數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制 第14章 冪級數(shù)

§1

冪級數(shù)

一般項為冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),這是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù).冪級數(shù)在級數(shù)理論中有著特殊的地位,在函數(shù)逼近和近似計算中有重要應(yīng)用,特別是函數(shù)的冪級數(shù)展開為研究非初等函數(shù)提供了有力的工具.

三、冪級數(shù)的運算一、冪級數(shù)的收斂區(qū)間二、冪級數(shù)的性質(zhì)

§1冪級數(shù)一般項為冪函數(shù)冪級數(shù)系數(shù)

一、冪級數(shù)的收斂區(qū)間冪級數(shù)系數(shù)一、冪級數(shù)的收斂區(qū)間2.冪級數(shù)的收斂點與收斂域2.冪級數(shù)的收斂點與收斂域因此級數(shù)斂散性的問題對于函數(shù)項級數(shù)或冪級數(shù)而言，正確的提法是區(qū)間上的那些點使級數(shù)收斂，那些點使級數(shù)發(fā)散？因此級數(shù)斂散性的問題對于函數(shù)項級數(shù)或冪級數(shù)而言，正確的提法是證明證明數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級數(shù)由(1)結(jié)論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域由(1)結(jié)論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域由定理14.1知道由定理14.1知道定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?收斂域是稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.開區(qū)間定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收定理14.2

對于冪級數(shù)(2),

若則當(dāng)證

定理14.2對于冪級數(shù)(2),若則當(dāng)證根據(jù)級數(shù)的根式判別法,當(dāng)時,級數(shù)

收斂.當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.于是(i)當(dāng)時,由得冪級數(shù)(2)收斂半

徑(ii)

所以(iii)根據(jù)級數(shù)的根式判別法,當(dāng)時,級數(shù)收斂.當(dāng)時,級證明證明由比值審斂法,由比值審斂法,數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級數(shù)例1

求下列冪級數(shù)的收斂域:解該級數(shù)收斂;該級數(shù)發(fā)散;例1求下列冪級數(shù)的收斂域:解該級數(shù)收斂;該級數(shù)發(fā)散;數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級數(shù)例1

所以其收斂半徑,即收斂區(qū)間為;而當(dāng)

所以級數(shù)

于是級數(shù)的收斂域為例1所以其收斂半徑,即收斂區(qū)間為;而當(dāng)所以級數(shù)因此冪級數(shù)(4)的收斂區(qū)間是.但級數(shù)(4)當(dāng)

時發(fā)散,時收斂,從而得到級數(shù)(4)的收

斂域是半開區(qū)間.照此方法,容易驗證級數(shù)的收斂半徑分別為與.例2設(shè)有級數(shù)由于因此冪級數(shù)(4)的收斂區(qū)間是.但級數(shù)(4)當(dāng)時發(fā)散解缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,解缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域為級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域為解解發(fā)散收斂故收斂域為(0,1].解發(fā)散收斂故收斂域為(0,1].解例5

級數(shù)由于所以級數(shù)(6)的收斂半徑,從而級數(shù)(6)的收斂

區(qū)間為即例5級數(shù)由于所以級數(shù)(6)的收斂半徑,從而當(dāng)

x=3時,級數(shù)(6)為發(fā)散級數(shù)于是級數(shù)(6)的收斂域為

當(dāng)時,級數(shù)(6)為

收斂級數(shù)例5

級數(shù)當(dāng)x=3時,級數(shù)(6)為發(fā)散級數(shù)于是級數(shù)(6)的收下面討論冪級數(shù)(2)定理14.4

若冪級數(shù)(2)的收斂半徑為,則在它

的收斂區(qū)間內(nèi)任一閉區(qū)間上,級數(shù)(2)都一致收斂.證

任一點x,

都有由于級數(shù)(2)在點絕對收斂,由優(yōu)級數(shù)判別法得級

數(shù)(2)在上一致收斂.的一致收斂性問題.下面討論冪級數(shù)定理14.5

若冪級數(shù)(2)的收斂半徑為,且在

(或)時收斂,則級數(shù)(2)在(或

)上一致收斂.證設(shè)級數(shù)(2)在時收斂,對于有遞減且一致有界,即故由函數(shù)項級數(shù)的阿貝耳判別法,級數(shù)(2)在上一致收斂.定理14.5若冪級數(shù)(2)的收斂半徑為,且在(二、冪級數(shù)的性質(zhì)根據(jù)一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)即可以得到冪級數(shù)的一系列性質(zhì).定理14.6(i)冪級數(shù)(2)的和函數(shù)是內(nèi)的連續(xù)

