條路線，X服從N(6,0.16)，能及時到達的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝eq\f(1,2)＋P(6<X≤7)，由相關(guān)性質(zhì)得P1<P2，選第二條路線．同理，還有6.5分鐘時，選第一條路線．21．(12分)九節(jié)蝦的蝦身上有一深一淺的橫向紋路，煮熟后有明顯的九節(jié)白色花紋，肉味鮮美．某酒店購進一批九節(jié)蝦，并隨機抽取了40只統(tǒng)計質(zhì)量，得到的結(jié)果如下表所示：質(zhì)量/g[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]數(shù)量4121185(1)若購進這批九節(jié)蝦35000g，且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，試估計這批九節(jié)蝦的數(shù)量(所得結(jié)果保留整數(shù))；(2)以頻率估計概率，若在本次購買的九節(jié)蝦中隨機挑選4只，記質(zhì)量在[5,25)間的九節(jié)蝦的數(shù)量為X，求X的分布列及期望．解：(1)由表中數(shù)據(jù)可以估計每只九節(jié)蝦的質(zhì)量為eq\f(1,40)×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因為35000÷29.5≈1186(只)，所以這批九節(jié)蝦的數(shù)量約為1186只．(2)由表中數(shù)據(jù)知，任意挑選1只九節(jié)蝦，質(zhì)量在[5,25)間的概率p＝eq\f(4＋12,40)＝eq\f(2,5)，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))4＝eq\f(81,625)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(216,625)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(216,625)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625)，P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))4＝eq\f(16,625).所以X的分布列為X01234Peq\f(81,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)E(X)＝0×eq\f(81,625)＋1×eq\f(216,625)＋2×eq\f(216,625)＋3×eq\f(96,625)＋4×eq\f(16,625)＝eq\f(8,5).22．(12分)目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這500名患者潛伏期的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，并計算這500名患者中潛伏期超過8天的人數(shù)；(2)研究發(fā)現(xiàn)，有5種藥物對新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效，現(xiàn)在要通過逐一試驗直到把這2種特別有效的藥物找出來為止，每一次試驗花費的費用是500元，設(shè)所需要的試驗費用為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：(1)平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝(0.02×1＋0.08×3＋0.15×5＋0.18×7＋0.03×9＋0.03×11＋0.01×13)×2＝6，這500名患者中潛伏期超過8天的頻率為(0.03＋0.03＋0.01)×2＝0.14，所以潛伏期超過8天的人數(shù)為500×0.14＝70.(2)由題意知，所需要的試驗費用X所有可能的取值為1000,1500,2000，P(X＝1000)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝1500)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)＋A\o\al(3,3),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝2000)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3)A\o\al(3,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，所以X的分布列為X100015002000Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)數(shù)學(xué)期望E(X)＝1000×eq\f(1,10)＋1500×eq\f(3,10)＋2000×eq\f(3,5)＝1750(元)．B卷——高考能力達標卷(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．設(shè)隨機變量X～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，則c＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B因為P(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故選B.2．隨機變量X的分布列如下表，則E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16 B．11C．2.2 D．2.3解析：選A由已知得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故選A.3．設(shè)隨機變量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，則參數(shù)n，p的值分別為()A．12,0.4 B．12,0.6C．6,0.4 D．6,0.6解析：選CE(ξ)＝np＝2.4，D(ξ)＝np(1－p)＝1.44，解得n＝6，p＝0.4.4．甲、乙兩人對同一目標各射擊一次，甲命中目標的概率為eq\f(2,3)，乙命中目標的概率為eq\f(4,5)，設(shè)命中目標的人數(shù)為X，則D(X)等于()A.eq\f(86,225) B.eq\f(259,675)C.eq\f(22,15) D.eq\f(15,22)解析：選AX的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,15)，所以E(X)＝eq\f(22,15)，D(X)＝eq\f(86,225).5．對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的條件下，第二次也摸到正品的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(5,9)解析：選D記“第一次摸到正品”為事件A，“第二次摸到正品”為事件B，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,9),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(1,3).故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,9).6．一接待中心有A，B，C，D四部熱線電話，已知某一時刻電話A，B占線的概率為0.5，電話C，D占線的概率為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響，假設(shè)該時刻有ξ部電話占線，則P(ξ＝2)等于()A．