2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系解析版

2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、知識(shí)梳理1．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜02.圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)(2)代數(shù)法通過(guò)兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交；,Δ＝0?內(nèi)切或外切；,Δ＜0?內(nèi)含或外離Ｗ.))二、常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.3．圓系方程(1)過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(2)過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時(shí)，注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足題意，以防漏解)．三、核心考點(diǎn)1、直線與圓的位置關(guān)系例1判斷直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋（y－1）2＝5，))消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因?yàn)棣ぃ?6m2＋20>0，所以直線l與圓相交．例2(2022·杭州模擬)若無(wú)論實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，直線ax＋y＋a＋1＝0與圓x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，求b的取值范圍．解：因?yàn)閤2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圓，所以8－4b＞0，即b＜2.因?yàn)橹本€ax＋y＋a＋1＝0恒過(guò)定點(diǎn)(－1，－1)，所以點(diǎn)(－1，－1)在圓x2＋y2－2x－2y＋b＝0的內(nèi)部，所以6＋b＜0，解得b＜－6，所以b的取值范圍是(－∞，－6)．方法總結(jié)：判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判斷．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個(gè)數(shù)(也就是方程組解的個(gè)數(shù))來(lái)判斷．①如果Δ<0，那么直線與圓相離；②如果Δ＝0，那么直線與圓相切；③如果Δ>0，那么直線與圓相交．跟蹤練習(xí)1、直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系為(B)A．相切 B．相交但直線不過(guò)圓心C．直線過(guò)圓心 D．相離2、直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(A)A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定3、已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(B)A．相切 B．相交C．相離 D．不確定4、(2022·重慶巴蜀中學(xué)月考)直線l：mx＋(m＋1)y－5m－3＝0(m∈R)與圓O1：x2－6x＋y2－8y＋16＝0的位置關(guān)系是(A)A．相交 B．相切C．相離 D．與m有關(guān)5、若直線l：y＝kx＋1(k<0)與圓C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是(A)A．相交 B．相切C．相離 D．不確定6、(2022·宿州高三模擬)若直線x－y＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝m相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(C)A．(0，2] B．(1，2]C．(0，2) D．(1，2)7、直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－1＝0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是(B)A．0＜m≤1 B．－1＜m＜0m＜1 D．－3＜m＜18、(2021·廣東廣州綜合測(cè)試)若直線kx－y＋1＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(D)A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3]C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)9、若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是(A)A．(eq\r(2)＋1，＋∞) B．(eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1)C．(0，eq\r(2)－1) D．(0，eq\r(2)＋1)10、(2022·四川資陽(yáng)、遂寧等七市聯(lián)考)圓x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直線l：x＋y＋eq\r(2)＝0的距離為1的點(diǎn)共有(C)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)11、(2022·陜西西安八校聯(lián)考)若過(guò)點(diǎn)A(3,0)的直線l與曲線(x－1)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\r(3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\r(3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))12、(多選)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.則以下幾個(gè)命題正確的有(AC)A.直線l恒過(guò)定點(diǎn)(3，1)B.直線l與圓C相切C.直線l與圓C恒相交D.直線l與圓C相離13、(多選)直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－1＝0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是(AB)A.0＜m＜1 B.－1＜m＜0C.m＜1 D.－3＜m＜114、(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說(shuō)法正確的是(ABD)A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切15、兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關(guān)系是___內(nèi)切_____.16、已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點(diǎn)A(－2，－1)，則m＝___－2_____，r＝___eq\r(5)_____．