函數(shù);(ii)若冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間的左(右)端點上收斂,

則其和函數(shù)也在這一端點上右(左)連續(xù).在討論冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)與逐項求積之前,

先來確定冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項求導(dǎo)與逐項

二、冪級數(shù)的性質(zhì)根據(jù)一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)即可以得到冪級數(shù)求積后得到的冪級數(shù)與的收斂區(qū)間.定理14.7

冪級數(shù)(2)與冪級數(shù)(7)、(8)具有相同的收斂區(qū)間.證

這里只要證明(2)與(7)具有相同的收斂區(qū)間就可以了,

因為對(8)逐項求導(dǎo)就得到(2).求積后得到的冪級數(shù)與的收斂區(qū)間.定理14.7冪級數(shù)(2)首先證明冪級數(shù)(7)在冪級數(shù)(2)收斂區(qū)間中

每一點都收斂.設(shè),由阿貝耳定理(定理14.1)的

證明知道,

存在正數(shù)M與

r(r<1),

對一切正整數(shù)

n,

都有于是首先證明冪級數(shù)(7)在冪級數(shù)(2)收斂區(qū)間中每一點都收斂.

由級數(shù)的比

較原則及上述不等式,就推出冪級數(shù)(7)在點絕對

收斂(當(dāng)然也是收斂的!).由于為中任一點,這就證明了冪級數(shù)(7)在上收斂.其次證明冪級數(shù)(7)對一切滿足不等式的x都

不收斂.由級數(shù)的比較原則及上述不等式,就推出冪級數(shù)(7)在點絕

冪級數(shù)(7)在

根據(jù)比較原則得冪級數(shù)(2)在處絕對收斂.這與所設(shè)冪級數(shù)(2)的收斂區(qū)間為相矛盾.于是冪級數(shù)(7)的收斂區(qū)間也是如若不然,冪級數(shù)(7)在點收斂,則存在冪級數(shù)(7)在根據(jù)比較原則得冪級數(shù)(2)在處絕對收斂.定理14.8

設(shè)冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函

數(shù)為f,若x為內(nèi)任意一點,則(i)f在

x可導(dǎo),

且(ii)f在區(qū)間上可積,且定理14.8設(shè)冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)為f,使得|x|<r<R,根據(jù)定理14.4,級數(shù)(2),(7)在[-r,r]上一致收斂.再由第十三章§2的逐項求導(dǎo)與逐項求積定理,

就得到所要證明的結(jié)論(i)與(ii).注由本定理立即可以得到冪級數(shù)在其收斂區(qū)間上可以逐項求導(dǎo)和逐項求積.徑R.因此,對任意一個

,

總存在正數(shù)

r,證由定理14.7,級數(shù)(2),(7),(8)具有相同的收斂半使得|x|<r<R,根據(jù)定理14.4,級數(shù)(2)推論1

設(shè)f為冪級數(shù)(2)

在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則在上f具有任意階導(dǎo)數(shù),且

可任意次逐項求導(dǎo),即推論1設(shè)f為冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則在推論2

設(shè)f為冪級數(shù)(2)在某鄰域內(nèi)的和函數(shù),則級數(shù)(2)的系數(shù)與f在處的各

階導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:注

推論2還表明,若級數(shù)(2)在上有和函數(shù)

f,則級數(shù)(2)由f在處的各階導(dǎo)數(shù)所惟一確定.這是一個非常重要的結(jié)論,在后面討論冪級數(shù)展開時要用到.推論2設(shè)f為冪級數(shù)(2)在某鄰域內(nèi)的和函數(shù),則級數(shù)三、冪級數(shù)的運算定理14.9

