必修5解三角形教材分析課件

整體定位：一、對本章內(nèi)容的把握:（1）延伸：初中解直角三角形內(nèi)容的延伸（2）應(yīng)用：高中三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在解三角形中的具體應(yīng)用（3）工具：是解決可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其他

數(shù)學(xué)問題(特別是生產(chǎn)、生活實(shí)際中的實(shí)際測

量問題)的重要工具。（4）交匯：中學(xué)許多重要數(shù)學(xué)知識的交匯點(diǎn)。整體定位：一、對本章內(nèi)容的把握:（1）延伸：初中解直角三角形1本章主要處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，在三角形中有六個(gè)元素，三條邊、三個(gè)角，解三角形通常是給出三個(gè)獨(dú)立條件，求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，則給出兩個(gè)條件就可以了,解三角形需要利用邊角關(guān)系，正弦定理和余弦定理是刻畫三角形邊角關(guān)系的重要定理。同時(shí),為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。本章主要處理的是三角形中長度、角度、面積的度量2二、《課標(biāo)》對本章內(nèi)容的教學(xué)要求（1）通過對任意三角形邊長和角度的關(guān)系的探索，掌握正弦定理與余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法，解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。1.2節(jié)

應(yīng)用舉例有4個(gè)應(yīng)用例題：例1與例2是測量問題；例3是介紹解決平衡力系的數(shù)學(xué)方法；例4是以方位角為背景的解斜三角形問題；課后5個(gè)練習(xí)題和7個(gè)習(xí)題。分別涉及航海測量、地理測量等方面實(shí)踐活動(dòng)。