0.47 B．0.38C．0.37 D．0.25解析：選CP(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×(0.5)2×(0.6)2＋Ceq\o\al(2,2)×(0.4)2×(0.5)2＋Ceq\o\al(1,2)×(0.5)2×Ceq\o\al(1,2)×0.4×0.6＝0.37.7．一臺機床有eq\f(1,3)的時間加工零件A，其余時間加工零件B.加工零件A時，停機的概率為eq\f(3,10)，加工零件B時，停機的概率是eq\f(2,5)，則這臺機床停機的概率為()A.eq\f(11,30) B.eq\f(7,30)C.eq\f(7,10) D.eq\f(1,10)解析：選A假設(shè)總時間為1，則在1時間內(nèi)，加工零件A停機的概率是eq\f(1,3)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,10)，加工零件B停機的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以這臺機床停機的概率是eq\f(1,10)＋eq\f(4,15)＝eq\f(11,30).8．某商家進行促銷活動，促銷方案是顧客每消費1000元，便可以獲得獎券1張，每張獎券中獎的概率為eq\f(1,5)，若中獎，則商家返還中獎的顧客現(xiàn)金1000元．小王購買一套價格為2400元的西服，只能得到2張獎券，于是小王補償50元給一同事購買一件價格為600元的便服，這樣小王就得到了3張獎券．設(shè)小王這次消費的實際支出為ξ(元)，則E(ξ)等于()A．1850 B．1720C．1560 D．1480解析：選A根據(jù)題意知，ξ的可能取值為2450,1450,450，－550，且P(ξ＝2450)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq\f(64,125)，P(ξ＝1450)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(48,125)，P(ξ＝450)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))＝eq\f(12,125)，P(ξ＝－550)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3＝eq\f(1,125)，∴E(ξ)＝2450×eq\f(64,125)＋1450×eq\f(48,125)＋450×eq\f(12,125)＋(－550)×eq\f(1,125)＝1850.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9．已知ξ是離散型隨機變量，則下列結(jié)論正確的是()A．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|ξ|≤\f(1,3)))≤Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ2≤\f(1,3)))B．(E(ξ))2≤E(ξ2)C．D(ξ)＝D(1－ξ)D．D(ξ2)＝D((1－ξ)2)解析：選ABC在A中，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|ξ|≤\f(1,3)))＝P－eq\f(1,3)≤ξ≤eq\f(1,3)≤Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ2≤\f(1,3)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)≤ξ≤\f(\r(3),3)))，故A正確；在B中，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得(E(ξ))2≤E(ξ2)，故B正確；在C中，由方差的性質(zhì)得D(ξ)＝D(1－ξ)，故C正確；在D中，D(ξ2)≠D((1－ξ)2)＝4D(ξ)＋D(ξ2)，故D錯誤．故選A、B、C.10．某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道．現(xiàn)從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格，則下列選項正確的是()A．答對0題和答對3題的概率相同，都為eq\f(1,8)B．答對1題的概率為eq\f(3,8)C．答對2題的概率為eq\f(5,12)D．合格的概率為eq\f(1,2)解析：選CD設(shè)此人答對題目的個數(shù)為ξ，則ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，所以答對0題和答對3題的概率相同，都為eq\f(1,12)，故A錯誤；答對1題的概率為eq\f(5,12)，故B錯誤；答對2題的概率為eq\f(5,12)，故C正確；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)，故D正確．故選C、D.11．設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是()A．P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)解析：選AC由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A正確；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B錯誤；當t為任意正數(shù)時，由圖可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正確，D錯誤．12．一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，則下列結(jié)論中正確的是()A．從中任取3球，恰有一個白球的概率是eq\f(3,5)B．從中有放回地取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為eq\f(4,3)C．現(xiàn)從中不放回地取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為eq\f(2,5)D．從中有放回地取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為eq\f(26,27)解析：選ABD恰有一個白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故A正確；每次任取一球，取到紅球次數(shù)X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，其方差為6×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)，故B正確；設(shè)A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5)，故C錯誤；每次取到紅球的概率P＝eq\f(2,3)，所以至少有一次取到紅球的概率為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(26,27)，故D正確．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．如果隨機變量X～N(4,1)，則P(X≤2)＝________.(保留到小數(shù)點后三位)解析：P(X≤2)＝(1－P(2<X≤6))×eq\f(1,2)＝[1－P(4－2<X≤4＋2)]×eq\f(1,2)＝(1－0.9545)×eq\f(1,2)≈0.023.答案：0.02314．