若冪級數(shù)與在的某鄰域內(nèi)有相同的和函數(shù),則它們同次冪項的系數(shù)相等,即這個定理的結(jié)論可直接由定理14.8的推論2得到.三、冪級數(shù)的運算定理14.9若冪級數(shù)與在的某鄰域內(nèi)有相同的定理14.10

若冪級數(shù)與的收斂半徑

分別為Ra和Rb,則有定理的證明可由數(shù)項級數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)推出.定理14.10若冪級數(shù)與的收斂半徑分別為Ra和R例6

幾何級數(shù)在收斂域內(nèi)有對級數(shù)(10)在內(nèi)逐項求導(dǎo)得例6幾何級數(shù)在收斂域內(nèi)有對級數(shù)(10)在內(nèi)逐項求導(dǎo)得將級數(shù)(10)在上逐項求積得到所以例6

幾何級數(shù)在收斂域內(nèi)有將級數(shù)(10)在上逐項求積得到所以例6幾何級數(shù)在收斂域內(nèi)有解解解兩邊積分得顯然，級數(shù)的收斂域為（–1，1]解兩邊積分得顯然，級數(shù)的收斂域為（–1，1]數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級數(shù)解收斂區(qū)間(-1,1),解收斂區(qū)間(-1,1),例7求冪級數(shù)的和函數(shù).解

首先求出收斂域.因為,且級數(shù)與都發(fā)散,所以收斂域為.采用逐項求積法來求和函數(shù).設(shè)例7求冪級數(shù)的和函數(shù).解首先求出收斂域.因為,且級數(shù)對進行逐項積分,得對逐項積分,得對進行逐項積分,得對逐項積分,得所以所以作業(yè)P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2)作業(yè)P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2§2

函數(shù)的冪級數(shù)展開由泰勒公式知道,可以將滿足一定條件的函數(shù)表示為一個多項式與一個余項的和.如果能將一個滿足適當(dāng)條件的函數(shù)在某個區(qū)間上表示成一個冪級數(shù),就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法.返回二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、泰勒級數(shù)§2函數(shù)的冪級數(shù)展開由泰勒公式知道,可以將滿足一定一、泰勒級數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,

若函數(shù)f在點x0

的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則這里為拉格朗日型余項一、泰勒級數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,若函數(shù)f在點x由于余項是關(guān)于的高階無窮小,因此

在點附近f可用(1)式右邊的多項式來近似代替,這是泰勒公式帶來的重要結(jié)論.再進一步,設(shè)函數(shù)f在處存在任意階導(dǎo)數(shù),就

可以由函數(shù)f得到一個冪級數(shù)其中在x與x0之間,稱(1)式為f在點的泰勒公式.由于余項是關(guān)于的高階無窮小,因此在點附近f可用通常稱(3)式為f在處的泰勒級數(shù).對于級數(shù)(3)是否能在點附近確切地表達f,或者說級數(shù)(3)

在點附近的和函數(shù)是否就是f

本身,這就是本節(jié)所要著重討論的問題.請先看一個例子.例1

由于函數(shù)在處的任意階導(dǎo)數(shù)都等于0(見第六章§4第二段末尾),即通常稱(3)式為f在處的泰勒級數(shù).對于級數(shù)(因此f在的泰勒級數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù).由

此看到,對一切都有.上例說明,具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù),其泰勒級數(shù)并不都能收斂于該函數(shù)本身,哪怕在很小的一個鄰域內(nèi).那么怎樣的函數(shù),其泰勒級數(shù)才能收斂于它本身呢?因此f在的泰勒級數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù)定理14.11

設(shè)f在點具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f在

區(qū)間上等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的

充分條件是:對一切滿足不等式的,有

這里是f在點泰勒公式的余項.本定理的證明可以直接從第六章§3泰勒定理推出.如果f能在點的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函

