最新高中數(shù)學(xué)向量專題

第7頁共7頁1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法。向量的大小即向量的?！查L度〕，記作||即向量的大小，記作｜|。向量不能比擬大小，但向量的?？梢员葦M大小。②零向量③單位向量模為1個單位長度的向量，向量為單位向量｜｜＝1。④平行向量〔共線向量〕方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作∥。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。⑤相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。2．向量的運算〔1〕向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設(shè)，那么+==。向量加法的“三角形法那么〞與“平行四邊形法那么〞〔1〕用平行四邊形法那么時，兩個向量是要共始點的，和向量是始點與向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量?！?〕三角形法那么的特點是“首尾相接〞，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法那么；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法那么。向量加法的三角形法那么可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連〞。〔2〕向量的減法①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有：〔i〕=；(ii)+()=()+=；(iii)假設(shè)、是互為相反向量，那么=,=,+=。②向量減法向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量〔、有共同起點〕?！?〕實數(shù)與向量的積①實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕當(dāng)時，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時，，方向是任意的。②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。3．兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。4．平面向量的根本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。5．平面向量的坐標(biāo)表示〔1〕相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；〔2〕向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)系?！?〕平面向量的坐標(biāo)運算：①假設(shè)，那么；②假設(shè)，那么；③假設(shè)=(x,y)，那么=(x,y)；④假設(shè)，那么。向量的數(shù)量積〔1〕兩個非零向量的夾角非零向量a與a，作＝，＝，那么∠AＯA＝θ〔０≤θ≤π〕叫與的夾角；說明：〔1〕當(dāng)θ＝０時，與同向；〔2〕當(dāng)θ＝π時，與反向；〔3〕當(dāng)θ＝時，與垂直，記⊥；〔4〕注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0≤≤180。CC〔2〕數(shù)量積的概念兩個非零向量與，它們的夾角為，那么·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積〔或內(nèi)積〕。規(guī)定；向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；〔3〕數(shù)量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積?！?〕向量數(shù)量積的性質(zhì)；③平面向量數(shù)量積的運算律④向量的夾角：cos==。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題?！?〕兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算兩個向量，那么·=。〔6〕垂直：如果與的夾角為900那么稱與垂直，記作⊥。兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)?！?〕平面內(nèi)兩點間的距離公式設(shè)，那么或。如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)。例一如圖1－2，正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()圖1－2A．0B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(CF,\s\up6(→))【解析】eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))，所以選D.練習(xí)1如圖正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．0B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(CF,\s\up6(→))例二向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．假設(shè)a－2b與c共線，那么k＝________.【解析】因為a－2b＝(eq\r(3)，3)，由a－2b與c共線，有eq\f(k,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，可得k＝1.練習(xí)1向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．假設(shè)a－2b與c共線，那么k＝________________________________________________________________________.2課標(biāo)文數(shù)3.F2[2023·廣東卷]向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．假設(shè)λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，那么λ＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．23課標(biāo)文數(shù)13.F2[2023·湖南卷]設(shè)向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，那么a的坐標(biāo)為________．例3設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，假設(shè)eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，那么稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2，平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B，那么下面說法正確的是()A．C可能是線段AB的中點B．D可能是線段AB的中點C．C、D可能同時在線段AB上D．C、D不可能同時在線段AB的延長線上[來源:Zxxk.Com]【解析】假設(shè)C、D調(diào)和分割點A；B，那么eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.對于A：假設(shè)C是線段AB的中點，那么eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))?λ＝eq\f(1,2)?eq\f(1,μ)＝0，故A選項錯誤；同理B選項錯誤；對于C：假設(shè)C、A同時在線段AB上，那么0<λ<1,0<μ<1?eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)>2，C選項錯誤；對于D：假設(shè)C、D同時在線段AB的延長線上，那么λ>1，μ>1?eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)<2，故C、D不可能同時在線段AB的延長線上，D選項正確．練習(xí)1課標(biāo)文數(shù)12.F2[2023·山東卷]設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，假設(shè)eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，那么稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2，點C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)調(diào)和分割點A(0,0)，B(1,0)，那么下面說法正確的是()A．C可能是線段AB的中點B．D可能是線段AB的中點C．C、D可能同時在線段AB上D．