最新高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修4之平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納一.向量的根本概念與根本運(yùn)算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比擬大小，但向量的?？梢员葦M大?。诹阆蛄浚洪L(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行③單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量④平行向量〔共線向量〕：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量2、向量加法：設(shè)，那么+==〔1〕；〔2〕向量加法滿(mǎn)足交換律與結(jié)合律；，但這時(shí)必須“首尾相連〞．3、向量的減法：①相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，③作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量〔、有共同起點(diǎn)〕4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的5、兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=6、平面向量的根本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底二.平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量可表示成，記作=(x,y)。2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：假設(shè)，那么假設(shè)，那么假設(shè)=(x,y)，那么=(x,y)假設(shè)，那么假設(shè)，那么假設(shè)，那么三．平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，那么·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積〔或內(nèi)積〕規(guī)定2向量的投影：︱︱cos=∈R，稱(chēng)為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱(chēng)為射影3數(shù)量積的幾何意義：·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立：；(第1題(第1題)①交換律成立：②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：③分配律成立：特別注意：〔1〕結(jié)合律不成立：；〔2〕消去律不成立不能得到〔3〕=0不能得到=或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：兩個(gè)向量，那么·=8向量的夾角：兩個(gè)非零向量與，作=,=,那么∠AOB=〔〕叫做向量與的夾角cos==當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題9垂直：如果與的夾角為900那么稱(chēng)與垂直，記作⊥10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O平面向量數(shù)量積的性質(zhì)一、選擇題1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，那么()．A．與共線B．與共線C．與相等D．與相等2．以下命題正確的是()．A．向量與是兩平行向量B．假設(shè)a，b都是單位向量，那么a＝bC．假設(shè)＝，那么A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形D．兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同3．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)A(3，1)，B(－1，3)，假設(shè)點(diǎn)C滿(mǎn)足＝＋，其中，∈R，且＋＝1，那么點(diǎn)C的軌跡方程為()．A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝04．a(chǎn)、b是非零向量且滿(mǎn)足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，那么a與b的夾角是A．B．C．D．5．四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn)A，C)，那么＝A．λ(＋)，λ∈(0，1)B．λ(＋)，λ∈(0，)C．λ(－)，λ∈(0，1)D．λ(－)，λ∈(0，)6．△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)，那么＝()．A．＋B．－C．＋D．＋7．假設(shè)平面向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，那么向量a的模為()．A．2B．4 C．6D．8．點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足·＝·＝·，那么點(diǎn)O是△ABC的()．A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn)D．三條高的交點(diǎn)9．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，那么四邊形ABCD為()．A．平行四邊形B．矩形C．梯形D．菱形(第10題)10．如圖，梯形ABCD中，||＝||，∥∥那么相等向量是()．(第10題)A．與 B．與C．與 D．與二、填空題11．向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，那么k＝．12．向量a＝(x＋3，x2－3x－4)與相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，那么x＝．13．平面上三點(diǎn)A，B，C滿(mǎn)足||＝3，||＝4，||＝5，那么·＋·＋·的值等于．14．給定兩個(gè)向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，那么實(shí)數(shù)m等于．15．A，B，C三點(diǎn)不共線，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，假設(shè)＋＋＝0，那么O是△ABC的．16．設(shè)平面內(nèi)有四邊形ABCD和點(diǎn)O，＝a，＝b，＝c,＝d，假設(shè)a＋c＝b＋d，那么四邊形ABCD的形狀是．三、解答題17．點(diǎn)A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，假設(shè)點(diǎn)P滿(mǎn)足＝＋λ(λ∈R)，試求λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在第三象限內(nèi)？(第18題)18．如圖，△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于(第18題)19．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE(利用向量證明)．((第19題)20．向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，那么|2a－b|的最大值．一、選擇題(第1題(第1題)解析：如圖，與，與不平行，與共線反向．2．A解析：兩個(gè)單位向量可能方向不同，故B不對(duì)．假設(shè)＝，可能A，B，C，D四點(diǎn)共線，故C不對(duì)．兩向量相等的充要條件是大小相等，方向相同，故D也不對(duì)．3．D解析：提示：設(shè)＝(x，y)，＝(3，1)，＝(－1，3)，＝(3，)，＝(－，3)，又＋＝(3－，＋3)，∴(x，y)＝(3－，＋3)，∴，又＋＝1，由此得到答案為D．4．B解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a∴a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cosθ＝2|a|2cosθ．解得cosθ＝．∴a與b的夾角是．5．A解析：由平行四邊形法那么，＋＝，又＋＝，由λ的范圍和向量數(shù)乘的長(zhǎng)度，λ∈(0，1)．6．D解析：如圖，∵＝，∴＝＋＝＋．7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由·＝·＝·，得·＝·,即·(－)＝0，故·＝0，⊥，同理可證⊥，∴O是△ABC的三條高的交點(diǎn)．9．C解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠|(zhì)|．∴四邊形ABCD為梯形．10．D解析：與，與，與方向都不相同，不是相等向量．二、填空題11．－．解析：A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于，共線，＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，＝－＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，又A，B，C三點(diǎn)共線，D(第13題)∴5(4－k)＝－7(－k－4)D(第13題)12．－1．解析：∵M(jìn)(－1，3)，N(1，3)，∴＝(2，0)，又a＝，∴解得∴x＝－1．13．－25．解析：思路1：∵＝3，＝4，＝5，∴△ABC為直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0，∴·＋·＋·＝·＋·＝·(＋)＝－()2＝－＝－25．思路2：∵＝3，＝4，＝5，∴∠ABC＝90°，∴cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝．根據(jù)數(shù)積定義，結(jié)合圖(右圖)知·＝0，·＝·cos∠ACE＝4×5×(－)＝－16，·＝·cos∠BAD＝3×5×(－)＝－9．∴·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．．解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)(第15題)∵(a＋mb)⊥(a(第15題)∴(a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝15．答案：重心．解析：如圖，以，為鄰邊作□AOCF交AC于點(diǎn)E，那么＝＋，又＋＝－，∴＝2＝－．O是△ABC的重心．16．答案：平行四邊形．解析：∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，∴＝．∴四邊形ABCD為平行四邊形．三、解答題17．λ＜－1．解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，那么＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)(第18題)＝(3＋5λ，１＋(第18題)∵＝＋λ，∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴即要使點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，只需解得λ＜－1．18．＝(，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又D是BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝(－，－4)．又M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴F是AD的中點(diǎn)，∴＝－＝－＝－(－，－4)＝(，2)．19．證明：設(shè)＝a，＝b，那么＝a＋b，＝b－a．∴·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＋a·b．(第19題)又⊥，且＝，∴a2＝b2，a·b＝0．(第19題)∴·＝0，∴⊥．此題也可以建平面直角坐標(biāo)系后進(jìn)行證明．20．分析：思路1：2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(