數(shù),則稱函數(shù)f在點的這一鄰域內(nèi)可以展開成泰勒級數(shù),并稱等式定理14.11設(shè)f在點具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f的右邊為f在處的泰勒展開式,或冪級數(shù)展

開式.由級數(shù)的逐項求導(dǎo)性質(zhì)可得:若f

為冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則

就是f

在上的泰勒展開式,的右邊為f在處的泰勒展開式,或冪級數(shù)展開式.由即冪級數(shù)展開式是惟一的.在實際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的展開式,

這時(3)式就變成稱為麥克勞林級數(shù).從定理14.11知道,余項對確定函數(shù)能否展開為冪級數(shù)是極為重要的,下面我們重新寫出當(dāng)時的

即冪級數(shù)展開式是惟一的.在實際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項,以便于后面的討論.它們分別是積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項,以便于后面的討論二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例2

求k次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式.解由于二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例2求k次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.例3

求函數(shù)f(x)=ex的冪級數(shù)展開式.解

顯見即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.例3求函數(shù)f(x對任何實數(shù)x,都有對任何實數(shù)x,都有例4

所以在上可以展開為麥克勞

林級數(shù):例4所以在上可以展開為麥克勞林級數(shù):數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級數(shù)同樣可證(或用逐項求導(dǎo)),在上有例5

所以的麥克勞林級數(shù)是同樣可證(或用逐項求導(dǎo)),在上有例5所以的麥克勞林級數(shù)用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑,且

當(dāng)時收斂,時發(fā)散,故級數(shù)(5)的收斂域

是.下面討論在上它的余項的極限.當(dāng)時,對拉格朗日型余項,有用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑,且當(dāng)時收斂,當(dāng)時,因拉格朗日型余項不易估計,故改用柯西型余項.此時有當(dāng)時,因拉格朗日型余項不易估計,故改用柯西型余項.此這就證得在上

的冪級數(shù)展開式就是(5).將(5)式中x換成,就得到函數(shù)處的泰勒展開式:其收斂域為例6討論二項式函數(shù)的展開式.解

當(dāng)為正整數(shù)時,由二項式定理直接展開,就得到f的展開式,這已在前面例2中討論過.這就證得在上的冪級數(shù)展開式就是(5).將(5)式中下面討論不等于正整數(shù)時的情形,這時于是

的麥克勞林級數(shù)是運用比式法,可得(6)的收斂半徑.在內(nèi)

考察它的柯西型余項下面討論不等于正整數(shù)時的情形,這時于是的麥克勞林級數(shù)是由比式判別法,由比式判別法,于

1所以在于1所以在論如下:對于收斂區(qū)間端點的情形,與的取值有關(guān),其結(jié)論如下:對于收斂區(qū)間端點的情形,與的取值有一般來說,只有比較簡單的函數(shù),其冪級數(shù)展開式能直接從定義出發(fā),并根據(jù)定理14.11求得.

更多的情況是從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運一般來說,只有比較簡單的函數(shù),其冪級數(shù)展開式能直接從定義算或逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法,間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式.注求一個函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是確定該冪級數(shù)各項的系數(shù),根據(jù)展開式的惟一性,不管用什么方法得到的系數(shù)都是一樣的.這就是間接展開的根據(jù).例7

以與分別代入(8)與(9)式,可得算或逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法,間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開對于(10)、(11)分別逐項求積可得函數(shù)與

的展開式:-11-2-112對于(10)、(11)分別逐項求積可得函數(shù)與的展開式:-1由此可見,熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式,對求其他一些函數(shù)的冪級數(shù)展開式是非常方便和有用的,特別是例3～例7的結(jié)果,對于今后用間接方法求冪級數(shù)展開十分方便.由此可見,熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式,對求其他解利用,得處連續(xù),在處無定義,

例8

求函數(shù)在處的冪級數(shù)展開

式.解利用,得處連續(xù),在處無定義,例8求函數(shù)在處的而級數(shù)的收斂域為,所以注

嚴(yán)格地說,上式中的冪級數(shù)在

上有和函數(shù),

而只是它在上的和函數(shù).