C、D不可能同時在線段AB的延長線上2課標(biāo)理數(shù)14.F2[2023·天津卷]直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，那么|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為________．圖1－73課標(biāo)文數(shù)14.F2[2023·天津卷]直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，那么|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為________．4課標(biāo)理數(shù)14.F2[2023·浙江卷]假設(shè)平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq\f(1,2)，那么α與β的夾角θ的取值范圍是________．5課標(biāo)文數(shù)15.F2[2023·浙江卷]假設(shè)平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq\f(1,2)，那么α和β的夾角θ的取值范圍是________．6課標(biāo)文數(shù)向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，那么a與b的夾角為________．7課標(biāo)理數(shù)13.F3[2023·安徽卷]向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，那么a與b的夾角為________．8大綱文數(shù)3.F3[2023·全國卷]設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，那么|a＋2b|＝()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(7)例5課標(biāo)理數(shù)8.E5，F(xiàn)3[2023·福建卷]O是坐標(biāo)原點，點A(－1,1)，假設(shè)點M(x，y)為平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一個動點，那么eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖1－2)，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝－x＋y，取目標(biāo)函數(shù)z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率為1的一組平行線，圖1－2當(dāng)它經(jīng)過點C(1,1)時，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；當(dāng)它經(jīng)過點B(0,2)時，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.∴z的取值范圍是[0,2]，即eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范圍是[0,2]，應(yīng)選C.練習(xí)1課標(biāo)文數(shù)13.F3[2023·福建卷]假設(shè)向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，那么a·b等于________．2標(biāo)理數(shù)3.F3[2023·廣東卷]假設(shè)向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，那么c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．03課標(biāo)文數(shù)2.F3[2023·湖北卷]假設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，那么2a＋b與a－b的夾角等于()[來源:學(xué)§科§網(wǎng)]A．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)4課標(biāo)理數(shù)14.F3[2023·湖南卷]在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，那么eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝________.所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),6)＝－eq\f(1,4).5課標(biāo)理數(shù)11.F3[2023·江西卷]|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，那么a與b的夾角為________．6課標(biāo)文數(shù)11.F3[2023·江西卷]兩個單位向量e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，假設(shè)向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，那么b1·b2＝________.例六a與b均為單位向量，其夾角為θ，有以下四個命題：p1：|a＋b|＞1?θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))；p2：|a＋b|＞1?θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))p3：|a－b|＞1?θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))；p4：|a－b|＞1?θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).其中的真命題是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4【解析】因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))>1?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2＋2a·b＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2>1?a·b>－eq\f(1,2)?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cosθ＝cosθ>－eq\f(1,2)?θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以p1為真命題，p2為假命題．又因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))>1?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2－2a·b＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2>1?a·b<eq\f(1,2)?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cosθ＝cosθ<eq\f(1,2)?θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，所以p4為真命題，p3為假命題．練習(xí)1課標(biāo)理數(shù)10.F3[2023·遼寧卷]假設(shè)a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，那么|a＋b－c|的最大值為()A.eq\r(2)－1B．1C.eq\r(2)D．22課標(biāo)文數(shù)3.F3[2023·遼寧卷]向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，那么k＝()A．－12B．－6C．6D．123課標(biāo)文數(shù)13.F3[2023·課標(biāo)全國卷]a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，假設(shè)向量a＋b與向量ka－b垂直，那么k＝________.4課標(biāo)數(shù)學(xué)10.F3[2023·江蘇卷]e1，e2是夾角為eq\f(2π,3)的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2,假設(shè)a·b＝0，那么實數(shù)k的值為________．5大綱理數(shù)12.F3[2023·重慶卷]單位向量e1，e2的夾角為60°，那么|2e1－e2|＝________.6大綱文數(shù)5.F3[2023·重慶卷]向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b與a共線，那么a·b的值為()A．1B．2C．3D．47大綱理數(shù)12.F4[2023·全國卷]設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，〈a－c，b－c〉＝60°，那么|c|的最大值等于()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．18[2023·北京海淀一模]在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up