多元函數(shù)微積分復(fù)習(xí)試題

多元函數(shù)微積分復(fù)習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題1．函數(shù)fx,y在點(diǎn)x0,y0處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的(B)(A)充分而不用要條件;(B)必需而不充分條件;(C)必需并且充分條件;(D)既不用要也不充分條件.2．設(shè)函數(shù)fx,y在點(diǎn)x0,y0處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可偏導(dǎo)的（D)(A)充分而不用要條件;(B)必需而不充分條件;(C)必需并且充分條件;(D)既不用要也不充分條件.3．函數(shù)fx,y在點(diǎn)x0,y0處偏導(dǎo)數(shù)存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的(B).(A)充分而不用要條件;(B)必需而不充分條件;(C)必需并且充分條件;(D)既不用要也不充分條件.4．關(guān)于二元函數(shù)zf(x,y),以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(C).A.若limA,則必有l(wèi)imf(x,y)A且有l(wèi)imf(x,y)A;xx0xxyyyy0B.若在(x0,y0)處z和z都存在,則在點(diǎn)(x0,y0)處zf(x,y)可微;xyC.若在(x0,y0)處z和z存在且連續(xù),則在點(diǎn)(x0,y0)處zf(x,y)可微;xyD.若2z和2z都存在,則.2z2z.x2y2x2y25．二元函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處知足關(guān)系(C).可微(指全微分存在)可導(dǎo)(指偏導(dǎo)數(shù)存在)連續(xù);可微可導(dǎo)連續(xù);可微可導(dǎo),或可微連續(xù),但可導(dǎo)不必定連續(xù);可導(dǎo)連續(xù),但可導(dǎo)不必定可微.rr1,2,1rr（A）6.向量a3,1,2,b，則agb(A)3(B)3(C)2(D)25．已知三點(diǎn)M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2），則MA?AB=（C）(A)-1；(B)1；(C)0；(D)2；6．已知三點(diǎn)M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3），則|MAAB|=（B）(A)2;(B)22;(C)2;(D)-2;7．設(shè)D為園域x2y22ax(a0),化積分F(x,y)d為二次積分的正確方法D是_____D____.A.2aaB.2a2ax2dxf(x,y)dy2dxf(x,y)dy0a00C.a2acosf(cos,sin)dda0D.2d2acosf(cos,sin)d023lnx8．設(shè)Idx10

f(x,y)dy,改變積分序次,則I______.Bln3dyeyB.ln3A.f(x,y)dxdy000ln3dy3D.3C.f(x,y)dxdy

3ylnx

(x,y)dxf(x,y)dx00109．二次積分2dcosf(cos,sin)d能夠?qū)懗蒧__________.D001dyyy2f(x,y)dxB.11y2A.0dyf(x,y)dx0001dx1D.1dxxx2C.f(x,y)dy0f(x,y)dy00010．設(shè)是由曲面x2y22z及z2所圍成的空間地區(qū)，在柱面坐標(biāo)系下將三重積分If(x,y,z)dxdydz表示為三次積分，I________.C2A．212f(cos,sin,z)dzdd000222B.2f(cos,sin,z)dz0d0d0C．2d22f(cos,sin,z)dz0d202D．2d22cos,sin,z)dz0df(0011．設(shè)L為x0y面直線(xiàn)段，其方程為L(zhǎng):xa,cyd，則Px,ydx（C）L（A）a（B）c（C）0（D）d12．設(shè)L為x0y面直線(xiàn)段，其方程為L(zhǎng):ya,cxd，則Px,ydy（C）L（A）a（B）c（C）0（D）d13．設(shè)有級(jí)數(shù)un,則limun0是級(jí)數(shù)收斂的（D）n1n(A)充分條件；(B)充分必需條件；(C)既不充分也不用要條件；(D)必需條件;14．冪級(jí)數(shù)nxn的收徑半徑R=（D）n1(A)3(B)0(C)2(D)115．冪級(jí)數(shù)1xn的收斂半徑R（A）n1n(A)1(B)0(C)2(D)316．若冪級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑為R，則anxn2的收斂半徑為（A）n0n0(A)R(B)R2(C)R(D)沒(méi)法求得17.若limu0,則級(jí)數(shù)un()Dnnn1A.收斂且和為B.收斂但和不必定為C.發(fā)散D.可能收斂也可能發(fā)散18.若un為正項(xiàng)級(jí)數(shù),則(B)n1A.若limun0,則un收斂B.若un收斂,則un2收斂nn1n1n1C.若un2,則un也收斂D.若un發(fā)散,則limun0n1n1n1n19.設(shè)冪級(jí)數(shù)Cnxn在點(diǎn)x3處收斂,則該級(jí)數(shù)在點(diǎn)x1處(A)1絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不定20.級(jí)數(shù)sinnx,則該級(jí)數(shù)(B)(x0)n1n!A.是發(fā)散級(jí)數(shù)B.是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)C.是條件收斂級(jí)數(shù)D.可能收斂也可能發(fā)散二、填空題1．設(shè)f(x,y)sinx(y1)ln(x2y2)，則fx(0,1)___1___.2．設(shè)fx,ycosxy1lnx2y2，則fx'(0,1)=____0______.3．二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的公式是fx,ydxdy