17、圓2x2＋2y2＝1與直線xsinθ＋y－1＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈R，θ≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))的位置關(guān)系是__相離__18、(2020·浙江卷)已知直線y＝kx＋b(k＞0)與圓x2＋y2＝1和圓(x－4)2＋y2＝1均相切，則k＝_____eq\f(\r(3),3)_____，b＝____－eq\f(2\r(3),3)______.19、過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，此時(shí)直線l的方程為__x＋eq\r(3)y－3＝0______，∠ACB＝___eq\f(2π,3)_____．20、已知圓C：x2＋(y－4)2＝4，直線l：(3m＋1)x＋(1－m)·y－4＝0.(1)證明：直線l總與圓C相交；(2)設(shè)直線l與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求△CEF面積最大時(shí)，直線l的方程．解：(1)證明：因?yàn)閳AC：x2＋(y－4)2＝4，所以圓心C(0，4)，半徑r＝2，因?yàn)橹本€l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0，整理得(3x－y)m＋(x＋y－4)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以直線l過(guò)定點(diǎn)M(1，3)，因?yàn)閨CM|＝eq\r(（1－0）2＋（3－4）2)＝eq\r(2)<2＝r，所以定點(diǎn)M(1，3)在圓內(nèi)，所以直線l總與圓C相交．(2)由題意S△CEF＝eq\f(1,2)|CE|·|CF|·sin∠ECF＝eq\f(1,2)r2·sin∠ECF，當(dāng)S△CEF最大時(shí)，∠ECF＝eq\f(π,2)，此時(shí)△CEF是等腰直角三角形，此時(shí)圓心C(0，4)到直線l的距離d等于eq\f(\r(2),2)r，即d＝eq\r(2).因?yàn)閳A心C(0，4)到直線l的距離d＝eq\f(|（3m＋1）×0＋（1－m）×4－4|,\r(（3m＋1）2＋（1－m）2))＝eq\f(|－4m|,\r(（3m＋1）2＋（1－m）2))，所以eq\f(|－4m|,\r(（3m＋1）2＋（1－m）2))＝eq\r(2)，解得m＝－1，將m＝－1代入直線l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0，得x－y＋2＝0，所以當(dāng)△CEF面積最大時(shí)直線l的方程為x－y＋2＝0.2、圓的切線、弦長(zhǎng)問(wèn)題例3過(guò)點(diǎn)P(2，4)引圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為________.解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝2，此時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，即d＝eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋（－1）2))＝eq\f(|3－k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，∴所求切線方程為eq\f(4,3)x－y＋4－2×eq\f(4,3)＝0，即4x－3y＋4＝0.綜上，切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0.例4過(guò)x－y－2＝0上一點(diǎn)P(x0，y0)作直線與x2＋y2＝1相切于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)x0＝3時(shí)，（1）求切線長(zhǎng)|PA|；（2）當(dāng)|PO|·|AB|最小時(shí)，求x0的值．解(1)當(dāng)x0＝3時(shí)，y0＝1，即P(3，1)，所以|PO|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，|PA|＝eq\r(|PO|2－12)＝3；（2）如圖，PO⊥AB，PA⊥OA，PB⊥OB，所以S四邊形OAPB＝eq\f(1,2)|PO|·|AB|＝eq\f(1,2)|OA|·|PA|＋eq\f(1,2)|OB|·|PB|＝|OA|·|PA|＝|PA|，所以|PO|·|AB|＝2|PA|＝2eq\r(|PO|2－|OA|2)＝2eq\r(|PO|2－1)，則當(dāng)OP垂直于直線時(shí)，|PO|取得最小值為eq\f(|－2|,\r(2))＝eq\r(2)，此時(shí)|PO|·|AB|取得最小值為2，且P的坐標(biāo)為(1，－1)，即x0＝1.方法總結(jié)：圓的切線、弦長(zhǎng)問(wèn)題的解法(1)圓的切線問(wèn)題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問(wèn)題．(2)處理直線與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．跟蹤練習(xí)1、(2022·長(zhǎng)沙市第一中學(xué)月考)已知圓x2＋y2＝25，則過(guò)圓上一點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))的切線方程為(A)A．3x＋4y－25＝0 B．4x＋3y－24＝0C．3x－4y＋7＝0 D．4x－3y＝02、過(guò)點(diǎn)(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(B)A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝03、圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0被直線ax＋y－1＝0所截的線段長(zhǎng)為2eq\r(3)，則a＝(A)A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3)D．24、已知直線l：x＋my－1＝0與圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋1))2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB取得最大值時(shí)，則m＝(C)A．－3B．－1C．1D．35、已知圓(x－1)2＋y2＝4內(nèi)一點(diǎn)P(2，1)，則過(guò)P點(diǎn)的最短弦所在的直線方程是(B)A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x＝26、(2022·鄭州調(diào)研)已知圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1與直線kx＋y＋1＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若△CAB為等邊三角形，則k的值為(A)A.±eq\r(3) B.±2 C.±eq\f(\r(3),2) D.±eq\f(\r(2),2)7、(2022·天津市楊村第一中學(xué)月考)直線l：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－1))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－3))y＋4－3a＝0與圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋y2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))取最小值時(shí)，a的值是(D)A.eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)8、點(diǎn)P為射線x＝2(y≥0)上一點(diǎn)，過(guò)P作圓x2＋y2＝3的兩條切線，若兩條切線的夾角為90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(C)A.