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2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,.若分別是棱上的點(diǎn),且,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.2.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},則A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}3.已知中內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.4.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.405.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=A.2 B.2 C.2336.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),若實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn),若,則雙曲線漸近線的斜率為()A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知表示兩條不同的直線,表示兩個(gè)不同的平面,且則“”是“”的()條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要10.設(shè)函數(shù)滿足,則的圖像可能是A. B.C. D.11.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè),導(dǎo)線接頭忽略不計(jì)),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長(zhǎng)度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米12.為得到y(tǒng)=sin(2x-πA.向左平移π3個(gè)單位B.向左平移πC.向右平移π3個(gè)單位D.向右平移π二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的向量分別是,,則_______.14.若的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,則______,含項(xiàng)的系數(shù)是______(用數(shù)字作答).15.已知,記,則的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_________.16.已知盒中有2個(gè)紅球,2個(gè)黃球,且每種顏色的兩個(gè)球均按,編號(hào),現(xiàn)從中摸出2個(gè)球(除顏色與編號(hào)外球沒(méi)有區(qū)別),則恰好同時(shí)包含字母,的概率為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,且,,,,是棱的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫(xiě)出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),的頂點(diǎn)也在曲線上運(yùn)動(dòng),求面積的最大值.20.(12分)如圖,在三棱錐中,,,,平面平面,、分別為、中點(diǎn).(1)求證:;(2)求二面角的大?。?1.(12分)在三棱錐S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點(diǎn),SA=2(I)證明:SD⊥BC;(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.22.(10分)如圖,焦點(diǎn)在軸上的橢圓與焦點(diǎn)在軸上的橢圓都過(guò)點(diǎn),中心都在坐標(biāo)原點(diǎn),且橢圓與的離心率均為.(Ⅰ)求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M的互相垂直的兩直線分別與,交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A、B不同于點(diǎn)M),當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí),求兩直線MA,MB斜率的比值.
2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【答案解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.【題目詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點(diǎn)為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以,所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,屬于中檔題.2.A【答案解析】
解出集合A和B即可求得兩個(gè)集合的并集.【題目詳解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故選:A.【答案點(diǎn)睛】此題考查求集合的并集,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解不等式,根據(jù)描述法表示的集合,準(zhǔn)確寫(xiě)出集合中的元素.3.A【答案解析】
由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計(jì)算即可.【題目詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.4.B【答案解析】
,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【題目詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,是一道容易題.5.C【答案解析】
計(jì)算得到Ac,bca【題目詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.6.C【答案解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù),又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【題目詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象,由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),即函數(shù)為偶函數(shù),由,得,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,得,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式,注意分析函數(shù)的奇偶性,屬于中等題.7.C【答案解析】
如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,計(jì)算,,,,根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,,故,在中,,故,故,,根據(jù)勾股定理:,解得.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.8.B【答案解析】
分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【題目詳解】因?yàn)闀r(shí),所以,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【答案解析】
根據(jù)充分必要條件的概念進(jìn)行判斷.【題目詳解】對(duì)于充分性:若,則可以平行,相交,異面,故充分性不成立;若,則可得,必要性成立.故選:B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線線,線面,面面的位置關(guān)系,以及充要條件的判斷,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.解決充要條件判斷問(wèn)題,關(guān)鍵是要弄清楚誰(shuí)是條件,誰(shuí)是結(jié)論.10.B【答案解析】根據(jù)題意,確定函數(shù)的性質(zhì),再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì).由得是偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),可知B,D符合;由得是周期為2的周期函數(shù),選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4,不符合,選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2,符合,故選B.11.B【答案解析】
由于實(shí)際問(wèn)題中扇形弧長(zhǎng)較小,可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng),利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)榛¢L(zhǎng)比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小,可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng),故導(dǎo)線長(zhǎng)度約為63(厘米).故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算,屬于容易題.12.D【答案解析】試題分析:因?yàn)?,所以為得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象,只需要將考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像變換.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【答案解析】試題分析:由坐標(biāo)系可知考點(diǎn):復(fù)數(shù)運(yùn)算14.【答案解析】的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,,,項(xiàng)的系數(shù)是,故答案為(1),(2).15.【答案解析】
根據(jù)定積分的計(jì)算,得到,令,求得,即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)定積分的計(jì)算,可得,令,則,即的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用,以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【答案解析】
根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù),讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.【題目詳解】從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種情況,其中有種情況是兩個(gè)球顏色不相同;故其概率是故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了求事件概率,解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)和組合數(shù)計(jì)算公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)詳見(jiàn)解析;(2).【答案解析】
(1)根據(jù)平面,四邊形是矩形,由為中點(diǎn),且,利用平面幾何知識(shí),可得,又平面,所以,根據(jù)線面垂直的判定定理可有平面,從而得證.(2)分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,得到,,,,分別求得平和平面的法向量,代入二面角向量公式求解.【題目詳解】(1)證明:∵平面,∴四邊形是矩形,∵為中點(diǎn),且,∴,∵,,,∴.∴,∵,∴與相似,∴,∴,∴,∵,∴平面,∴平面,∵平面,∴,∴平面,∴.(2)如圖,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,,解得:,同理,平面的法向量,設(shè)二面角的大小為,則.即二面角的余弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18.(1);(2).【答案解析】分析:(1)在式子中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得.(2)由經(jīng)三角變換可得,然后運(yùn)用余弦定理可得,從而得到,故得.詳解:(1)由題意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由題意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴.∴面積的最大值為.點(diǎn)睛:(1)正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查,解題時(shí)要注意整體代換的應(yīng)用,如余弦定理中常用的變形,這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起.(2)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí),要注意等號(hào)成立的條件,在解題中必須要注明.19.(1):,:;(2)【答案解析】
(1)由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化的公式即可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由即可得的底,由點(diǎn)到直線的距離的最大值為即可得高的最大值,即可得解.【題目詳解】(1)由消去參數(shù)得直線的普通方程為,由得,曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)曲線即,圓心到直線的距離,所以,又點(diǎn)到直線的距離的最大值為,所以面積的最大值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化,考查了直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.20.(1)證明見(jiàn)解析;(2)60°.【答案解析】試題分析:(1)連結(jié)PD,由題意可得,則AB⊥平面PDE,;(2)法一:結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角,計(jì)算可得其正切值為,故二面角的大小為;法二:以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算可得平面PBE的法向量.平面PAB的法向量為.據(jù)此計(jì)算可得二面角的大小為.試題解析:(1)連結(jié)PD,PA=PB,PDAB.,BCAB,DEAB.又,AB平面PDE,PE平面PDE,∴ABPE.(2)法一:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.則DEPD,又EDAB,PD平面AB=D,DE平面PAB,過(guò)D做DF垂直P(pán)B與F,連接EF,則EFPB,∠DFE為所求二面角的平面角,則:DE=,DF=,則,故二面角的大小為法二:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0),=(1,0,),=(0,,).設(shè)平面PBE的法向量,令,得.DE平面PAB,平面PAB的法向量為.設(shè)二面角的大小為,由圖知,,所以即二面角的大小為.21.(I)證明見(jiàn)解析;(II)1【答案解析】
(I)過(guò)D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到證明.(II)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥SE于F,證明DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角,計(jì)算夾角得到答案.【題目詳解】(I)過(guò)D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)角度的垂直關(guān)系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根據(jù)余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD?平面SED,故SD⊥B
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