二、《課標(biāo)》對本章內(nèi)容的教學(xué)要求（1）通過對任意三角形邊長和3三、本章的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：1.探究與發(fā)現(xiàn)：正弦定理與余弦定理的探究與發(fā)現(xiàn);2.設(shè)計(jì)與運(yùn)用：依據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)測量方法，應(yīng)用正弦定理和余弦定理進(jìn)行幾何測量。三、本章的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：1.探究與發(fā)現(xiàn)：正弦定4教學(xué)難點(diǎn)：1.正弦定理與余弦定理的推導(dǎo);2.已知“邊邊角”求解三角形;(由初中判定三角形全等的條件可以知道，只要給出三角形中的“邊邊邊”或“邊角邊”、或“角邊角”的條件，就可以確定三角形，在上述條件下解三角形只有一解；若給出“邊邊角”的條件求解三角形時(shí)，解的個(gè)數(shù)與已知條件有關(guān)，結(jié)果可能是有一解、二解、或無解，需要具體情況具體分析，學(xué)生往往理解不透徹、解答不全面，這是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn))教學(xué)難點(diǎn)：1.正弦定理與余弦定理的推導(dǎo);2.已知“邊邊角”求53.解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題也是學(xué)生面臨的一個(gè)難題。3.解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題也是6四、教學(xué)建議：（一）重視對學(xué)生問題意識和探究意識的培養(yǎng)和探究方法的訓(xùn)練課標(biāo)教材最突出的特點(diǎn)是對學(xué)生問題意識、探究意識以及探究能力的培養(yǎng)與探究方法的訓(xùn)練。對正、余弦定理的學(xué)習(xí)要重結(jié)論但更重過程與方法，應(yīng)側(cè)重于結(jié)論的探究與形成的過程，和探究思想與方法的運(yùn)用。四、教學(xué)建議：（一）重視對學(xué)生問題意識和探究意識的培養(yǎng)和探7（1）知識結(jié)論的探究利用由特殊到一般的思維方法，從初中學(xué)習(xí)的直角三角形中的邊角關(guān)系猜想探究任意三角形中的邊角關(guān)系。（2）定理證明方法的探究在證明正弦定理與余弦定理以及解三角形時(shí)，鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生利用發(fā)散性思維，結(jié)合平面幾何知識、結(jié)合向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的關(guān)系、等多角度的探究正、余弦定理的證明方法，如幾何法、向量法、坐標(biāo)法等。（1）知識結(jié)論的探究8（3）從定性關(guān)系到定量關(guān)系的探究：本章對兩個(gè)定理的探究與推導(dǎo)都十分強(qiáng)調(diào)這一量化思想方法。①從任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的定性關(guān)系，到三角形邊角關(guān)系的的準(zhǔn)確量化.②判定三角形全等的定性條件“邊角邊”、“邊邊邊”，到定量而可計(jì)算的公式,即具備上述條件的三角形是唯一的，也即在上述條件下的解三角形只有一解.（3）從定性關(guān)系到定量關(guān)系的探究：①從任意三角形中大邊對大角9（二）重視對學(xué)生應(yīng)用意識與應(yīng)用能力的訓(xùn)練1、從三個(gè)層面把握：⑴應(yīng)用向量知識證明正弦、余弦定理；⑵應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)與三角變換解決三角形問題；⑶應(yīng)用正弦、余弦定理解決實(shí)際測量問題。（二）重視對學(xué)生應(yīng)用意識與應(yīng)用能力的訓(xùn)練1、從三個(gè)層面把握：102、充分利用圖形語言的直觀功能，要培養(yǎng)學(xué)生畫圖作題的習(xí)慣。3、對于應(yīng)用問題,應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力和提取有用信息的能力。4、結(jié)合各校實(shí)際，針對章后實(shí)習(xí)作業(yè)這一教學(xué)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)制定測量方案，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和應(yīng)用意識。2、充分利用圖形語言的直觀功能，要培養(yǎng)學(xué)生畫圖作題的習(xí)慣。11（三）重視數(shù)學(xué)思想方法的研究與訓(xùn)練⑵分類討論思想①在探究和證明正弦定理時(shí)，先依據(jù)直角三角形猜想，分直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三種情況用由特殊到一般的分類證明思想進(jìn)行探究與證明。（三）重視數(shù)學(xué)思想方法的研究與訓(xùn)練⑵分類討論思想12②三角形的可解性與解的個(gè)數(shù)的討論對給定的已知條件，有一解、有二解、無解三種情況。對此問題，A版教材是在探究與發(fā)現(xiàn)中給出研究，B版教材則是通過例題給出暗示，教學(xué)時(shí)可不要求學(xué)生對各種情況給出系統(tǒng)的討論，但必須讓學(xué)生明確，不同已知條件下解三角形的結(jié)果的不同性。要從更寬廣的層面上引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，與三角函數(shù)知識，以及與圖形相結(jié)合，而不是簡單的歸納問題的類型、死記硬背所謂解的情況表。③利用余弦定理對三角形形狀的討論②三角形的可解性與解的個(gè)數(shù)的討論③利用余弦定理對三13⑶轉(zhuǎn)化與化歸思想一是在用幾何法證明正弦定理和余弦定理時(shí)，均采用將一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的證明策略。二是解決實(shí)際測量問題時(shí)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形中的數(shù)學(xué)問題。⑶轉(zhuǎn)化與化歸思想14（四）應(yīng)用問題教學(xué)要貼近學(xué)生生活實(shí)際1、營造應(yīng)用問題氛圍，貼近學(xué)生生活實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和學(xué)習(xí)愿望,認(rèn)識到學(xué)習(xí)解三角形知識的必要性。2、發(fā)揮學(xué)生主體作用，引導(dǎo)學(xué)生從感興趣的實(shí)際問題到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的情況，從而形成猜想，激起進(jìn)一步探究的欲望，設(shè)計(jì)與發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑與方法，關(guān)注學(xué)生情感的體驗(yàn)。3、注重?cái)?shù)學(xué)方法提煉，加強(qiáng)問題解決后的總結(jié)與反思，并抽象提煉出數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)與總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將問題逐步引向深入，提升學(xué)習(xí)效率。（四）應(yīng)用問題教學(xué)要貼近學(xué)生生活實(shí)際1、營造應(yīng)用問題氛圍，貼15

（五）重視對學(xué)生信息技術(shù)應(yīng)用能力的培養(yǎng)