(2，1) B.(2，2)C.(2，eq\r(2)) D.(2，0)9、(2022·濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三測(cè)試)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＝0關(guān)于直線3x－2ay－11＝0對(duì)稱，則圓C中以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(a,2)))為中點(diǎn)的弦長(zhǎng)為(D)A.1 B.2 C.3 D.410、若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對(duì)稱，則由點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b))向圓所作的切線長(zhǎng)的最小值是(C)A．2 B．3C．4 D．611、(2022·惠州市高三第二次調(diào)研)已知直線l：ax－y＋2＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a∈R))與圓M：x2＋y2－4y＋3＝0的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)C是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|的最大值為(B)A．9 B．10C．11 D．1212、(多選)已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則下列說(shuō)法中正確的是(ABD)A.圓M的圓心為(4，－3)B.圓M被x軸截得的弦長(zhǎng)為8C.過(guò)原點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8D.圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為613、(多選)(2022·福州調(diào)研)已知直線l與圓C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M(0，1)，則下列結(jié)論正確的是(AD)A.實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜3B.實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜5C.直線l的方程為x＋y－1＝0D.直線l的方程為x－y＋1＝014、(多選)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：y－1＝k(x－3).則以下幾個(gè)命題正確的有(ABD)A.直線l恒過(guò)定點(diǎn)(3，1)B.圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為4eq\r(6)C.直線l與圓C相交或相切D.直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為2x－y－5＝015、(多選)(2021·新高考Ⅰ卷)已知點(diǎn)P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，則(ACD)A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C.當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|PB|＝3eq\r(2)D.當(dāng)∠PBA最大時(shí)，|PB|＝3eq\r(2)16、已知圓C：x2＋y2＝9，過(guò)點(diǎn)P(3，1)作圓C的切線，則切線方程為___x＝3或4x＋3y－15＝0_____．17、過(guò)點(diǎn)P(0，2)引一條直線l交圓(x－1)2＋y2＝4于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為____x＝0或3x＋4y－8＝0_______．18、在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E(0，1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為__10eq\r(2)____.19、點(diǎn)P在直線l：x＋y＝2上，過(guò)P作圓x2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OAPB面積的最小值為___1_____．20、若一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為___－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)_____.21、(2021·海南三模)已知點(diǎn)P(1，2)和圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線有兩條，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))_____.22、已知直線l：kx＋y＋8k－2＝0過(guò)定點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P向圓O：x2＋y2＝1作切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在的直線方程為___8x－2y＋1＝0_____．23、(2022·安徽省蚌埠市期末)已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點(diǎn)P(4，－1)，過(guò)點(diǎn)P作直線l.(1)當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．解：(1)當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝4，符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為kx－y－4k－1＝0，則圓心C到直線l的距離eq\f(|2k－3－4k－1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq\f(3,4)，所以l的方程為3x＋4y－8＝0.綜上，直線l的方程為x＝4或3x＋4y－8＝0.(2)當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，直線l的方程為x＋y－3＝0，圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2＋3－3|,\r(2))＝eq\r(2).所以所求弦長(zhǎng)為2×eq\r(4－（\r(2)）2)＝2eq\r(2).24、已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程；(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)過(guò)切點(diǎn)A(4，－1).