又因為,所以而級數(shù)的收斂域為,所以注嚴(yán)格地說,上式中的用類似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函數(shù)表和對數(shù)表,但這些表是怎樣制作出來的呢?例9

計算的近似值,精確到解

可以在展開式中令,得

.這是一個交錯級數(shù),故有

用類似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函.為了誤差小于0.0001,就必須計算

級數(shù)前10000項的和,收斂得太慢.為此在(13)式中令,,代入(13)式,有估計余項:.為了誤差小于0.0001,就必須計算級數(shù)前100取,就有因此取,就有因此最后舉例說明怎樣用冪級數(shù)形式表示某些非初等函數(shù),這是冪級數(shù)特有的功能.例10

用間接方法求非初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.解以代替ex的展開式中的x,得最后舉例說明怎樣用冪級數(shù)形式表示某些非初等函數(shù),這是冪再逐項求積,就得到在上的展開式:F(x)用上述級數(shù)的部分和逐項逼近的過程,示于下圖:再逐項求積,就得到在上的展開式:F(x)用上述級數(shù)的-2-112O-1-0.50.51-2-112O-1-0.50.51復(fù)習(xí)思考題1.設(shè)冪級數(shù)在的和函數(shù)為,問

在處的冪級數(shù)展開式是什么?2.設(shè)函數(shù)在上的冪級數(shù)展開式為若上式右邊的冪級數(shù)在(或)收斂,能否

得出上式在(或)成立?(結(jié)合例8進行討

論)復(fù)習(xí)思考題1.設(shè)冪級數(shù)在的和函數(shù)為,問在處的冪級數(shù)§1

冪級數(shù)

一般項為冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),這是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù).冪級數(shù)在級數(shù)理論中有著特殊的地位,在函數(shù)逼近和近似計算中有重要應(yīng)用,特別是函數(shù)的冪級數(shù)展開為研究非初等函數(shù)提供了有力的工具.

三、冪級數(shù)的運算一、冪級數(shù)的收斂區(qū)間二、冪級數(shù)的性質(zhì)

§1冪級數(shù)一般項為冪函數(shù)冪級數(shù)系數(shù)

一、冪級數(shù)的收斂區(qū)間冪級數(shù)系數(shù)一、冪級數(shù)的收斂區(qū)間2.冪級數(shù)的收斂點與收斂域2.冪級數(shù)的收斂點與收斂域因此級數(shù)斂散性的問題對于函數(shù)項級數(shù)或冪級數(shù)而言，正確的提法是區(qū)間上的那些點使級數(shù)收斂，那些點使級數(shù)發(fā)散？因此級數(shù)斂散性的問題對于函數(shù)項級數(shù)或冪級數(shù)而言，正確的提法是證明證明數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級數(shù)由(1)結(jié)論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域由(1)結(jié)論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域由定理14.1知道由定理14.1知道定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?收斂域是稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.開區(qū)間定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收定理14.2

對于冪級數(shù)(2),

若則當(dāng)證

定理14.2對于冪級數(shù)(2),若則當(dāng)證根據(jù)級數(shù)的根式判別法,當(dāng)時,級數(shù)

收斂.當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.于是(i)當(dāng)時,由得冪級數(shù)(2)收斂半

徑(ii)

所以(iii)根據(jù)級數(shù)的根式判別法,當(dāng)時,級數(shù)收斂.當(dāng)時,級證明證明由比值審斂法,由比值審斂法,數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級數(shù)例1

求下列冪級數(shù)的收斂域:解該級數(shù)收斂;該級數(shù)發(fā)散;例1求下列冪級數(shù)的收斂域:解該級數(shù)收斂;該級數(shù)發(fā)散;數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級數(shù)例1

所以其收斂半徑,即收斂區(qū)間為;而當(dāng)

所以級數(shù)

于是級數(shù)的收斂域為例1所以其收斂半徑,即收斂區(qū)間為;而當(dāng)所以級數(shù)因此冪級數(shù)(4)的收斂區(qū)間是.但級數(shù)(4)當(dāng)