課本例題與習(xí)題中有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，求解結(jié)果的近似性。非特殊角、帶小數(shù)的長度值。有兩層含義：問題的真實(shí)性與現(xiàn)實(shí)性；培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算工具（如計(jì)算器、計(jì)算機(jī)）的意識與能力。沒有計(jì)算器條件的求近似值改成求精確值.教學(xué)中也可以改例習(xí)題中的角為特殊角。（五）重視對學(xué)生信息技術(shù)應(yīng)用能力的培養(yǎng)課本例題16（六）關(guān)于例習(xí)題的選配與訓(xùn)練的層次層次1:正弦、余弦定理的理解與鞏固性練習(xí)。層次2:依據(jù)問題的已知條件特征，對正弦定理和余弦定理的識別與選擇性使用練習(xí)。層次3:三角形內(nèi)的簡單三角變換問題，如三角形內(nèi)恒等式的證明、三角形形狀的判斷等。（六）關(guān)于例習(xí)題的選配與訓(xùn)練的層次層次1:正弦、余弦定理的理17層次4:實(shí)際測量問題（天文測量、航海測量、地理測量）：航海中海上兩個(gè)島嶼間的距離的測量；海上航行的船只的船速與航向的測量；底部不可到達(dá)的建筑物的高度的測量；在水平飛行的飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨鹊臏y量；不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離的度量;在天文研究中星際距離的測量；地理測量中的角度與面積的測量等生活實(shí)際中的實(shí)際應(yīng)用問題，這類問題課本配備充足，不必要另外補(bǔ)充很多例題。層次4:實(shí)際測量問題（天文測量、航海測量、地理測量）：航海18（七）要適當(dāng)控制練習(xí)題目的難度重點(diǎn)關(guān)注解三角形的應(yīng)用（測量與幾何），鼓勵(lì)學(xué)生探究不同的方法來解決問題，而不是硬套公式。重視揭示三角形本身所蘊(yùn)涵的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生掌握定理的結(jié)構(gòu),體會(huì)正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，強(qiáng)化方程思想與數(shù)形結(jié)合的思想，淡化三角變換，避免單純的恒等變形和過分的技巧性訓(xùn)練。（七）要適當(dāng)控制練習(xí)題目的難度重點(diǎn)關(guān)注解三191.1.1正弦定理本節(jié)的主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，建立任意三角形的邊角關(guān)系，是對三角形邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示。由于涉及邊角之間的數(shù)量關(guān)系，就比較自然的引導(dǎo)到三角函數(shù)上，讓學(xué)生從已有的的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角、小邊對小角的關(guān)系，我們能否得到這個(gè)邊角關(guān)系的準(zhǔn)確量化的表示呢”，再利用直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生猜想出正弦定理。五、具體建議1.1.1正弦定理本節(jié)的主要任務(wù)是引入并證明正弦20教學(xué)目標(biāo)：（1）通過對任意角三角函數(shù)關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理；（2）通過對正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力；用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的能力；獨(dú)立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神。（3）通過創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，讓學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,切身感受創(chuàng)造的快樂，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。教學(xué)目標(biāo)：（2）通過對正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)21重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是正弦定理的證明及其應(yīng)用；難點(diǎn)是正弦定理的探索與證明。這一小節(jié)建議可用兩節(jié)課：第一節(jié)課講正弦定理和例2，感受體會(huì)正弦定理的推導(dǎo)與應(yīng)用,練習(xí)題目可類比選用習(xí)題1-1A組第7題。正弦定理的證明方法很多，教師可以點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生借助向量和利用初中所學(xué)的平面幾何的方法給出證明，借此培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識的發(fā)散思維能力。

