主成分分析數(shù)學(xué)建模市公開課一等獎(jiǎng)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

在實(shí)際問題中，研究多指標(biāo)問題是經(jīng)常碰到，然而在多數(shù)情況下，不一樣指標(biāo)之間是有一定關(guān)系。因?yàn)橹笜?biāo)較多再加上指標(biāo)之間有一定相關(guān)性，勢(shì)必增加了分析問題復(fù)雜性。主成份分析就是設(shè)法將原來指標(biāo)重新組合成一組新相互無(wú)關(guān)幾個(gè)綜合指標(biāo)來代替原來指標(biāo)，同時(shí)依據(jù)實(shí)際需要從中可取幾個(gè)較少綜合指標(biāo)盡可能多滴反應(yīng)原來指標(biāo)信息。這種多個(gè)指標(biāo)化為少數(shù)互不干擾綜合指標(biāo)統(tǒng)計(jì)方法叫做主成份分析法，如某人要做一件上衣要測(cè)量很多尺寸，如身長(zhǎng)、袖長(zhǎng)、胸圍、腰圍、肩寬、肩厚等十幾項(xiàng)指標(biāo)。不過某服裝產(chǎn)生產(chǎn)一批新型服裝絕不可能吧尺寸型號(hào)分過多。而是從其中選取幾個(gè)綜合性指標(biāo)作為分類型號(hào)。1、反應(yīng)胖瘦。2、反應(yīng)特體。3、反應(yīng)長(zhǎng)度。主成份分析PCA

指標(biāo)身長(zhǎng)X1袖長(zhǎng)X2胸圍X3腰圍X4肩寬X5肩厚X6Y1=a11*X1+a12X2+a13X3+a14X4+a15X5+a16X6Y2=a21*X1+a22X2+a23X3+a24X4+a25X5+a26X6Y3=a31*X1+a32X2+a33X3+a34X4+a35X5+a36X6Y1反應(yīng)胖瘦Y2反應(yīng)特體Y3反應(yīng)長(zhǎng)度主成份分析是一個(gè)經(jīng)過降維技術(shù)把多個(gè)指標(biāo)約化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)綜合統(tǒng)計(jì)分析方法，而這些綜合指標(biāo)能夠反應(yīng)原始指標(biāo)絕大部分信息，它們通常表現(xiàn)為原始幾個(gè)指標(biāo)線性組合。數(shù)學(xué)模型將原來p個(gè)指標(biāo)識(shí)X1，X2，…，Xp.再尋求這p個(gè)變量線性組合F1，F(xiàn)2，…Fk(k≤p）滿足2.主成份之間互不相關(guān)，即無(wú)重合信息。即1.主成份方差依次遞減，主要性依次遞減，即3.每個(gè)主成份系數(shù)平方和為1。即主成份數(shù)學(xué)推導(dǎo)主成份普通性質(zhì)主成份方差貢獻(xiàn)率

設(shè)有n個(gè)樣品，每個(gè)樣品觀察p個(gè)指標(biāo)，將原始數(shù)據(jù)寫成矩陣形式1、將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化2、建立變量相關(guān)系數(shù)陣3、求R特征根及對(duì)應(yīng)單位特征向量特征值大貢獻(xiàn)大。貢獻(xiàn)率=特征值/全部特征值和主成份計(jì)算步驟或協(xié)方差矩陣這里我們需要深入強(qiáng)調(diào)是，從相關(guān)陣求得主成份與協(xié)差陣求得主成份普通情況是不相同。實(shí)際表明，這種差異有時(shí)很大。我們認(rèn)為，假如各指標(biāo)之間數(shù)量級(jí)相差懸殊，尤其是各指標(biāo)有不一樣物理量綱話，較為合理做法是使用R代替∑。對(duì)于研究經(jīng)濟(jì)問題所包括變量單位大都不統(tǒng)一，采取R代替∑后，能夠看作是用標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)做分析，這么使得主成份有現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)意義，不但便于剖析實(shí)際問題，又能夠防止突出數(shù)值大變量。4、寫出主成份普通取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85—95%特征值所對(duì)應(yīng)第一、第二，…，第m（m≤p）個(gè)主成份。5、依據(jù)特征值，確定各成份權(quán)重，進(jìn)行綜合指標(biāo)，排序。協(xié)方差及協(xié)方差矩陣定義協(xié)方差定義

主成份分析實(shí)例表1是某市工業(yè)部門13個(gè)行業(yè)8項(xiàng)主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)，這8項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)分別是： X1：年末固定資產(chǎn)凈值，單位：萬(wàn)元； X2：職員人數(shù)據(jù)，單位：人； X3：工業(yè)總產(chǎn)值，單位：萬(wàn)元； X4：全員勞動(dòng)生產(chǎn)率，單位：元/人年； X5：百元固定資產(chǎn)原值實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值，單位：元； X6：資金利稅率，單位：%； X7：標(biāo)準(zhǔn)燃料消費(fèi)量，單位：噸； X8：能源利用效果，單位：萬(wàn)元/噸。表1某市工業(yè)部門13個(gè)行業(yè)8項(xiàng)指標(biāo)我們要考慮是：怎樣從這些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)出發(fā)，對(duì)八個(gè)指標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)縮減，便于我們對(duì)某市經(jīng)濟(jì)狀態(tài)做定性分析？Matlab計(jì)算主成份clearsj=load('zcf.txt')sj1=zscore(sj)xfc1=cov(sj1);xgxs=corrcoef(sj1);[t1t2]=eig(xfc1)[T1,T2]=eig(xgxs)0.002442000000000.032184000000000.086598000000000.30408000000000.64212000000000.93022000000002.8974000000003.1049-0.245-0.75762-0.065854-0.184220.0453030.104190.295990.47665-0.527110.51841-0.0484510.30545-0.174430.162980.277890.472810.780540.174040.0990480.0174750.058670.156260.377950.42385-0.20.249430.28786-0.539410.51609-0.00854430.45141-0.21289-0.030623-0.232970.582290.4499-0.199420.321130.33094-0.388460.042355-0.056436-0.713570.316840.279260.145140.40274-0.35243-0.04116-0.0528420.193590.41820.758170.14046-0.377410.214830.0032996-0.0671110.122170.32220.071855-0.891160.272740.055034表2特征根和累計(jì)貢獻(xiàn)率表3特征向量Y1Y2Y3冶金電力煤炭化學(xué)機(jī)器建材森工食品紡織縫紉皮革造紙