時發(fā)散,時收斂,從而得到級數(shù)(4)的收

斂域是半開區(qū)間.照此方法,容易驗證級數(shù)的收斂半徑分別為與.例2設(shè)有級數(shù)由于因此冪級數(shù)(4)的收斂區(qū)間是.但級數(shù)(4)當(dāng)時發(fā)散解缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,解缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域為級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域為解解發(fā)散收斂故收斂域為(0,1].解發(fā)散收斂故收斂域為(0,1].解例5

級數(shù)由于所以級數(shù)(6)的收斂半徑,從而級數(shù)(6)的收斂

區(qū)間為即例5級數(shù)由于所以級數(shù)(6)的收斂半徑,從而當(dāng)

x=3時,級數(shù)(6)為發(fā)散級數(shù)于是級數(shù)(6)的收斂域為

當(dāng)時,級數(shù)(6)為

收斂級數(shù)例5

級數(shù)當(dāng)x=3時,級數(shù)(6)為發(fā)散級數(shù)于是級數(shù)(6)的收下面討論冪級數(shù)(2)定理14.4

若冪級數(shù)(2)的收斂半徑為,則在它

的收斂區(qū)間內(nèi)任一閉區(qū)間上,級數(shù)(2)都一致收斂.證

任一點x,

都有由于級數(shù)(2)在點絕對收斂,由優(yōu)級數(shù)判別法得級

數(shù)(2)在上一致收斂.的一致收斂性問題.下面討論冪級數(shù)定理14.5

若冪級數(shù)(2)的收斂半徑為,且在

(或)時收斂,則級數(shù)(2)在(或

)上一致收斂.證設(shè)級數(shù)(2)在時收斂,對于有遞減且一致有界,即故由函數(shù)項級數(shù)的阿貝耳判別法,級數(shù)(2)在上一致收斂.定理14.5若冪級數(shù)(2)的收斂半徑為,且在(二、冪級數(shù)的性質(zhì)根據(jù)一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)即可以得到冪級數(shù)的一系列性質(zhì).定理14.6(i)冪級數(shù)(2)的和函數(shù)是內(nèi)的連續(xù)

函數(shù);(ii)若冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間的左(右)端點上收斂,

則其和函數(shù)也在這一端點上右(左)連續(xù).在討論冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)與逐項求積之前,

先來確定冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項求導(dǎo)與逐項

二、冪級數(shù)的性質(zhì)根據(jù)一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)即可以得到冪級數(shù)求積后得到的冪級數(shù)與的收斂區(qū)間.定理14.7

冪級數(shù)(2)與冪級數(shù)(7)、(8)具有相同的收斂區(qū)間.證

這里只要證明(2)與(7)具有相同的收斂區(qū)間就可以了,

因為對(8)逐項求導(dǎo)就得到(2).求積后得到的冪級數(shù)與的收斂區(qū)間.定理14.7冪級數(shù)(2)首先證明冪級數(shù)(7)在冪級數(shù)(2)收斂區(qū)間中

每一點都收斂.設(shè),由阿貝耳定理(定理14.1)的

證明知道,

存在正數(shù)M與

r(r<1),

對一切正整數(shù)

n,

都有于是首先證明冪級數(shù)(7)在冪級數(shù)(2)收斂區(qū)間中每一點都收斂.

由級數(shù)的比

較原則及上述不等式,就推出冪級數(shù)(7)在點絕對

收斂(當(dāng)然也是收斂的!).由于為中任一點,這就證明了冪級數(shù)(7)在上收斂.其次證明冪級數(shù)(7)對一切滿足不等式的x都

不收斂.由級數(shù)的比較原則及上述不等式,就推出冪級數(shù)(7)在點絕

冪級數(shù)(7)在

根據(jù)比較原則得冪級數(shù)(2)在處絕對收斂.這與所設(shè)冪級數(shù)(2)的收斂區(qū)間為相矛盾.于是冪級數(shù)(7)的收斂區(qū)間也是如若不然,冪級數(shù)(7)在點收斂,則存在冪級數(shù)(7)在根據(jù)比較原則得冪級數(shù)(2)在處絕對收斂.定理14.8