重點(diǎn)難點(diǎn)：這一小節(jié)建議可用兩節(jié)課：第一節(jié)課講正弦定理和例222第二節(jié)課通過例1講正弦定理在解三角形中的應(yīng)用。對學(xué)習(xí)較好的學(xué)生可進(jìn)行小結(jié)：題中的（1）已知兩角及其夾邊，方程有唯一解。這時(shí)，正弦定理等價(jià)于判斷三角形全等的定理ASA。（2）和（3）是已知兩邊和其中一邊所對的角，這時(shí)，列出的方程分別有兩解和一解。一解，表示只確定一個(gè)三角形，兩解表示兩個(gè)不同的三角形。如果給出的幾何條件，不能確定三角形，對應(yīng)的方程一定無解。這種情況可不討論.第二節(jié)課通過例1講正弦定理在解三角形中的應(yīng)用。23另外,書中的圖1-3（2），示意方程解確定的兩個(gè)三角形，由此，要說明方程兩解的幾何意義，則要涉及到同弧上的圓周角等較多的幾何知識,學(xué)生會(huì)發(fā)生困難。建議圖改為:另外,書中的圖1-3（2），示意方程解確定的兩個(gè)三角形，由此241.1.2余弦定理對于余弦定理的證明，同正弦定理類似，首先引導(dǎo)學(xué)生提出探究性問題“如果已知三角形的兩邊及其夾角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形，我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題”。1.1.2余弦定理對于余弦定理的證明，25對于定理的證明，要引導(dǎo)學(xué)生利用類比正弦定理證明的思維方法，從幾何法、向量法、坐標(biāo)法等展開聯(lián)想，探究不同的證明方法，并對不同方法進(jìn)行比較，讓學(xué)生體會(huì)感受到用向量方法證明余弦定理的簡便與威力。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將余弦定理與勾股定理進(jìn)行比較，理解特殊與一般的關(guān)系，以及銳角、直角、鈍角的判斷方法。對于定理的證明，要引導(dǎo)學(xué)生利用類比正弦定理證明的思維方法，從26教學(xué)目標(biāo)：（1）通過對余弦定理的探究與證明，熟悉利用平面幾何法、向量法、坐標(biāo)法證明余弦定理，會(huì)利用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，了解余弦定理和勾股定理的關(guān)系；（2）通過對三角函數(shù)的邊角關(guān)系的探索，使學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系，加深對數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的認(rèn)識，同時(shí)通過正弦定理、余弦定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換，認(rèn)識數(shù)學(xué)中的對稱美、簡潔美、統(tǒng)一美。（3）加深對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識,本節(jié)的重要數(shù)學(xué)思想是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、一般與特殊化思想等。重點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)與證明余弦定理并能運(yùn)用它們解一般三角形。難點(diǎn)是余弦定理的證明及其應(yīng)用。教學(xué)目標(biāo)：（1）通過對余弦定理的探究與證明，熟悉利用平面幾何27第二節(jié)為在解三角形中的應(yīng)用。通過例1、2、3，探討余弦定理在解三角形中的應(yīng)用。建議補(bǔ)充三角形面積公式。作為課堂練習(xí)，建議要求學(xué)生用向量的數(shù)量積運(yùn)算，重新處理例3第二節(jié)為在解三角形中的應(yīng)用。通過例1、2、3，探討余弦定理在281.2應(yīng)用舉例本章引言中接連提出四個(gè)怎樣測量問題，以一系列的實(shí)際問題引入要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，由此可見實(shí)際測量在本章的中心地位，對于解三角形的實(shí)際問題，要在引導(dǎo)學(xué)生理解一些術(shù)語（如坡度、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基礎(chǔ)上，正確地將實(shí)際問題中的長度、角度看成三角形的邊和角，創(chuàng)造可解的條件，綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識以及正弦定理和余弦定理來解決，教材將解三角形定位為幾何度量問題來處理，突出幾何背景，1.2應(yīng)用舉例本章引言中接連提出四個(gè)怎樣測量問題29教學(xué)目標(biāo)：通過對解斜三角形在實(shí)際中應(yīng)用的學(xué)習(xí)與研究，使學(xué)生能利用正弦和余弦定理等知識解決一些有關(guān)測量的實(shí)際問題，了解相關(guān)的測量術(shù)語，（如坡度、仰角、俯角、方位角、方向角等），幫助學(xué)生確立常規(guī)解三角形應(yīng)用題的一般方法和步驟，讓學(xué)生體會(huì)具體問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，提高學(xué)生應(yīng)用意識、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。教學(xué)時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，加強(qiáng)直觀感知，充分發(fā)揮這部分知識在增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和提高實(shí)際解決問題的能力。教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，加強(qiáng)直觀感知，充分30教學(xué)重點(diǎn)：分析測量問題的實(shí)際情景，從而找到測量的方法。教學(xué)難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型。問題1和2都是一類有關(guān)測量的問題，解這類問題的關(guān)鍵是選擇測點(diǎn)和測量的基線。建議問題1應(yīng)必須講，而問題2因其較問題1復(fù)雜一些，可有選擇的講。講解完后，建議對這類問題作一小結(jié)。教學(xué)重點(diǎn)：分析測量問題的實(shí)際情景，從而找到測量的方法。問題131問題3是介紹解決平衡力系的數(shù)學(xué)方法。講此題建議先簡要的復(fù)習(xí)一下向量求和的平行四邊形法則和三角形法則。問題4是解三角形方法用于天氣預(yù)報(bào)的一個(gè)典型例子，有較好的教育價(jià)值。教學(xué)時(shí)，最好連邊注中的提問一起完成?；A(chǔ)較好的學(xué)校,若學(xué)生掌握情況較好,建議類比鞏固與提高第12題。問題3是介紹解決平衡力系的數(shù)學(xué)方法。講此題建議先簡要的復(fù)習(xí)一32