f

cos,

sin

ddD

D．三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為柱面坐標(biāo)的公式是fx,y,zdxdydzfcos,sin,zdddz5．柱面坐標(biāo)下的體積元素dvdddz6．設(shè)積分地區(qū)D:x2y2a2,且dxdy9,則a3。D7．設(shè)D由曲線(xiàn)asin,a所圍成,則dxdy3a2D48．設(shè)積分地區(qū)D為1x2y24,2dxdy6D9．設(shè)fx,y在[0，1]上連續(xù)，假如13，fxdx0則11ydy=_____9________.dxfxf0010．設(shè)L為連結(jié)(1,0)與(0,1)兩點(diǎn)的直線(xiàn)段，則xyds2.L11．設(shè)L為連結(jié)(1,0)與(0,1)兩點(diǎn)的直線(xiàn)段，則xyds___________.0L12．等比級(jí)數(shù)aqn(a0)當(dāng)q1時(shí)，等比級(jí)數(shù)aqn收斂.n1n113．當(dāng)__1__時(shí)，p級(jí)數(shù)1是收斂的.n1np14．當(dāng)_________時(shí),級(jí)數(shù)n11n11是絕對(duì)收斂的.1np15．若f(x,y)xyx,則fx(2,1)_________.1,y216．若f(x,y)xy3(x1)arccosy2,則fy(1,y)_________.3y22x17．設(shè)uzxy,則du_________.zxyylnxdxxlnzdyxydzz18．設(shè)zylnx,則2z__________.lny(lny1)ylnxx2x219.積分22dy的值等于_________.1(1e4),dxey20x220.設(shè)D為園域x2y2a2,若x2y2dxdy8,則a_______.2D21.設(shè)I2dxdydz,此中:x2y2z2a2,z0,則I_______.4a33三、計(jì)算題1.求過(guò)點(diǎn)2,0,1且與平面2x5y4z80平行的平面方程.解:已知平面的法向量n=（2，-5，4），所求平面的方程為2（x+2）-5（y-0）+4（z-1）=0即2x-75y+4z=02．求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)M1（1，2，2）和M2（3，0，1）的直線(xiàn)方程。.解:M1M2=(4,2,1)所求直線(xiàn)方程為x1y2Z24213．求過(guò)點(diǎn)(0,-3,2)且以n=(3,-2,1)為法線(xiàn)向量的平面方程.解:所求的平面方程為3x02y31z20即3x2yz804．設(shè)zfxy,y，此中f擁有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

2zxy解:z,xyf12zzyf1f1yxf11f12xyyxy5．設(shè)lnx2y2arctany,求dydx解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得111xyyx2y22x2y22x2yy2x2y1x由此得yxyxy26．設(shè)zfxy,y，此中f擁有二階連續(xù)偏階導(dǎo)數(shù)，求z。2x解:zyfu,x2zzxyfuyfuy2fuux2xxx7．設(shè)

xz

ln

zy

,

求

z.x解:方程xlnzlny兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得zzxz1z,xz2zxzxxz2z8．設(shè)zfax,by，此中f擁有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求xy解:zaf1x2zaf1abf12xyy9．設(shè)sinyexxy20,求dy.dx解:方程兩邊對(duì)x同時(shí)求導(dǎo)得cosyyexy22xyy0由此得yexy22xycosy10．計(jì)算二重積分3x2ydxdy,此中D是由直線(xiàn)x0,y0,xy2D所圍成的閉地區(qū)。解:3x2ydxdy22x2ydy2y22xdx03x3xy0dx00=2x2x24dxx22x3220203032dy2yfx,ydx的積分序次。11．改變二次積分I20y解:積分地區(qū)為D:0y2,y2x2yD也可表示為D:0x4,xyx24xIdxxfx,ydy0212．計(jì)算二重積分3x2ydxdy,此中D是由直線(xiàn)x0,y0,yx1D所圍成的閉地區(qū)。解:3x2ydxdyD=14x2013．改變二次積分I

101dx3x2ydy3xyy20x1dx0x105x1dx161yx,ydx的積分序次。dyf00解:積分地區(qū)為D:0y1,0xyD也可表示為D:0x1,xy1有1yx,ydx11x,ydydyfdxf000x14．計(jì)算二重積分3x2ydxdy此中D:0x1,0y1.D解:3x2ydxdy112ydy13xyy21dx3x00dxD00=3x1dx3x215.1020215．改變二次積分I11fxydx的積分序次。1dyy2,解:積分地區(qū)為D:1y1,y2x1D也可表示為D:0x1,xyxI1xx,ydydxf0x16．利用格林公式計(jì)算曲線(xiàn)積分I=(2xy4)dx(5y3x6)dy,L此中L為三極點(diǎn)分別為(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向界限.解:由格林公式I=[(5y3x6)(2xy4)]dxdyDxy=4dxdy=4132D2=1217．利用格林公式計(jì)算曲線(xiàn)積分?L(y)dxxdy,此中L為正向的圓周x2y2a2(a.0).解：由格林公式==

