【教學(xué)課件】基本不等式第一課時(shí)參考教學(xué)課件

基本不等式第一課時(shí)

重要不等式：a2＋b2≥2ab基本不等式表明兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)．創(chuàng)設(shè)情境如果a＞0，b＞0，用

代替a，b，得到：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．幾何平均數(shù)代數(shù)平均數(shù)基本不等式

證明：要證明

，只需證明

，所以原不等式成立．只需證

，只要證

而

顯然成立．過程：執(zhí)果索因分析法新知探究

解：半徑OD為

，可得弦DE長的一半CD為

，由CD≤OD，得到

幾何解釋新知探究問題1

如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC＝a，BC＝b，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD

．你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？解：因?yàn)閤＞0，所以，

即x2＝1，x＝1時(shí)，等號(hào)成立．因此最小值為2．當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，新知探究例1

已知x＞0，求的最小值．

變式：（1）已知x≥2，求

的最小值；（2）

有最小值嗎？為什么？新知探究

反思：結(jié)合函數(shù)的圖象及例1的解答，你能總結(jié)什么條件的代數(shù)式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？xyO總結(jié)：1．若代數(shù)式能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正數(shù)積為定值，可以利用基本不等式求和的最小值；2．若代數(shù)式能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正數(shù)和為定值，可以利用基本不等式求積的最大值．新知探究

反思：結(jié)合函數(shù)的圖象及例1的解答，你能總結(jié)什么條件的代數(shù)式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？xyO注意：在利用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”的條件．新知探究

（1）如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值

；（2）如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值

．證明：因?yàn)閤，y是正數(shù)，所以

．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，（1）當(dāng)積為定值P時(shí)，

，于是，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值

．新知探究例2

已知x，y都是正數(shù)，求證：證明：因?yàn)閤，y是正數(shù)，所以

．

當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，（2）當(dāng)和為定值S時(shí)，，于是，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值

．新知探究（1）如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值

；（2）如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值

．例2

已知x，y都是正數(shù)，求證：

歸納小結(jié)（2）基本不等式的代數(shù)特征是什么？如何從幾何圖形上進(jìn)行解釋？（3）基本不等式可以解決哪兩類數(shù)學(xué)問題？使用的條件是什么？應(yīng)注意什么？問題2

（1）什么是基本不等式？如何推導(dǎo)基本不等式？

目標(biāo)檢測只要把式子倒過來，就可以推出原不等式成立．即，即

，即需證

，而

顯然成立，已知a，b∈R，求證

1證明：要證明

，只需證明

，

目標(biāo)檢測（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相應(yīng)的x值．當(dāng)且僅當(dāng)

，即

時(shí)，等號(hào)成立．所以

的最小值為

，這時(shí)

．（1）已知x＞0，求

的最小值及相應(yīng)的x值．2解：（1）∵x＞0，∴

，目標(biāo)檢測由當(dāng)且僅當(dāng)1－x＝x，即

時(shí)取等號(hào)．（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相應(yīng)的x值．（1）已知x＞0，求

的最小值及相應(yīng)的x值．2解：（2）∵0＜x＜1，∴1－x＞0，

目標(biāo)檢測（1）

；

（2）

．又由于x≠y，所以等號(hào)取不到．∴

，∴．已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：3證明：（1）∵x，y都是正數(shù)，

目標(biāo)檢測又由于x≠y，所以等號(hào)取不到．∴，∴．兩邊同乘

，得

．（1）

；

（2）

．已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：3證明：（2）∵x，y都是正數(shù)，

目標(biāo)檢測當(dāng)兩條直角邊的長度各為10cm時(shí)，兩條直角邊的和最小，最小值為20．則由已知得＝50，即ab＝100