練習(xí)和習(xí)題A組均為解三角形應(yīng)用的基本題,建議可以指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)。

練習(xí)和習(xí)題A組均為解三角形應(yīng)用的基本題,建議可以指導(dǎo)學(xué)生練33考試內(nèi)容要求層次ABC解三角形正弦定理、余弦定理√解斜三角形√高考要求考查方式：單獨(dú)考查或與三角函數(shù)、三角變換等知識結(jié)合考查。解三角形的應(yīng)用關(guān)注通法?？荚噧?nèi)容要求層次ABC解三角形正弦定理、余弦定理√解斜三角形34解三角形一章，融合了學(xué)生已學(xué)到的大部分幾何知識。在教學(xué)時(shí)，可在這個(gè)知識層面上，復(fù)習(xí)已學(xué)過的幾何知識和研究幾何的方法。各?？筛鶕?jù)自己的具體特點(diǎn)，制定適合本校學(xué)生的教學(xué)計(jì)劃，總體上要教給學(xué)生客觀的思路，不要過分強(qiáng)調(diào)一題多解，注重通性通法的貫徹。解三角形一章，融合了學(xué)生已學(xué)到的大部分幾何35整體定位：一、對本章內(nèi)容的把握:（1）延伸：初中解直角三角形內(nèi)容的延伸（2）應(yīng)用：高中三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在解三角形中的具體應(yīng)用（3）工具：是解決可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其他

數(shù)學(xué)問題(特別是生產(chǎn)、生活實(shí)際中的實(shí)際測

量問題)的重要工具。（4）交匯：中學(xué)許多重要數(shù)學(xué)知識的交匯點(diǎn)。整體定位：一、對本章內(nèi)容的把握:（1）延伸：初中解直角三角形36本章主要處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，在三角形中有六個(gè)元素，三條邊、三個(gè)角，解三角形通常是給出三個(gè)獨(dú)立條件，求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，則給出兩個(gè)條件就可以了,解三角形需要利用邊角關(guān)系，正弦定理和余弦定理是刻畫三角形邊角關(guān)系的重要定理。同時(shí),為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。本章主要處理的是三角形中長度、角度、面積的度量37二、《課標(biāo)》對本章內(nèi)容的教學(xué)要求（1）通過對任意三角形邊長和角度的關(guān)系的探索，掌握正弦定理與余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法，解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。1.2節(jié)

應(yīng)用舉例有4個(gè)應(yīng)用例題：例1與例2是測量問題；例3是介紹解決平衡力系的數(shù)學(xué)方法；例4是以方位角為背景的解斜三角形問題；課后5個(gè)練習(xí)題和7個(gè)習(xí)題。分別涉及航海測量、地理測量等方面實(shí)踐活動(dòng)。