設(shè)冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函

數(shù)為f,若x為內(nèi)任意一點,則(i)f在

x可導(dǎo),

且(ii)f在區(qū)間上可積,且定理14.8設(shè)冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)為f,使得|x|<r<R,根據(jù)定理14.4,級數(shù)(2),(7)在[-r,r]上一致收斂.再由第十三章§2的逐項求導(dǎo)與逐項求積定理,

就得到所要證明的結(jié)論(i)與(ii).注由本定理立即可以得到冪級數(shù)在其收斂區(qū)間上可以逐項求導(dǎo)和逐項求積.徑R.因此,對任意一個

,

總存在正數(shù)

r,證由定理14.7,級數(shù)(2),(7),(8)具有相同的收斂半使得|x|<r<R,根據(jù)定理14.4,級數(shù)(2)推論1

設(shè)f為冪級數(shù)(2)

在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則在上f具有任意階導(dǎo)數(shù),且

可任意次逐項求導(dǎo),即推論1設(shè)f為冪級數(shù)(2)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則在推論2

設(shè)f為冪級數(shù)(2)在某鄰域內(nèi)的和函數(shù),則級數(shù)(2)的系數(shù)與f在處的各

階導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:注

推論2還表明,若級數(shù)(2)在上有和函數(shù)

f,則級數(shù)(2)由f在處的各階導(dǎo)數(shù)所惟一確定.這是一個非常重要的結(jié)論,在后面討論冪級數(shù)展開時要用到.推論2設(shè)f為冪級數(shù)(2)在某鄰域內(nèi)的和函數(shù),則級數(shù)三、冪級數(shù)的運算定理14.9

若冪級數(shù)與在的某鄰域內(nèi)有相同的和函數(shù),則它們同次冪項的系數(shù)相等,即這個定理的結(jié)論可直接由定理14.8的推論2得到.三、冪級數(shù)的運算定理14.9若冪級數(shù)與在的某鄰域內(nèi)有相同的定理14.10

若冪級數(shù)與的收斂半徑

分別為Ra和Rb,則有定理的證明可由數(shù)項級數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)推出.定理14.10若冪級數(shù)與的收斂半徑分別為Ra和R例6

幾何級數(shù)在收斂域內(nèi)有對級數(shù)(10)在內(nèi)逐項求導(dǎo)得例6幾何級數(shù)在收斂域內(nèi)有對級數(shù)(10)在內(nèi)逐項求導(dǎo)得將級數(shù)(10)在上逐項求積得到所以例6

幾何級數(shù)在收斂域內(nèi)有將級數(shù)(10)在上逐項求積得到所以例6幾何級數(shù)在收斂域內(nèi)有解解解兩邊積分得顯然，級數(shù)的收斂域為（–1，1]解兩邊積分得顯然，級數(shù)的收斂域為（–1，1]數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級數(shù)解收斂區(qū)間(-1,1),解收斂區(qū)間(-1,1),例7求冪級數(shù)的和函數(shù).解

首先求出收斂域.因為,且級數(shù)與都發(fā)散,所以收斂域為.采用逐項求積法來求和函數(shù).設(shè)例7求冪級數(shù)的和函數(shù).解首先求出收斂域.因為,且級數(shù)對進行逐項積分,得對逐項積分,得對進行逐項積分,得對逐項積分,得所以所以作業(yè)P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2)作業(yè)P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2§2

函數(shù)的冪級數(shù)展開由泰勒公式知道,可以將滿足一定條件的函數(shù)表示為一個多項式與一個余項的和.如果能將一個滿足適當(dāng)條件的函數(shù)在某個區(qū)間上表示成一個冪級數(shù),就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法.返回二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、泰勒級數(shù)§2函數(shù)的冪級數(shù)展開由泰勒公式知道,可以將滿足一定一、泰勒級數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,

若函數(shù)f在點x0

的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則這里為拉格朗日型余項一、泰勒級數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,若函數(shù)f在點x由于余項是關(guān)于的高階無窮小,因此

