最新高中數(shù)學(xué)向量專題

第7頁共7頁1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。向量一般用……來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法。向量的大小即向量的?！查L度〕，記作||即向量的大小，記作｜|。向量不能比擬大小，但向量的?？梢员葦M大小。②零向量③單位向量模為1個(gè)單位長度的向量，向量為單位向量｜｜＝1。④平行向量〔共線向量〕方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作∥。由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。⑤相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。2．向量的運(yùn)算〔1〕向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。設(shè)，那么+==。向量加法的“三角形法那么〞與“平行四邊形法那么〞〔1〕用平行四邊形法那么時(shí)，兩個(gè)向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量?！?〕三角形法那么的特點(diǎn)是“首尾相接〞，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法那么；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法那么。向量加法的三角形法那么可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連〞?！?〕向量的減法①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有：〔i〕=；(ii)+()=()+=；(iii)假設(shè)、是互為相反向量，那么=,=,+=。②向量減法向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。③作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量〔、有共同起點(diǎn)〕?！?〕實(shí)數(shù)與向量的積①實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的。②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。3．兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。4．平面向量的根本定理如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。5．平面向量的坐標(biāo)表示〔1〕相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；〔2〕向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)系?！?〕平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：①假設(shè)，那么；②假設(shè)，那么；③假設(shè)=(x,y)，那么=(x,y)；④假設(shè)，那么。向量的數(shù)量積〔1〕兩個(gè)非零向量的夾角非零向量a與a，作＝，＝，那么∠AＯA＝θ〔０≤θ≤π〕叫與的夾角；說明：〔1〕當(dāng)θ＝０時(shí)，與同向；〔2〕當(dāng)θ＝π時(shí)，與反向；〔3〕當(dāng)θ＝時(shí)，與垂直，記⊥；〔4〕注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0≤≤180。CC〔2〕數(shù)量積的概念兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，那么·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積〔或內(nèi)積〕。規(guī)定；向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；〔3〕數(shù)量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積。〔4〕向量數(shù)量積的性質(zhì)；③平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律④向量的夾角：cos==。當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題?！?〕兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算兩個(gè)向量，那么·=?！?〕垂直：如果與的夾角為900那么稱與垂直，記作⊥。兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。〔7〕平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，那么或。如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。例一如圖1－2，正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()圖1－2A．0B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(CF,\s\up6(→))【解析】eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))，所以選D.練習(xí)1如圖正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．0B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(CF,\s\up6(→))例二向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．假設(shè)a－2b與c共線，那么k＝________.【解析】因?yàn)閍－2b＝(eq\r(3)，3)，由a－2b與c共線，有eq\f(k,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，可得k＝1.練習(xí)1向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．假設(shè)a－2b與c共線，那么k＝________________________________________________________________________.2課標(biāo)文數(shù)3.F2[2023·廣東卷]向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．假設(shè)λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，那么λ＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．23課標(biāo)文數(shù)13.F2[2023·湖南卷]設(shè)向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，那么a的坐標(biāo)為________．例3設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，假設(shè)eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，那么稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2，平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，那么下面說法正確的是()A．C可能是線段AB的中點(diǎn)B．D可能是線段AB的中點(diǎn)C．C、D可能同時(shí)在線段AB上D．C、D不可能同時(shí)在線段AB的延長線上[來源:Zxxk.Com]【解析】假設(shè)C、D調(diào)和分割點(diǎn)A；B，那么eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.對于A：假設(shè)C是線段AB的中點(diǎn)，那么eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))?λ＝eq\f(1,2)?eq\f(1,μ)＝0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；同理B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C：假設(shè)C、A同時(shí)在線段AB上，那么0<λ<1,0<μ<1?eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)>2，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D：假設(shè)C、D同時(shí)在線段AB的延長線上，那么λ>1，μ>1?eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)<2，故C、D不可能同時(shí)在線段AB的延長線上，D選項(xiàng)正確．練習(xí)1課標(biāo)文數(shù)12.F2[2023·山東卷]設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，假設(shè)eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，那么稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2，點(diǎn)C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0)，B(1,0)，那么下面說法正確的是()A．