二、《課標(biāo)》對本章內(nèi)容的教學(xué)要求（1）通過對任意三角形邊長和38三、本章的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：1.探究與發(fā)現(xiàn)：正弦定理與余弦定理的探究與發(fā)現(xiàn);2.設(shè)計(jì)與運(yùn)用：依據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)測量方法，應(yīng)用正弦定理和余弦定理進(jìn)行幾何測量。三、本章的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：1.探究與發(fā)現(xiàn)：正弦定39教學(xué)難點(diǎn)：1.正弦定理與余弦定理的推導(dǎo);2.已知“邊邊角”求解三角形;(由初中判定三角形全等的條件可以知道，只要給出三角形中的“邊邊邊”或“邊角邊”、或“角邊角”的條件，就可以確定三角形，在上述條件下解三角形只有一解；若給出“邊邊角”的條件求解三角形時(shí)，解的個(gè)數(shù)與已知條件有關(guān)，結(jié)果可能是有一解、二解、或無解，需要具體情況具體分析，學(xué)生往往理解不透徹、解答不全面，這是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn))教學(xué)難點(diǎn)：1.正弦定理與余弦定理的推導(dǎo);2.已知“邊邊角”求403.解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題也是學(xué)生面臨的一個(gè)難題。3.解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題也是41四、教學(xué)建議：（一）重視對學(xué)生問題意識和探究意識的培養(yǎng)和探究方法的訓(xùn)練課標(biāo)教材最突出的特點(diǎn)是對學(xué)生問題意識、探究意識以及探究能力的培養(yǎng)與探究方法的訓(xùn)練。對正、余弦定理的學(xué)習(xí)要重結(jié)論但更重過程與方法，應(yīng)側(cè)重于結(jié)論的探究與形成的過程，和探究思想與方法的運(yùn)用。四、教學(xué)建議：（一）重視對學(xué)生問題意識和探究意識的培養(yǎng)和探42（1）知識結(jié)論的探究利用由特殊到一般的思維方法，從初中學(xué)習(xí)的直角三角形中的邊角關(guān)系猜想探究任意三角形中的邊角關(guān)系。（2）定理證明方法的探究在證明正弦定理與余弦定理以及解三角形時(shí)，鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生利用發(fā)散性思維，結(jié)合平面幾何知識、結(jié)合向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的關(guān)系、等多角度的探究正、余弦定理的證明方法，如幾何法、向量法、坐標(biāo)法等。（1）知識結(jié)論的探究43（3）從定性關(guān)系到定量關(guān)系的探究：本章對兩個(gè)定理的探究與推導(dǎo)都十分強(qiáng)調(diào)這一量化思想方法。①從任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的定性關(guān)系，到三角形邊角關(guān)系的的準(zhǔn)確量化.②判定三角形全等的定性條件“邊角邊”、“邊邊邊”，到定量而可計(jì)算的公式,即具備上述條件的三角形是唯一的，也即在上述條件下的解三角形只有一解.（3）從定性關(guān)系到定量關(guān)系的探究：①從任意三角形中大邊對大角44（二）重視對學(xué)生應(yīng)用意識與應(yīng)用能力的訓(xùn)練1、從三個(gè)層面把握：⑴應(yīng)用向量知識證明正弦、余弦定理；⑵應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)與三角變換解決三角形問題；⑶應(yīng)用正弦、余弦定理解決實(shí)際測量問題。（二）重視對學(xué)生應(yīng)用意識與應(yīng)用能力的訓(xùn)練1、從三個(gè)層面把握：452、充分利用圖形語言的直觀功能，要培養(yǎng)學(xué)生畫圖作題的習(xí)慣。3、對于應(yīng)用問題,應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力和提取有用信息的能力。4、結(jié)合各校實(shí)際，針對章后實(shí)習(xí)作業(yè)這一教學(xué)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)制定測量方案，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和應(yīng)用意識。2、充分利用圖形語言的直觀功能，要培養(yǎng)學(xué)生畫圖作題的習(xí)慣。46（三）重視數(shù)學(xué)思想方法的研究與訓(xùn)練⑵分類討論思想①在探究和證明正弦定理時(shí)，先依據(jù)直角三角形猜想，分直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三種情況用由特殊到一般的分類證明思想進(jìn)行探究與證明。（三）重視數(shù)學(xué)思想方法的研究與訓(xùn)練⑵分類討論思想47②三角形的可解性與解的個(gè)數(shù)的討論對給定的已知條件，有一解、有二解、無解三種情況。對此問題，A版教材是在探究與發(fā)現(xiàn)中給出研究，B版教材則是通過例題給出暗示，教學(xué)時(shí)可不要求學(xué)生對各種情況給出系統(tǒng)的討論，但必須讓學(xué)生明確，不同已知條件下解三角形的結(jié)果的不同性。要從更寬廣的層面上引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，與三角函數(shù)知識，以及與圖形相結(jié)合，而不是簡單的歸納問題的類型、死記硬背所謂解的情況表。③利用余弦定理對三角形形狀的討論②三角形的可解性與解的個(gè)數(shù)的討論③利用余弦定理對三48⑶轉(zhuǎn)化與化歸思想一是在用幾何法證明正弦定理和余弦定理時(shí)，均采用將一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的證明策略。二是解決實(shí)際測量問題時(shí)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形中的數(shù)學(xué)問題。⑶轉(zhuǎn)化與化歸思想49（四）應(yīng)用問題教學(xué)要貼近學(xué)生生活實(shí)際1、營造應(yīng)用問題氛圍，貼近學(xué)生生活實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和學(xué)習(xí)愿望,認(rèn)識到學(xué)習(xí)解三角形知識的必要性。2、發(fā)揮學(xué)生主體作用，引導(dǎo)學(xué)生從感興趣的實(shí)際問題到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的情況，從而形成猜想，激起進(jìn)一步探究的欲望，設(shè)計(jì)與發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑與方法，關(guān)注學(xué)生情感的體驗(yàn)。3、注重?cái)?shù)學(xué)方法提煉，加強(qiáng)問題解決后的總結(jié)與反思，并抽象提煉出數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)與總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將問題逐步引向深入，提升學(xué)習(xí)效率。（四）應(yīng)用問題教學(xué)要貼近學(xué)生生活實(shí)際1、營造應(yīng)用問題氛圍，貼50

