平面向量空間向量知識點(diǎn)資料

平面向量空間向量知識點(diǎn)資料平面向量空間向量知識點(diǎn)資料平面向量空間向量知識點(diǎn)資料資料僅供參考文件編號：2022年4月平面向量空間向量知識點(diǎn)資料版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：平面向量§2.1.1、向量的物理背景與概念1、了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的幾何表示1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.2、向量SKIPIF1<0的大小，也就是向量SKIPIF1<0的長度（或稱模），記作SKIPIF1<0；長度為零的向量叫做零向量；長度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行.§2.1.3、相等向量與共線向量1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法運(yùn)算及其幾何意義1、三角形加法法則和平行四邊形加法法則.2、SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0.§2.2.2、向量減法運(yùn)算及其幾何意義1、與SKIPIF1<0長度相等方向相反的向量叫做SKIPIF1<0的相反向量.2、三角形減法法則和平行四邊形減法法則.§2.2.3、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1、規(guī)定：實(shí)數(shù)SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作：SKIPIF1<0，它的長度和方向規(guī)定如下：⑴SKIPIF1<0,⑵當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相同；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相反.2、平面向量共線定理：向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.§2.3.11、平面向量基本定理：如果SKIPIF1<0是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量SKIPIF1<0，有且只有一對實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1、SKIPIF1<0.§2.3.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、設(shè)SKIPIF1<0，則：⑴SKIPIF1<0，⑵SKIPIF1<0，⑶SKIPIF1<0，⑷SKIPIF1<0.2、設(shè)SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0.§2.3.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示1、設(shè)SKIPIF1<0，則⑴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，⑵△ABC的重心坐標(biāo)為SKIPIF1<0.§2.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1、SKIPIF1<0.2、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為：SKIPIF1<0.3、SKIPIF1<0.4、SKIPIF1<0.5、SKIPIF1<0.1、設(shè)SKIPIF1<0，則：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0⑶SKIPIF1<0⑷SKIPIF1<02、設(shè)SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0.兩向量的夾角公式SKIPIF1<04、點(diǎn)的平移公式平移前的點(diǎn)為SKIPIF1<0（原坐標(biāo)），平移后的對應(yīng)點(diǎn)為SKIPIF1<0（新坐標(biāo)），平移向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的圖像按向量SKIPIF1<0平移后的圖像的解析式為SKIPIF1<0§2.5.1、平面幾何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的應(yīng)用舉例空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量⑴．直線的方向向量：

若A、B是直線SKIPIF1<0上的任意兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0的一個(gè)方向向量；與SKIPIF1<0平行的任意非零向量也是直線SKIPIF1<0的方向向量.

⑵．平面的法向量：

若向量SKIPIF1<0所在直線垂直于平面SKIPIF1<0，則稱這個(gè)向量垂直于平面SKIPIF1<0，記作SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0叫做平面SKIPIF1<0的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．②設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0．③求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)SKIPIF1<0．④根據(jù)法向量定義建立方程組SKIPIF1<0.⑤解方程組，取其中一組解，即得平面SKIPIF1<0的法向量.（如圖）用向量方法判定空間中的平行關(guān)系⑴線線平行設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量分別是SKIPIF1<0，則要證明SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，只需證明SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。

⑵線面平行①（法一）設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量是SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量是SKIPIF1<0，則要證明SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，只需證明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外②（法二）要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行若平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0.即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。

3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系

⑴線線垂直設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量分別是SKIPIF1<0，則要證明SKIPIF1<0，只需證明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。

⑵線面垂直①（法一）設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量是SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量是SKIPIF1<0，則要證明SKIPIF1<0，只需證明SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.②（法二）設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量是SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0.即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。

4、利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知SKIPIF1<0為兩異面直線，A，C與B，D分別是SKIPIF1<0上的任意兩點(diǎn)，SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0⑵求直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角②求法：設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，直線與平面所成的角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的余角或SKIPIF1<0的補(bǔ)角

的余角.即有：SKIPIF1<0⑶求二面角①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面OABOABl二面角的平面角是指在二面角SKIPIF1<0的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角.OABOABl如圖：②求法：設(shè)二面角SKIPIF1<0的兩個(gè)半平面的法向量分別為SKIPIF1<0，再設(shè)SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0或其補(bǔ)角SKIPIF1<0根據(jù)具體圖形確定SKIPIF1<0是銳角或是鈍角：◆如果SKIPIF1<0是銳角，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0是鈍角，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.5、利用法向量求空間距離⑴點(diǎn)Q到直線SKIPIF1<0距離若Q為直線SKIPIF1<0外的一點(diǎn),SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則點(diǎn)Q到直線SKIPIF1<0距離為SKIPIF1<0⑵點(diǎn)A到平面SKIPIF1<0的距離若點(diǎn)P為平面SKIPIF1<0外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面SKIPIF1<0內(nèi)任一點(diǎn)，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則P到平面SKIPIF1<0的距離就等于SKIPIF1<0在法向量SKIPIF1<0方向上的投影的絕對值.即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑶直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。即SKIPIF1<0⑷兩平行平面SKIPIF1<0之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。即SKIPIF1<0⑸異面直線間的距離設(shè)向量SKIPIF1<0與兩異面直線SKIPIF1<0都垂直，SKIPIF1<0則兩異面直線SKIPIF1<0間的距離SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上投影的絕對值。即SKIPIF1<06、三垂線定理及其逆定理⑴三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直推理模式：SKIPIF1<0概括為：垂直于射影就垂直于斜線.⑵三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直推理模式