2023屆黑龍江省哈爾濱市實驗中學高考仿真模擬數學試卷（含答案解析）

2023高考數學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度，則所得函數圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．2．集合，則（）A． B． C． D．3．函數在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．4．設i是虛數單位，若復數（）是純虛數，則m的值為（）A． B． C．1 D．35．設數列是等差數列，，.則這個數列的前7項和等于（）A．12 B．21 C．24 D．366．設等差數列的前n項和為，若，則（）A． B． C．7 D．27．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．58．設曲線在點處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．49．記等差數列的公差為，前項和為.若，，則（）A． B． C． D．10．已知復數（為虛數單位）在復平面內對應的點的坐標是（）A． B． C． D．11．已知數列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．12．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現有一塊邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒，該方盒容積的最大值是________．14．在疫情防控過程中，某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護人員的精心治療下，第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開始，每天出院的人數是前一天出院人數的2倍，那么第19天治愈出院患者的人數為_______________，第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.15．從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務，每天安排一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當甲、乙兩人都參加時，他們參加社區(qū)服務的日期不相鄰，那么不同的安排種數為______________.(用數字作答)16．展開式中的系數為_______________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷，定價為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應，每天的銷售數據按照，，，分組，得到如下頻率分布直方圖，以不同銷量的頻率估計概率.從試銷售期間任選三天，求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率；試銷結束后，這款酸奶正式上市，廠家只提供整箱批發(fā)：大箱每箱瓶，批發(fā)成本元；小箱每箱瓶，批發(fā)成本元.由于酸奶保質期短，當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考，決定每天僅批發(fā)一箱（計算時每個分組取中間值作為代表，比如銷量為時看作銷量為瓶）.①設早餐店批發(fā)一大箱時，當天這款酸奶的利潤為隨機變量，批發(fā)一小箱時，當天這款酸奶的利潤為隨機變量，求和的分布列和數學期望；②以利潤作為決策依據，該早餐店應每天批發(fā)一大箱還是一小箱？注：銷售額=銷量×定價；利潤=銷售額－批發(fā)成本.18．（12分）已知函數，且曲線在處的切線方程為.（1）求的極值點與極值.（2）當，時，證明：.19．（12分）已知函數.（1）當時，不等式恒成立，求的最小值；（2）設數列，其前項和為，證明：.20．（12分）已知曲線的參數方程為為參數，曲線的參數方程為為參數).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點，且，求的值.21．（12分）已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點.（Ⅰ）若，求曲線的方程；（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求面積的最大值.22．（10分）如圖，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，分別為，的中點，為棱上一點，若平面.（1）求線段的長；（2）求二面角的余弦值.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【答案解析】

先化簡函數解析式,再根據函數的圖象變換規(guī)律,可得所求函數的解析式為,再由正弦函數的對稱性得解.【題目詳解】,

將函數圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,所得函數的解析式為,

再向右平移個單位長度,所得函數的解析式為,，可得函數圖象的一個對稱中心為，故選D.【答案點睛】三角函數的圖象與性質是高考考查的熱點之一，經常考查定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調性、最值等，其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現，在復習時要注意基礎知識的理解與落實．三角函數的性質由函數的解析式確定，在解答三角函數性質的綜合試題時要抓住函數解析式這個關鍵，在函數解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數解析式化為一個角的一個三角函數形式，然后利用正弦（余弦）函數的性質求解．2．D【答案解析】

利用交集的定義直接計算即可.【題目詳解】，故，故選：D.【答案點睛】本題考查集合的交運算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎題.3．B【答案解析】

根據特殊值及函數的單調性判斷即可；【題目詳解】解：當時，，無意義，故排除A；又，則，故排除D；對于C，當時，，所以不單調，故排除C；故選：B【答案點睛】本題考查根據函數圖象選擇函數解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎題.4．A【答案解析】

根據復數除法運算化簡，結合純虛數定義即可求得m的值.【題目詳解】由復數的除法運算化簡可得，因為是純虛數，所以，∴，故選：A.【答案點睛】本題考查了復數的概念和除法運算，屬于基礎題.5．B【答案解析】

根據等差數列的性質可得，由等差數列求和公式可得結果.【題目詳解】因為數列是等差數列，，所以，即，又，所以，，故故選：B【答案點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，性質，等差數列的和，屬于中檔題.6．B【答案解析】

根據等差數列的性質并結合已知可求出，再利用等差數列性質可得，即可求出結果．【題目詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B【答案點睛】本題主要考查等差數列的性質及前項和公式，屬于基礎題．7．C【答案解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據復數相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點：復數的代數運算，復數相等的充要條件，復數的模8．D【答案解析】

利用導數的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【題目詳解】因為，且在點處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D【答案點睛】本題考查導數的幾何意義，考查運算求解能力，是基礎題9．C【答案解析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗證選項.【題目詳解】因為，，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【答案點睛】本題考查等差數列的通項公式、前項和公式，還考查運算求解能力，屬于中檔題.10．A【答案解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡，求得的坐標得出答案.【題目詳解】解：，在復平面內對應的點的坐標是.故選：A.【答案點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題．11．C【答案解析】

