正方形性質(zhì)與判定第2課時(shí)

正方形的判定方法：(1)對(duì)角線(xiàn)

相等

的菱形是正方形；(2)對(duì)角線(xiàn)

垂直

的矩形是正方形；(3)有一個(gè)角是

直角

的菱形是正方形；(4)有一組鄰邊

相等

的矩形是正方形．【變式訓(xùn)練】1.

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).求證：四邊形CEDF是正方形．證明：過(guò)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四邊形DFCE是矩形，∵∠BAC，∠ABC的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB，∴DF＝DN，DE＝DN，∴DF＝DE，∴四邊形CEDF是正方形【例2】如圖，正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為點(diǎn)A，AF＝AE.求證：BF＝DE；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問(wèn)四邊形AFBE是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.∵AF⊥AC，∴∠EAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAE.在△ABF和△ADE中，AB＝AD，∠BAF＝∠DAE，AF＝AE，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴BF＝DE

(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，四邊形AFBE是正方形．理由：∵點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，AB＝BC，2∴BE⊥AC，BE＝DE＝BF＝AE＝

1

AC.∵AF＝AE，∴BE＝AF＝AE＝BF，∴四邊形AFBE是正方形2.

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，且DE是△ABC的中位線(xiàn)，延長(zhǎng)ED到F，使DF＝ED，連接FC，F(xiàn)B，回答下列問(wèn)題：求證：四邊形BECF是菱形；當(dāng)∠A的大小滿(mǎn)足什么條件時(shí)，菱形BECF是正方形？解：(1)∵DE為△ABC的中位線(xiàn)，∴BD＝CD，且DF＝ED，∴四邊形BECF為平行四邊形，∵∠ACB＝90°，BE＝AE，∴CE＝BE，∴四邊形BECF為菱形(2)當(dāng)∠A＝45°時(shí)，菱形BECF是正方形，理由：由(1)可知CE＝AE，∴當(dāng)∠A＝45°時(shí)可得∠ECA＝45°，∴CE⊥AB，∵四邊形BECF為菱形，∴四邊形BECF為正方形，即當(dāng)∠A為45°時(shí)，菱形BECF是正方形一、選擇題1.

下列說(shuō)法不正確的是(C)A．對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形B．對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形C．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形D．一組鄰邊相等的矩形是正方形2.

在四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的條件是(A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BCC)3.

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線(xiàn)EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF.添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是(D)A．BC＝AC

B．CF⊥BFC．BD＝DF

D．AC＝BF4.

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，在各邊上順次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，則四邊形EFGH的面積是(A．30

B．34

C．36

D．40B)二、填空題5.

(

月考)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，若不增加任何字母與輔助線(xiàn)，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是

AC＝BD或AB⊥BC

．6.

如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長(zhǎng)是

3

2

．三、解答題7.

(普寧模擬)如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三個(gè)頂

點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2，求證：四邊形EFGH是正方形．證明：∵AH＝2，DG＝2，∴AH＝DG.∵四邊形EFGH是菱形，∴HG＝HG＝EH，HE.在Rt△DHG和Rt△AEH中，DG＝AH，∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL)，∴∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°.∵四邊形EFGH是菱形，∴四邊形EFGH是正方形8.

(蘭州中考)在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正確的序號(hào)是

．①③④9.

(青島中考)如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，OE，OF.(1)求證：△BCE≌△DCF；(2)當(dāng)AB與BC滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AEOF是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，∵點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝12DC，OE＝

1

BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，BE＝DF，∠B＝∠D，2BC＝DC，∴△BC