一道有5個選項的試題，其中只有一個選項正確，假定應(yīng)考人知道正確答案的概率為p.如果他最后選對了，則他確實知道答案的概率是________．解析：設(shè)A＝{知道答案}，B＝{選擇正確}，由題意可知P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,5)，P(B|A)＝1，P(AB)＝P(A)＝p.由全概率公式：P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|eq\x\to(A))P(eq\x\to(A))＝p＋eq\f(1,5)(1－p)＝eq\f(4p＋1,5)，得到：P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(5p,4p＋1).答案：eq\f(5p,4p＋1)15．設(shè)隨機變量ξ的分布列為ξ012Peq\f(p,3)eq\f(p,3)1－eq\f(2p,3)則ξ的數(shù)學(xué)期望的最小值是________．解析：E(ξ)＝0×eq\f(p,3)＋1×eq\f(p,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2p,3)))＝2－p，又因為1>eq\f(p,3)≥0,1≥1－eq\f(2p,3)≥0，所以0≤p≤eq\f(3,2).所以當p＝eq\f(3,2)時，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)16．一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標注數(shù)字0，兩個面上標注數(shù)字1，一個面上標注數(shù)字2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是________．解析：設(shè)ξ表示向上的數(shù)之積，則P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，P(ξ＝0)＝eq\f(3,4)，所以E(ξ)＝1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(1,9)＋4×eq\f(1,36)＋0×eq\f(3,4)＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)黔東南州雷山西江千戶苗寨是目前中國乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年來自世界各地的游客絡(luò)繹不絕．假設(shè)每天到西江苗寨的游客人數(shù)ξ是服從正態(tài)分布N(2000,10000)的隨機變量．求每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過2100的概率．解：因為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率為0.6827，隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2000,1002)，所以每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過2100的概率為eq\f(1,2)×(1－0.6827)≈0.1587.18．(12分)在1,2,3，…，9這9個自然數(shù)中，任取3個數(shù)，(1)求這3個數(shù)恰有1個偶數(shù)的概率；(2)記X為3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，例如取出的數(shù)為1,2,3，則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2,3，此時X的值為2，求隨機變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X)．解：(1)設(shè)Y表示“任取的3個數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)”，則Y服從N＝9，M＝4，n＝3的超幾何分布，所以P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).(2)X的取值為0,1,2，P(X＝1)＝eq\f(2×6＋6×5,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(7,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12).P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(5,12)，所以X的分布列為X012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).19．(12分)由于新型冠狀病毒的影響，某地對可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進入餐飲區(qū)前必須進行兩輪檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售．已知該海產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為eq\f(1,6)，第二輪檢測不合格的概率為eq\f(1,10)，兩輪檢測是否合格相互沒有影響．(1)求該海產(chǎn)品不能銷售的概率；(2)如果該海產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果該海產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利－80元)．已知一箱中有該海產(chǎn)品4件，記一箱該海產(chǎn)品獲利ξ元，求ξ的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解：(1)記“該海產(chǎn)品不能銷售”為事件A，則P(A)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))＝eq\f(1,4).所以該海產(chǎn)品不能銷售的概率為eq\f(1,4).(2)由已知，可知ξ的可能取值為－320，－200，－80,40,160.P(ξ＝－320)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))4＝eq\f(1,256)，P(ξ＝－200)＝Ceq\o\al(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3·eq\f(3,4)＝eq\f(3,64)，P(ξ＝－80)＝Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,128)，P(ξ＝40)＝Ceq\o\al(3,4)·eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，P(ξ＝160)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(81,256).所以ξ的分布列為ξ－320－200－8040160Peq\f(1,256)eq\f(3,64)eq\f(27,128)eq\f(27,64)eq\f(81,256)E(ξ)＝－320×eq\f(1,256)－200×eq\f(3,64)－80×eq\f(27,128)＋40×eq\f(27,64)＋160×eq\f(81,256)＝40.20．(12分)某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時．(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘．所以P(A)