(完整版)數(shù)列通項(xiàng)公式求法大全(配練習(xí)測試及參考答案),推薦文檔

數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法一、公式法—、累加法a=a+f(n)TOC\o"1-5"\h\zn+1n例1已知數(shù)列｛a｝滿足a=a+2n+1,a=1，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。a=n2nn+1n1nn例2已知數(shù)列｛a｝滿足a=a+2x3n+1,a=3，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。nn+1n1n(a=3n+n-1.)n二、累乘法a=f(n)an+1n例3已知數(shù)列｛a｝滿足a=2(n+1)5nxa,a=3，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。nn+1n1nn(n-1)、a=3x2n-ix52xn!.)n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系a=2(n+1)￡xa轉(zhuǎn)化為九=2(n+1)5”,n+1nan進(jìn)而求出上廠?丄?厶?厶?a，即得數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。aaaa1nn-1n-221例4已矢□數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=a+2a+3a+L+(n-1)a(n>2)，求｛a｝的n1n123n-1nn!通項(xiàng)公式。(a=n.)n2評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a=(n+1)a(n>2)轉(zhuǎn)化為TOC\o"1-5"\h\zn+1nh=n+1(n>2)，進(jìn)而求出上-??L?厶?a，從而可得當(dāng)n>2時，a的表達(dá)aaaa2nnn-1n-22式，最后再求出數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n四、待定系數(shù)法a=pa+qa=pa+=pa+qa(其中p，qn+1nn+1nn+2n+1n均為常數(shù))。

例5已知數(shù)列｛a｝滿足a二2a+3x5n,a二6，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。TOC\o"1-5"\h\znn+1n1n(a=2n-1+5n)n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a=2a+3x5n轉(zhuǎn)化為n+1na—5n+1=2(a—5n)，從而可知數(shù)列｛a—5n｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛a—5n｝n+1nnn的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n例6已知數(shù)列｛a｝滿足a=3a+5x2n+4,a=1，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。nn+1n1n(a=13x3n-1—5x2n—2)n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a=3a+5x2+4轉(zhuǎn)化為n+1na+5x2n+1+2=3(a+5x2n+2)，從而可知數(shù)列｛a+5x2n+2｝是等比數(shù)列，進(jìn)n+1nn而求出數(shù)列｛a+5x2n+2｝的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。nn例7已知數(shù)列｛a｝滿足a=2a+3n2+4n+5,a=1，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。nn+1n1n(a=2n+4—3n2—10n—18)n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a=2a+3n2+4n+5轉(zhuǎn)化為n+1na+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(a+3n2+10n+18)，從而可知數(shù)列n+1n｛a+3n2+10n+18｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛a+3n2+10n+18｝的通項(xiàng)公式，nn最后再求出數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n五、遞推公式為S與a的關(guān)系式(或S=f(a))nnnn解法：這種類型一般利用anS解法：這種類型一般利用anS1

Sn—Sn—1?(n=1)(n>2)例8已知數(shù)列｛｝前n項(xiàng)和S=4—a—.(1)求a與a的關(guān)系；(2)求通nnn2n—2n+1n項(xiàng)公

例9已知數(shù)列｛a｝滿足a=3a+2x例9已知數(shù)列｛a｝滿足a=3a+2x3nn+1n+1,a=3，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。1n解：a=3a+2x3n+1兩邊除以3n+1，n+1n3n+13n33n+1aa21貝Q—n=+，故n+1—n3n+13n33n+1因此a=s+叮3n3.2n+1=+-

322X3nTOC\o"1-5"\h\z2c1c1貝Ua=xnx3n+x3n-.n322評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a=3a+2x3n+1轉(zhuǎn)化為n+1n^21^21-f=-+，進(jìn)而求出3n+13n33n+1aaaaaaa、—―aaaaaaa、—―n—1)+(―n—1—―n2)+(―n2—―n—3)+L+(—2——)3n3n-13n-13"-23"-23"-33231+a，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n七、對數(shù)變換法（當(dāng)通項(xiàng)公式中含冪指數(shù)時適用）例10已知數(shù)列｛a｝滿足a二例10已知數(shù)列｛a｝滿足a二2x3nxa5,n+1a=7，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。1n解：因?yàn)閍=2x3n+1xa5,an：=7，所以a1n>0,a>0。在a=2x3nxa5式兩邊n+1n+1n取常用對數(shù)得lga取常用對數(shù)得lgan+1=5lga+nlg3+lg2n設(shè)Iga+x(n+1)+y=5(lga+xn+設(shè)Ign+1n將⑩式代入式，得5lga+nlg3+lg2+x(n+1)+y=5(lga+xn+y)，兩邊消去nn5lga并整理，得(lg3+x)n+x+y+lg2=5xn+5y，則n

