等差數(shù)列知識點總結(jié)與基本題型

等差數(shù)列知識點總結(jié)與基本題型等差數(shù)列知識點總結(jié)與基本題型等差數(shù)列知識點總結(jié)與基本題型資料僅供參考文件編號：2022年4月等差數(shù)列知識點總結(jié)與基本題型版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：等差數(shù)列知識點總結(jié)與基本題型一、基本概念1、等差數(shù)列的概念（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。（2）對于公差，需強調(diào)的是它是每一項與它前一項的差（從第2項起）要防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒。（3）等差數(shù)列為遞增數(shù)列等差數(shù)列為常數(shù)列等差數(shù)列為遞減數(shù)列（4）一個等差數(shù)列至少由三項構(gòu)成。2、等差數(shù)列的通項公式（1）通項公式：，（當(dāng)時，等式也成立）；（2）推導(dǎo)方法：①不完全歸納法：在課本中，等差數(shù)列的通項公式是由歸納而得，這種利用一些特殊現(xiàn)象得出一般規(guī)律的方法叫不完全歸納法。②迭加法：也稱之為逐差求和的方法：，上述式子相加，，即。③迭代法：。（3）通項公式的應(yīng)用與理解①可根據(jù)的情況來分析數(shù)列的性質(zhì)，如遞增數(shù)列，遞減數(shù)列等。②用于研究數(shù)列的圖象。，（Ⅰ）時，是的一次函數(shù)，由于，因此，數(shù)列的圖象是直線上的均勻排開的無窮（或有窮）個孤立點。（Ⅱ）時，，表示平行于軸的直線上的均勻排開的無窮（或有窮）個孤立點。不難得出，任意兩項可以確定一個等差數(shù)列。③從函數(shù)知識的角度考慮等差數(shù)列的通項公式：，是關(guān)于的一次式，所以等差數(shù)列的通項公式也可以表示為（設(shè)）。④等差數(shù)列具有下列關(guān)系：（Ⅰ）數(shù)列中任意兩項與，滿足：或。（Ⅱ）在等差數(shù)列中，若，則。3、等差數(shù)列的等差中項（1）定義：如果成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。（2）充要條件：成等差數(shù)列。（3）推論：是等差數(shù)列。4、等差數(shù)列的主要性質(zhì)①若，則。②是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項之和，即。③若為等差數(shù)列，則，…仍構(gòu)成等差數(shù)列。④是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列。⑤下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為的項：組成公差為的等差數(shù)列。⑥數(shù)列（為常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列。二、基本題型例1、判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列：（1）；（2）。分析：用定義去判斷。解：（1），∴數(shù)列是等差數(shù)列。（2）由得，則，，∴數(shù)列不是等差數(shù)列。評注：如果判斷一個數(shù)列為等差數(shù)列，需用定義去證明，但若一個數(shù)列不是等差數(shù)列，只要取特殊值說明即可。例2、求等差數(shù)列的第20項。解：，。例3、在等差數(shù)列中，已知，，求與。解：由題意知：解得。例4、已知為等差數(shù)列，且，求。分析：有的同學(xué)習(xí)慣于數(shù)列等差數(shù)列，對于是等差數(shù)列就束手無策了，關(guān)鍵還是對定義理解不透徹。解：∵為等差數(shù)列，，，又，，，，則。例5、等差數(shù)列中，已知，則。分析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，或整體考慮問題，求出的值。解法1：根據(jù)題意，有，，則。而，因此，。解法2：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，可得。評注：解法1設(shè)出了但并沒有求出，事實上也求不出來，這種“設(shè)而不求”的方法在數(shù)學(xué)中常用，它體現(xiàn)了整體的思想，解法2實際上運用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若，，則。例6、三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于9，它們的平方和等于35，求這三個數(shù)。分析：若設(shè)這三個數(shù)為，則需列三個方程；若根據(jù)等差數(shù)列的定義，設(shè)這三個數(shù)為，只需列兩個方程，因此，采用后一種設(shè)法更好。解：設(shè)這三個數(shù)為，由題意得解得，這三個數(shù)為，或。評注：注意最終結(jié)果的寫法，為了避免引起歧義，這三個數(shù)寫出來時，就寫成數(shù)列的形式。例7、等差數(shù)列中，，求。分析：由，直接列方程組；解出兩個基本量和，這是常規(guī)解法，但比較麻煩，觀察的下標(biāo)，可以聯(lián)想到成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，必能提高解題速度。解法1：，。解法2：成等差數(shù)列，。例8、在與7之間順次插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等差數(shù)列，則這個數(shù)列為。分析：此題可求出公差后，再逐項求解，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解。解法1：設(shè)這幾個數(shù)組成的等差數(shù)列為，由已知，。解得，所求數(shù)列為。解法2：可利用等差數(shù)列，是的等差中項，是的等差中項，是的等差中項。即?！嗨髷?shù)列為。例9、設(shè)是公差為的等