（五）重視對學(xué)生信息技術(shù)應(yīng)用能力的培養(yǎng)

課本例題與習(xí)題中有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，求解結(jié)果的近似性。非特殊角、帶小數(shù)的長度值。有兩層含義：問題的真實(shí)性與現(xiàn)實(shí)性；培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算工具（如計(jì)算器、計(jì)算機(jī)）的意識與能力。沒有計(jì)算器條件的求近似值改成求精確值.教學(xué)中也可以改例習(xí)題中的角為特殊角。（五）重視對學(xué)生信息技術(shù)應(yīng)用能力的培養(yǎng)課本例題51（六）關(guān)于例習(xí)題的選配與訓(xùn)練的層次層次1:正弦、余弦定理的理解與鞏固性練習(xí)。層次2:依據(jù)問題的已知條件特征，對正弦定理和余弦定理的識別與選擇性使用練習(xí)。層次3:三角形內(nèi)的簡單三角變換問題，如三角形內(nèi)恒等式的證明、三角形形狀的判斷等。（六）關(guān)于例習(xí)題的選配與訓(xùn)練的層次層次1:正弦、余弦定理的理52層次4:實(shí)際測量問題（天文測量、航海測量、地理測量）：航海中海上兩個(gè)島嶼間的距離的測量；海上航行的船只的船速與航向的測量；底部不可到達(dá)的建筑物的高度的測量；在水平飛行的飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨鹊臏y量；不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離的度量;在天文研究中星際距離的測量；地理測量中的角度與面積的測量等生活實(shí)際中的實(shí)際應(yīng)用問題，這類問題課本配備充足，不必要另外補(bǔ)充很多例題。層次4:實(shí)際測量問題（天文測量、航海測量、地理測量）：航海53（七）要適當(dāng)控制練習(xí)題目的難度重點(diǎn)關(guān)注解三角形的應(yīng)用（測量與幾何），鼓勵(lì)學(xué)生探究不同的方法來解決問題，而不是硬套公式。重視揭示三角形本身所蘊(yùn)涵的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生掌握定理的結(jié)構(gòu),體會(huì)正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，強(qiáng)化方程思想與數(shù)形結(jié)合的思想，淡化三角變換，避免單純的恒等變形和過分的技巧性訓(xùn)練。（七）要適當(dāng)控制練習(xí)題目的難度重點(diǎn)關(guān)注解三541.1.1正弦定理本節(jié)的主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，建立任意三角形的邊角關(guān)系，是對三角形邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示。由于涉及邊角之間的數(shù)量關(guān)系，就比較自然的引導(dǎo)到三角函數(shù)上，讓學(xué)生從已有的的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角、小邊對小角的關(guān)系，我們能否得到這個(gè)邊角關(guān)系的準(zhǔn)確量化的表示呢”，再利用直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生猜想出正弦定理。五、具體建議1.1.1正弦定理本節(jié)的主要任務(wù)是引入并證明正弦55教學(xué)目標(biāo)：（1）通過對任意角三角函數(shù)關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理；（2）通過對正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力；用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的能力；獨(dú)立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神。（3）通過創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，讓學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,切身感受創(chuàng)造的快樂，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。教學(xué)目標(biāo)：（2）通過對正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)56重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是正弦定理的證明及其應(yīng)用；難點(diǎn)是正弦定理的探索與證明。這一小節(jié)建議可用兩節(jié)課：第一節(jié)課講正弦定理和例2，感受體會(huì)正弦定理的推導(dǎo)與應(yīng)用,練習(xí)題目可類比選用習(xí)題1-1A組第7題。正弦定理的證明方法很多，教師可以點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生借助向量和利用初中所學(xué)的平面幾何的方法給出證明，借此培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識的發(fā)散思維能力。