利用證得數列為常數列，并由此求得的通項公式.【題目詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數列，所以，故.故選：C【答案點睛】本小題考查數列的通項與前項和的關系等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應用意識.12．B【答案解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【題目詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【答案點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

由題意容積，求導研究單調性，分析即得解.【題目詳解】由題意：容積，，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內唯一的極大值點也是最大值點，此時.故答案為：【答案點睛】本題考查了導數在實際問題中的應用，考查了學生數學建模，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.14．161【答案解析】

由題意可知出院人數構成一個首項為1，公比為2的等比數列，由此可求結果．【題目詳解】某醫(yī)院一次性收治患者127人．第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且從第16天開始，每天出院的人數是前一天出院人數的2倍，從第15天開始，每天出院人數構成以1為首項，2為公比的等比數列，則第19天治愈出院患者的人數為，，解得，第天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案為：16，1．【答案點睛】本題主要考查了等比數列在實際問題中的應用，考查等比數列的性質等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．15．5040.【答案解析】分兩類，一類是甲乙都參加，另一類是甲乙中選一人，方法數為。填5040.【答案點睛】利用排列組合計數時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏.在本題中，甲與乙是兩個特殊元素，對于特殊元素“優(yōu)先法”，所以有了分類。本題還涉及不相鄰問題，采用“插空法”。16．【答案解析】

把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數．【題目詳解】解：，故它的展開式中的系數為，故答案為：．【答案點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．；①詳見解析；②應該批發(fā)一大箱.【答案解析】

酸奶每天銷量大于瓶的概率為，不大于瓶的概率為，設“試銷售期間任選三天，其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件，則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，，，四種情況，分別求出相應概率，列出分布列，求出的數學期望，若早餐店批發(fā)一小箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，兩種情況，分別求出相應概率，由此求出的分布列和數學期望；②根據①中的計算結果，，從而早餐應該批發(fā)一大箱.【題目詳解】解：根據圖中數據，酸奶每天銷量大于瓶的概率為，不大于瓶的概率為.設“試銷售期間任選三天，其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件，則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批發(fā)一大箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，，，四種情況.當銷量為瓶時，利潤為元；當銷量為瓶時，利潤為元；當銷量為瓶時，利潤為元；當銷量為瓶時，利潤為元.隨機變量的分布列為所以（元）若早餐店批發(fā)一小箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，兩種情況.當銷量為瓶時，利潤為元；當銷量為瓶時，利潤為元.隨機變量的分布列為所以（元）.②根據①中的計算結果，，所以早餐店應該批發(fā)一大箱.【答案點睛】本題考查概率，離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查古典概型、對立事件概率計算公式等基礎知識，屬于中檔題.18．（1）極小值點為，極小值為，無極大值；（2）證明見解析【答案解析】

先對函數求導，結合已知及導數的幾何意義可求，結合單調性即可求解函數的極值點及極值；令，問題可轉化為求解函數的最值，結合導數可求．【題目詳解】（1）由題得函數的定義域為.，由已知得，解得∴，令，得令，得，∴在上單調遞增.令，得∴在上單調遞減∴的極小值點為，極小值為，無極大值.（2）證明：由（1）知，∴，令，即∵，，∴恒成立.∴在上單調遞增又，∴在上恒成立∴在上恒成立∴，即∴【答案點睛】本題考查了利用導數研究函數的極值問題，考查利用導數證明不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題．19．（1）；（2）證明見解析.【答案解析】

（1），分，，三種情況推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.【題目詳解】（1）由，得.當時，方程的，因此在區(qū)間上恒為負數.所以時，，函數在區(qū)間上單調遞減.又，所以函數在區(qū)間上恒成立；當時，方程有兩個不等實根，且滿足，所以函數的導函數在區(qū)間上大于零，函數在區(qū)間上單增，又，所以函數在區(qū)間上恒大于零，不滿足題意；當時，在區(qū)間上，函數在區(qū)間上恒為正數，所以在區(qū)間上恒為正數，不滿足題意；綜上可知：若時，不等式恒成立，的最小值為.（2）由第（1）知：若時，.若，則，即成立.將換成，得成立，即，以此類推，得，，上述各式相加，得，又，所以.【答案點睛】本題考查利用導數研究函數恒成立問題、證明數列不等式問題，考查學生的邏輯推理能力以及數學計算能力，是一道難題.20．（1），（2）0【答案解析】

（1）分別把兩曲線參數方程中的參數消去，即可得到普通方程；（2）把直線的參數方程代入的普通方程，化為關于的一元二次方程，再由根與系數的關系及此時的幾何意義求解．【題目詳解】（1）由曲線的參數方程為為參數），消去參數，可得；由曲線的參數方程為為參數），消去參數，可得，即．（2）把為參數）代入，得．，．．解得：，即，滿足△．．【答案點睛】本題考查參數方程化普通方程，特別是直線參數方程中參數的幾何意義的應用，是中檔題．21．（Ⅰ）和.；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【答案解析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；(Ⅱ)設點，設