C可能是線段AB的中點(diǎn)B．D可能是線段AB的中點(diǎn)C．C、D可能同時(shí)在線段AB上D．C、D不可能同時(shí)在線段AB的延長線上2課標(biāo)理數(shù)14.F2[2023·天津卷]直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，那么|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為________．圖1－73課標(biāo)文數(shù)14.F2[2023·天津卷]直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，那么|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為________．4課標(biāo)理數(shù)14.F2[2023·浙江卷]假設(shè)平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq\f(1,2)，那么α與β的夾角θ的取值范圍是________．5課標(biāo)文數(shù)15.F2[2023·浙江卷]假設(shè)平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq\f(1,2)，那么α和β的夾角θ的取值范圍是________．6課標(biāo)文數(shù)向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，那么a與b的夾角為________．7課標(biāo)理數(shù)13.F3[2023·安徽卷]向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，那么a與b的夾角為________．8大綱文數(shù)3.F3[2023·全國卷]設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，那么|a＋2b|＝()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(7)例5課標(biāo)理數(shù)8.E5，F(xiàn)3[2023·福建卷]O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1,1)，假設(shè)點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖1－2)，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝－x＋y，取目標(biāo)函數(shù)z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率為1的一組平行線，圖1－2當(dāng)它經(jīng)過點(diǎn)C(1,1)時(shí)，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；當(dāng)它經(jīng)過點(diǎn)B(0,2)時(shí)，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.∴z的取值范圍是[0,2]，即eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范圍是[0,2]，應(yīng)選C.練習(xí)1課標(biāo)文數(shù)13.F3[2023·福建卷]假設(shè)向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，那么a·b等于________．2標(biāo)理數(shù)3.F3[2023·廣東卷]假設(shè)向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，那么c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．03課標(biāo)文數(shù)2.F3[2023·湖北卷]假設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，那么2a＋b與a－b的夾角等于()[來源:學(xué)§科§網(wǎng)]A．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)4課標(biāo)理數(shù)14.F3[2023·湖南卷]在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，那么eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝________.所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),6)＝－eq\f(1,4).5課標(biāo)理數(shù)11.F3[2023·江西卷]|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，那么a與b的夾角為________．6課標(biāo)文數(shù)11.F3[2023·江西卷]兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，假設(shè)向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，那么b1·b2＝________.例六a與b均為單位向量，其夾角為θ，有以下四個(gè)命題：p1：|a＋b|＞1?θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))；p2：|a＋b|＞1?θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))p3：|a－b|＞1?θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))；p4：|a－b|＞1?θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).其中的真命題是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4【解析】因?yàn)閑q\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))>1?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2＋2a·b＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2>1?a·b>－eq\f(1,2)?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cosθ＝cosθ>－eq\f(1,2)?θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以p1為真命題，p2為假命題．又因?yàn)閑q\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))>1?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2－2a·b＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2>1?a·b<eq\f(1,2)?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cosθ＝cosθ<eq\f(1,2)?θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，所以p4為真命題，p3為假命題．練習(xí)1課標(biāo)理數(shù)10.F3[2023·遼寧卷]假設(shè)a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，那么|a＋b－c|的最大值為()A.eq\r(2)－1B．1C.eq\r(2)D．22課標(biāo)文數(shù)3.F3[2023·遼寧卷]向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，那么k＝()A．－12B．－6C．6D．123課標(biāo)文數(shù)13.F3[2023·課標(biāo)全國卷]a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，假設(shè)向量a＋b與向量ka－b垂直，那么k＝________.4課標(biāo)數(shù)學(xué)10.F3[2023·江蘇卷]e1，e2是夾角為eq\f(2π,3)的兩個(gè)單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2,假設(shè)a·b＝0，那么實(shí)數(shù)k的值為________．5大綱理數(shù)12.F3[2023·重慶卷]單位向量e1，e2的夾角為60°，那么|2e1－e2|＝________.6大綱文數(shù)5.F3[2023·重慶卷]向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b與a共線，那么a·b的值為()A．1B．2C．3D．47大綱理數(shù)12.F4[2023·全國卷]設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，〈a－c，b－c〉＝60°，那么|c|的最大值等于()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．18[2023·北京海淀一模]在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up