2019-2020學(xué)年山西省運(yùn)城市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

第第頁(共21頁)求證：CG丄AF；求平面BCF與平面AEF所成角的正弦值.【解答】解：(1)QCF丄平面ABCD,ABu平面ABCD,CF丄AB,又Q四邊形ABCD是正方形，AB丄BC,QBCICF=C，AB丄平面BCF，QCGu平面BCF，CG丄AB，又QBC=CF=2，G為BF的中點(diǎn)，/.CG丄BF，QABIBF=B，.CG丄平面ABF，QAFu平面ABF，CG丄AF；(2)QCF丄平面ABCD，CF//DE，.DE丄平面ABCD．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DE所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．如圖所示：則D(0，0，0),A(2，0，0),C(0，2，0),E(0，0，1)F(0，2，2).uuuruuuruuur.AE=(-2,0,1)，EF=(0,2,1)，DC=(0,2,0)?r設(shè)n=(x,y,z)為平面AEF的法向量，ruuur.ngAE=—2x=0人.r則iruur，令x=1，則n=(1,—1,2)，ngEF=2y+z=0uuur由題意知DC=(0,2,0)為平面BCF的一個(gè)法向量，ruuur

cos(n,DC)=<66rgDCrruuur

cos(n,DC)=<66InIIDCI6x2.平面BCF與平面AEF所成角的正弦值為,,：1-(-^)2=辺66(12分)設(shè)S為等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，且a=15,S=65.TOC\o"1-5"\h\znn25(I)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;n(II)設(shè)數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和為T，且T=S-10，求數(shù)列｛lb1｝的前n項(xiàng)和R.nnnnnn【解答】解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d，則由a=15,S=65.n25^得a+d—15，5a+10d二65，11解得a—17，d——2，1故a—17—2(n—1)—-2n+19；n(II)由(I)得：S——n2+18nT——n2+18n—10，nnb=j7,n=1nI—2n+19,n..2易知，當(dāng)啜n9時(shí)，b>0；當(dāng)n..10時(shí)，b<0，nnTOC\o"1-5"\h\z???1。當(dāng)1剟n9時(shí)，R—lbl+1bl+???+lbl—b+b+???+b——n2+18n—10n12n12n2。當(dāng)n.10時(shí)R—lbl+1bl+...+lbl—b+b+...+b一(b+b+...+b)——T+2T—n2一18n+152.n12n1291011nn9故R—<n—n2+18n一10,1剟h9n2—18n+152,n.10(12分)已知函數(shù)f(x)—exsinx.求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；如果對(duì)于任意的xG[0,-]，f(x)..kx總成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.2【解答】解：(1)由于f(x)—exsinx，TOC\o"1-5"\h\z所以f'(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=\：2exsin(x+),4兀兀3兀當(dāng)x+g(2k兀,2k兀+兀)，即xg(2k?！?2k兀+—)時(shí)，f'(x)>0；444兀3兀7兀當(dāng)x+g(2k兀+兀,2k兀+2兀)，即xg(2k兀+—,2k兀+—)時(shí)，f'(x)<0.444所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2k兀--,2k兀+匹)(kgZ)，44單調(diào)遞減區(qū)間為(2k-+西,2k-+7-)(kgZ)；44(2)令g(x)=f(x)-kx=exsinx-kx,-要使f(x)..kx總成立，只需xg[0,—]時(shí)g(x)0，2min對(duì)g(x)求導(dǎo)，可得g'(x)=ex(sinx+cosx)-k，令h(x)=ex(sinx+cosx)，-則h'(x)=2excosx>0，(xg(0,—))2所以h(x)在［0,號(hào)］上為增函數(shù)，一1”,—所以h(x)g［1,e2］；對(duì)k分類討論：當(dāng)k?1時(shí)，g'(x)...0恒成立，-所以g(x)在［0,-］上為增函數(shù)，2所以g(x)=g(0)=0，min即g(x).0恒成立；—當(dāng)1<k<e2時(shí)，g'(x)=0在上有實(shí)根x°,因?yàn)閔(x)在(0,中)上為增函數(shù)，所以當(dāng)xg(0,x)時(shí)，g'(x)<0，0所以g(x)<g(0)=0，不符合題意；0當(dāng)k..e2時(shí)，g'(x)?0恒成立，所以g(x)在(0,扌)上為減函數(shù)，

則g(x)<g(0)=0，不符合題意.綜上，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-8,1].(12分)過x軸上動(dòng)點(diǎn)A(a,0)引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ,P、Q為切點(diǎn).(1)若切線AP,AQ的斜率分別為k和匕，求證：kg為定值，并求出定值;12122)求證：直線PQ恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo);Suuuruuur(3)當(dāng)aapo最小時(shí)，求AQgAP的值.PQ\1rQA0Z【解答】解：(1)設(shè)過A(a,0)與拋物線y=x2+1的相切的直線的斜率是k,則該切線的方程為：y=k(x-a)由Jya)得x2-kx+(ka+1)=0/.△=k2-4(ka+1)=k-4ak-4=0Iy=x2+12則k，k都是方程k2-4ak-4=0的解，故kk=-41212(2)設(shè)P(x，y)，Q(x，y)1122由于y'=2x，故切線AP的方程是：y-y=2x(x-x)111貝9一y=2x(a一x)=2xa一2x2=2xa一2(y一1)「.y=2xa+2，同理y=2xa+211111111122則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點(diǎn)(0,2)(3)要使-UHSQ最小，就是使得A到直線PQ的距離最小，而A到直線PQ的距離|PQ|2a2+22a2+2

v4a2+1(4a2+1+3)4a2+134a2+1)??*3當(dāng)且僅當(dāng)\：4a2+1=3即a2=時(shí)取等號(hào)設(shè)P(x，y)，Q(x，y)J4a2+121122貝9x+x=2a，xx=-1，1212由貝9x+x=2a，xx=-1，1212Iy=x2+1

uuuruuurAQgAP=(x一a)(x一a)+yy=(x一a)(x一uuuruuurAQgAP=(x一a)(x一a)+yy=(x一a)(x一a)+(2ax+2)(2ax+2)121212129=(1+4a2)xx+3a(x+x)+a2+4=一(1+4a2)+3ag2a+a2+4=3a2+3=—1212222.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：<c3x二一2+—t5(t為參數(shù))，它y=2+—t5與曲線C:(y-2)2-x2=1交于A，B兩點(diǎn).求IABI的長(zhǎng)；在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2、：2,乎)，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離.【解答】解：(1)把直線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得7t2+60t-125=0設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t，t，則t+1=—,11=——12127127.IABI=It-1I=.(t+1)2-4tt=—1212127(2)由P的極坐標(biāo)為(2遷，竺)，可得x=2<Icos竺=-2,4p4點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(-2,2)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為H307.由t的幾何意義可得點(diǎn)P到M的距離為IPMI=I—1=30.2723?已知函數(shù)心=存+護(hù)1+—(a>0，cb>0，c>0)的圖象過定點(diǎn)A(1,3)⑴求證：abc…6；2)求3a+2b+c的最小值.解答】解：(1解答】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)11=x2+x3a2bc+^(a>0，b>0，c>0)的圖象過定點(diǎn)A(1,3),所以f(1)=++丄=3.16abc3a2bc16abc所以3=—+—+1.33a2bc1即a=3，b1即a=3，b=2