Ig3+x=5xx+y+lg2=5ylg3x=4y=亙+竺16Ig3+x=5xx+y+lg2=5ylg3x=4y=亙+竺164由覽羅罟X1+譽(yù)+竽=即+罟X1+導(dǎo)+豐0及式,得lga+lg3n+￥3+竽豐0,TOC\o"1-5"\h\zn4164lga+lg3(n+1)+空+空網(wǎng)二+1416=5人」]lg3lg3lg2'lga+n++一n4164所以數(shù)列｛lga+孚n+卑+與是以lg7+孚+卑+竽為首項(xiàng)，以5為公比n416441644）5n一1'因此的等比數(shù)列，則lga+lg3n+￥3+竽=4）5n一1'因此lg3lg3lg2叱=（即+孚+詈+竽lg3lg3lg2叱=（即+孚+詈+竽）5"-1-亍64++-4164111n亠1=(lg7+lg34+lg36+lg24)5"-1—lg34—lg316—lg241丄1n丄1=[lg(7-34?316?24)]5n-1—lg(34?316?24)丄丄丄n丄丄=lg(7-34?316?24)5"-1—lg(34?316?24)5nT-n5nT-15nT-1=lg(75n—1-34-316-24)5n—4n—15n—■—1=lg(75"-1-316-24)5n-4n-15n—1-1則a=75n-1x316x24on評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式a=2x3nxa5轉(zhuǎn)化為TOC\o"1-5"\h\zn+1nlga+孚（n+1）+器+竽=5（lga+孚n+器+竽），從而可知數(shù)列n+14164n4164｛lga+孚n+卑+鳥？｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛lga+孚n+畧+竽｝的

n4164n4164通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n

八、迭代法例11已知數(shù)列｛a｝滿足a=a3(n+i)2”，a=5，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。TOC\o"1-5"\h\znn+1n1n解：因?yàn)閍=a3(n+1)2n，所以a=a3n?2"-i=[a3(n-1)-2n-2]3n-2n-!n+1nnn-1n-2又a=5，所以數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=53"-i。1nn評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式a=a3(n+1)2nn+1n兩邊取常用對數(shù)得lga=3(n+1)x2nxlga，即里人=3(a=a3(n+1)2nn+1nn再由累乘法可推知lga=卑再由累乘法可推知lga=卑nlgan-1lgaTlgalgalgalgalgan-22「n(n-1)2-lga=Ig53"-E2"；'，從而:11a=53n-1加2于。a=53n-1加2于。n九、數(shù)學(xué)歸納法例12已知數(shù)列｛a｝滿足a=ann+1j+8(n+1)(2n+1)2(2n+3)2=8，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)9n公式。解：由a=a+8(〃+1)-n+1n(2n+1)2(2n+3)2及"1=9'得由此可猜測a卷晉，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。⑴當(dāng)n=1時,:;1⑴當(dāng)n=1時,(2X1+1)29⑵假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立’即q=；；；+)J'則當(dāng)n=k+1時,由此可知，當(dāng)n=k+1時等式也成立。根據(jù)(1),(2)可知，等式對任何ngN*都成立。

評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。十、換元法例13已知數(shù)列｛a｝滿足a=丄(1+4a+J1+24a),a=1，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)nn+116nn1n公式。解：令b=、；1+24a，則a=丄■(b2-1)n、nn24n11故a=(b2—1)，代入a=(1+4a+f1+24a)得TOC\o"1-5"\h\zn+124n+1n+116n轄n即4b2=(b+3)2因?yàn)閎=J1+24a>0，故b=J1+24a>0n7nn+1耳n+113則u2b=b+3，即b=_b+_,n+1nn+12n2可化為b—3=；(b—3),n+12n所以｛b—3｝是以