重點(diǎn)難點(diǎn)：這一小節(jié)建議可用兩節(jié)課：第一節(jié)課講正弦定理和例257第二節(jié)課通過例1講正弦定理在解三角形中的應(yīng)用。對學(xué)習(xí)較好的學(xué)生可進(jìn)行小結(jié)：題中的（1）已知兩角及其夾邊，方程有唯一解。這時(shí)，正弦定理等價(jià)于判斷三角形全等的定理ASA。（2）和（3）是已知兩邊和其中一邊所對的角，這時(shí)，列出的方程分別有兩解和一解。一解，表示只確定一個(gè)三角形，兩解表示兩個(gè)不同的三角形。如果給出的幾何條件，不能確定三角形，對應(yīng)的方程一定無解。這種情況可不討論.第二節(jié)課通過例1講正弦定理在解三角形中的應(yīng)用。58另外,書中的圖1-3（2），示意方程解確定的兩個(gè)三角形，由此，要說明方程兩解的幾何意義，則要涉及到同弧上的圓周角等較多的幾何知識,學(xué)生會(huì)發(fā)生困難。建議圖改為:另外,書中的圖1-3（2），示意方程解確定的兩個(gè)三角形，由此591.1.2余弦定理對于余弦定理的證明，同正弦定理類似，首先引導(dǎo)學(xué)生提出探究性問題“如果已知三角形的兩邊及其夾角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形，我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題”。1.1.2余弦定理對于余弦定理的證明，60對于定理的證明，要引導(dǎo)學(xué)生利用類比正弦定理證明的思維方法，從幾何法、向量法、坐標(biāo)法等展開聯(lián)想，探究不同的證明方法，并對不同方法進(jìn)行比較，讓學(xué)生體會(huì)感受到用向量方法證明余弦定理的簡便與威力。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將余弦定理與勾股定理進(jìn)行比較，理解特殊與一般的關(guān)系，以及銳角、直角、鈍角的判斷方法。對于定理的證明，要引導(dǎo)學(xué)生利用類比正弦定理證明的思維方法，從61教學(xué)目標(biāo)：（1）通過對余弦定理的探究與證明，熟悉利用平面幾何法、向量法、坐標(biāo)法證明余弦定理，會(huì)利用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，了解余弦定理和勾股定理的關(guān)系；（2）通過對三角函數(shù)的邊角關(guān)系的探索，使學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系，加深對數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的認(rèn)識，同時(shí)通過正弦定理、余弦定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換，認(rèn)識數(shù)學(xué)中的對稱美、簡潔美、統(tǒng)一美。（3）加深對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識,本節(jié)的重要數(shù)學(xué)思想是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、一般與特殊化思想等。重點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)與證明余弦定理并能運(yùn)用它們解一般三角形。難點(diǎn)是余弦定理的證明及其應(yīng)用。教學(xué)目標(biāo)：（1）通過對余弦定理的探究與證明，熟悉利用平面幾何62第二節(jié)為在解三角形中的應(yīng)用。通