解(1)設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0(b≠－4)，則eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10)，∴b＝1±2eq\r(5)，∴切線方程為x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，則eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10)，∴m＝±5eq\r(2)，∴切線方程為2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)∵kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3)，∴過(guò)切點(diǎn)A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過(guò)切點(diǎn)A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.25、(2022·重慶調(diào)研)已知A(2，0)，直線4x＋3y＋1＝0被圓C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦長(zhǎng)為4eq\r(3)，且P為圓C上任意一點(diǎn).(1)求|PA|的最大值與最小值；(2)圓C與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)，求以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)切圓的半徑.解(1)∵直線4x＋3y＋1＝0被圓C:(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦長(zhǎng)為4eq\r(3)，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(|－12＋3m＋1|,5)＝eq\r(（\r(13)）2－（2\r(3)）2)＝1.∵m<3，∴m＝2，∴|AC|＝eq\r(（－3－2）2＋（2－0）2)＝eq\r(29)，∴|PA|的最大值與最小值分別為eq\r(29)＋eq\r(13)，eq\r(29)－eq\r(13).(2)由(1)可得圓C的方程為(x＋3)2＋(y－2)2＝13，令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，∴圓C與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，∴△MON為直角三角形，斜邊|MN|＝2eq\r(13)，∴△MON內(nèi)切圓的半徑為eq\f(4＋6－2\r(13),2)＝5－eq\r(13).圓與圓的位置關(guān)系例5已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)求m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1，3)，N(5，6)，半徑分別為eq\r(11)和eq\r(61－m).(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，eq\r(（5－1）2＋（6－3）2)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m).解得m＝25＋10eq\r(11).(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.由圓的半徑、弦長(zhǎng)、弦心距間的關(guān)系，不難求得公共弦的長(zhǎng)為2×eq\r(（\r(11)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))\s\up12(2))＝2eq\r(7).例6已知圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，（1）求圓C1與圓C2公共弦所在直線的方程；（2）求圓C1與圓C2公共弦長(zhǎng)．解(1)聯(lián)立兩圓的方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))兩式相減并化簡(jiǎn)，得x－2y＋4＝0，此即兩圓公共弦所在直線的方程．（2）設(shè)兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以|AB|＝eq\r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(5)，即公共弦長(zhǎng)為2eq\r(5).方法總結(jié)：圓與圓的位置關(guān)系求解策略(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．跟蹤練習(xí)1、(2022·蚌埠模擬)設(shè)圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，則圓C1與C2的位置關(guān)系是(B)A．相交 B．外離C．外切 D．內(nèi)含2、圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(B)A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切3、已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(B)A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離4、已知圓O：x2＋y2＝4和圓M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則下列選項(xiàng)不正確的是(C)A．圓O與圓M有兩條公切線B．圓O與圓M關(guān)于直線AB對(duì)稱C．線段AB的長(zhǎng)為eq\f(2,3)D．若E，F(xiàn)分別是圓O與圓M上的點(diǎn)，則|EF|的最大值為4＋eq\r(5)5、已知點(diǎn)A(m，m＋6)，B(m＋2，m＋8)，若圓C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上存在不同的兩點(diǎn)P，Q，使得PA⊥PB，且QA⊥QB，則m的取值范圍是(C)A．(－2－eq\r(7)，－2＋eq\r(7)]B．[－2－eq\r(7)，－2＋eq\r(7))C．(－2－eq\r(7)，－2＋eq\r(7))D．[－2－eq\r(7)，－2＋eq\r(7)]6、兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關(guān)系是____內(nèi)切____．7、若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則常數(shù)a＝___±2eq\r(5)或0_____．若A為圓C1：x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，則線段AB長(zhǎng)度的最大值是____8____．8、圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長(zhǎng)為__2eq\r(2)______．9、已知圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0與圓C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B兩點(diǎn).公共弦|AB|的長(zhǎng)為___2eq\r(5)_____，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程為____(x＋2)2＋(y－1)2＝5____.10、(2022·長(zhǎng)沙調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C1：x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，則r的取值范圍