[x(y)]dxdyDxy2dxdyD=2a218．利用格林公式計(jì)算曲線(xiàn)積分I=(2xy4)dx(5y3x6)dy,L此中L為三極點(diǎn)分別為(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向界限.解:由格林公式==

[(5y3x6)(2xy4)]dxdyDxy4dxdyD4133218.19．鑒別級(jí)數(shù)n2sinn的收斂性。n13解:limun1limn12sin3n111nunnn2sin3n3由比值鑒別法知級(jí)數(shù)n2sinn收斂n0320．求冪級(jí)數(shù)1nxn的收斂區(qū)間。n1n21解:liman1n12n11anlimn2n2nn1R2，收斂區(qū)間為2,221．求冪級(jí)數(shù)1xn的收斂區(qū)間。n1n3n1解:an1limn13n11,lim1nann3n3nR13收斂區(qū)間為(-3,3)四、解以下各題題1．利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分zdxdydz，此中是由曲面zx2y2與平面z4所圍成的閉地區(qū)。解::02,02,2z4zdxdydz2d240d2zdz0=12d2164d2006432．利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，zdxdydz此中閉地區(qū)為半球體x2y2z21,z0.解:在xoy平面的投影地區(qū)為D:x2y21，用柱面坐標(biāo)可表示為:02,01,0z122112zdxdydzdd00011124240

zdz12dz1043．．利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分x2y2dxdydz，此中是由曲面z9x2y2與平面z0所圍成的閉地區(qū)。解::02,03,0z92232x29dzy2dxdydzdd000=d3292d32420054．計(jì)算曲線(xiàn)積分x2ydxxy2dy，此中L是在圓周y2xx2上由L點(diǎn)O（0，0）到點(diǎn)A（1，1）的一段弧。解:Qxy2,Px2yQP1,曲線(xiàn)積分與路徑?jīng)]關(guān)，xyx2ydxxy2dyx2ydxxy2dyLOA1[(x2x)(xx2)]dx(y=x,0x1)=01(2x)dx=-105．計(jì)算曲線(xiàn)積分x2ydxxy2dy，此中L是在圓周y2xx2上由L點(diǎn)O（0，0）到點(diǎn)A（2，0）的一段弧。解：Qxy2,Px2yP1,曲線(xiàn)積分與路徑?jīng)]關(guān)，xyx2ydxxy2dyx2ydxxy2dyLOA=20x2)x2dx(y=0,0836．計(jì)算曲線(xiàn)積分x2ydxxydy，此中L是在圓周y2xx2上由L點(diǎn)A（2，0）到點(diǎn)0（0，0）的一段弧。解:Qxy2,Px2yP1,曲線(xiàn)積分與路徑?jīng)]關(guān)，xyx2ydxxy2dyx2ydxxy2dyLAO=02dx(y=0,x由2到0)x2=8.37．鑒別級(jí)數(shù)1n1能否收斂？假如收斂，是絕對(duì)收仍是條件收斂？n2lnn解:記un1,則lnnun11un1(n2,3,,n,)lnnlnn1且limunlim10lnnnnn由萊布尼茲定理,級(jí)數(shù)11收斂lnn又11,而級(jí)數(shù)1發(fā)散,由比較鑒別法可知lnnnn2n級(jí)數(shù)1發(fā)散,進(jìn)而級(jí)數(shù)1n1為條件收斂n2lnnn2lnn8．鑒別級(jí)數(shù)1nln11能否收斂？假如收斂，是絕對(duì)收仍是條件收斂？n2nln111，n解：記unln1lim11nnn而1發(fā)散，因此ln11發(fā)散n1nn1n又且

unln1ln11(n1,2,3,)1nun1n1limunlimln10，1nnn由萊布尼茲定理知1n1ln11收斂且為條件收斂.n1n9．鑒別級(jí)數(shù)1nln(1!)能否收斂？假如收斂，是絕對(duì)收仍是條件收斂？n2n2解:(1)n1ln(112)ln(112)nnln(112)limn1n1n2級(jí)數(shù)ln(112)收收斂，n2n進(jìn)而級(jí)數(shù)nln(112)為絕對(duì)收斂.1n2n10計(jì)算Ixy2d,此中D:1y1,0x1.11D1511.計(jì)算Ix2y22d,此中D:x2y23.5D212.求由錐面z2x2y2與圓柱面x2y2axa0所圍成的立體的體積.8a39五．應(yīng)用題1．將周長(zhǎng)為2p的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)得一圓柱體，問(wèn)