在點附近f可用(1)式右邊的多項式來近似代替,這是泰勒公式帶來的重要結(jié)論.再進一步,設(shè)函數(shù)f在處存在任意階導(dǎo)數(shù),就

可以由函數(shù)f得到一個冪級數(shù)其中在x與x0之間,稱(1)式為f在點的泰勒公式.由于余項是關(guān)于的高階無窮小,因此在點附近f可用通常稱(3)式為f在處的泰勒級數(shù).對于級數(shù)(3)是否能在點附近確切地表達f,或者說級數(shù)(3)

在點附近的和函數(shù)是否就是f

本身,這就是本節(jié)所要著重討論的問題.請先看一個例子.例1

由于函數(shù)在處的任意階導(dǎo)數(shù)都等于0(見第六章§4第二段末尾),即通常稱(3)式為f在處的泰勒級數(shù).對于級數(shù)(因此f在的泰勒級數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù).由

此看到,對一切都有.上例說明,具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù),其泰勒級數(shù)并不都能收斂于該函數(shù)本身,哪怕在很小的一個鄰域內(nèi).那么怎樣的函數(shù),其泰勒級數(shù)才能收斂于它本身呢?因此f在的泰勒級數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù)定理14.11

設(shè)f在點具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f在

區(qū)間上等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的

充分條件是:對一切滿足不等式的,有

這里是f在點泰勒公式的余項.本定理的證明可以直接從第六章§3泰勒定理推出.如果f能在點的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函

數(shù),則稱函數(shù)f在點的這一鄰域內(nèi)可以展開成泰勒級數(shù),并稱等式定理14.11設(shè)f在點具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f的右邊為f在處的泰勒展開式,或冪級數(shù)展

開式.由級數(shù)的逐項求導(dǎo)性質(zhì)可得:若f

為冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則

就是f

在上的泰勒展開式,的右邊為f在處的泰勒展開式,或冪級數(shù)展開式.由即冪級數(shù)展開式是惟一的.在實際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的展開式,

這時(3)式就變成稱為麥克勞林級數(shù).從定理14.11知道,余項對確定函數(shù)能否展開為冪級數(shù)是極為重要的,下面我們重新寫出當(dāng)時的

即冪級數(shù)展開式是惟一的.在實際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項,以便于后面的討論.它們分別是積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項,以便于后面的討論二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例2

求k次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式.解由于二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例2求k次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.例3

求函數(shù)f(x)=ex的冪級數(shù)展開式.解

顯見即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.例3求函數(shù)f(x對任何實數(shù)x,都有對任何實數(shù)x,都有例4

所以在上可以展開為麥克勞

林級數(shù):例4所以在上可以展開為麥克勞林級數(shù):數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制第14章冪級數(shù)同樣可證(或用逐項求導(dǎo)),在上有例5

所以的麥克勞林級數(shù)是同樣可證(或用逐項求導(dǎo)),在上有例5所以的麥克勞林級數(shù)用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑,且

當(dāng)時收斂,時發(fā)散,故級數(shù)(5)的收斂域

是.下面討論在上它的余項的極限.當(dāng)時,對拉格朗日型余項,有用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑,且當(dāng)時收斂,當(dāng)時,因拉格朗日型余項不易估計,故改用柯西型余項.此時有當(dāng)時,因拉格朗日型余項不易估計,故改用柯西型余項.此這就證得在上

的冪級數(shù)展開式就是(5).將(5)式中x換成,就得到函數(shù)處的泰勒展開式:其收斂域為例6討論二項式函數(shù)的展開式.解

當(dāng)為正整數(shù)時,由二項式定理直接展開,就得到f的展開式,這已在前面例2中討論過.這就證得在上的冪級數(shù)展開式就是(5).將(5)式中下面討論不等于正整數(shù)時的情形,這時于是

的麥克勞林級數(shù)是運用比式法,可得(6)的收斂半徑.在內(nèi)

考察它的柯西型余項下面討論不等于正整數(shù)時的情形