線性代數(shù)行列式與克拉默法則

關(guān)于線性代數(shù)行列式與克拉默法則第1頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五教學(xué)要求：1.了解行列式的定義和性質(zhì);2.掌握三階、四階行列式的計(jì)算法，會計(jì)算簡單的n階行列式;3.了解排列與對換;4.會用克拉默(Gramer)法則解線性方程組.第2頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第3頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五定義1.

二階行列式定義為主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計(jì)算第4頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五定義2.

三階行列式定義為三階行列式的計(jì)算---對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號．第5頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五說明1.

對角線法則只適用于二階與三階行列式．

2.

三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù).考察三階行列式如下：第6頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第7頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五定義3.

代數(shù)余子式剩下的元素按原來的排法構(gòu)成一個新的行列式第8頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五定義4.

是一個算式，且第9頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五注意：行列式是一些乘積的代數(shù)和，每一項(xiàng)乘積都是由行列式中位于不同行不同列的元素構(gòu)成的.(3)定義4中行列式按第一行展開，同樣也可按第一列展開，甚至按行列式中任意行或列展開.

由此可計(jì)算一些行列式.Example1.第10頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五Proof.（數(shù)學(xué)歸納法）第11頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五不是對角行列式，第12頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.說明

行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.第13頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五例如推論如果行列式有兩行(列)完全相同,則行列式為零.證明互換相同的兩行，有性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.第14頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．性質(zhì)４行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明注意與矩陣數(shù)乘運(yùn)算的區(qū)別,第15頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五性質(zhì)5若行列式D的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和:則D等于下列兩個行列式之和：例如第16頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第17頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五性質(zhì)7.行列式按行（列）展開法則下面證明:證第18頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第19頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五相同同理第20頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第21頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五性質(zhì)8.Laplace定理(2)

Laplace定理第22頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第23頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五為方便起見，引用以下符號：其一、利用行列式的性質(zhì)，或通過將行列式化為三角行列式來計(jì)算行列式的值.第24頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五Solution.第25頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五ex3.已知204,527,255三數(shù)都能被17整除，不計(jì)算行列式的值，證明三階行列式也能被17整除.Solution.第26頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五Solution.第27頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第28頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五Solution.第29頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五Solution.其二、當(dāng)行列式各行(列)元素之和相同時，應(yīng)先把各列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考慮.第30頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五Solution.第31頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五故原方程的解為第32頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五思考其三、根據(jù)行列式的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)，將行列式的某一行(列)化出盡量多的0元素，然后由定義按該行(列)展開.第33頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五Solution.第34頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五Solution.第35頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第36頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第37頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五其四、當(dāng)各階行列式具有同一結(jié)構(gòu)形式時，可利用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算或證明行列式的值.第38頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五Solution.（數(shù)學(xué)歸納法）第39頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第40頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五這個行列式稱為Vandermonde（范德蒙）行列式，可見Vandermonde（范德蒙）行列式為零的充要條件是注意不是Vandermonde行列式第41頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五解法1其五、先用展開或拆項(xiàng)等方法，將原行列式表成低階同型行列式的線性關(guān)系，再由遞推法得出結(jié)果.第42頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第43頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五解法2第44頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五其六.當(dāng)行列式為三線非0行列式時，將其轉(zhuǎn)化為三角行列式來計(jì)算.

第45頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五其七、加邊法，即在行列式值不變的情況下，加上一行一列.用于主對角線上元素不同，其余元素相同(或各行其余元素成比例)的行列式.Solution.第46頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第47頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第48頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五Solution.第49頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五五.分塊矩陣的行列式①②③第50頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五定義1.如2431是一個4級排列.定義2.在一個排列中,如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù),那么它們就稱為一個逆序,一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù).第51頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五例如排列32514中，32514逆序逆序逆序32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.第52頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五定義3.逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列;逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.定義4.在一個排列中某兩個數(shù)的位置調(diào)換，而其余的數(shù)不動，從而構(gòu)成一個新的排列，這種調(diào)換叫做對換.將相鄰兩個數(shù)字對換，叫做相鄰對換.結(jié)論1.對換改變排列的奇偶性.第53頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五結(jié)論2.關(guān)于n階行列式的另一定義第54頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五ex14.已知Solution.含的項(xiàng)有兩項(xiàng),即在中對應(yīng)于第55頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五第56頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五1.線性方程組當(dāng)方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相同時,線性方程組的形式為:則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.第57頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五2.Gramer法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即第58頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為其中是把系數(shù)行列式

中第j

列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n

階行列式，即第59頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五證明在把個方程依次相加，得第60頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當(dāng)時,方程組(2)有唯一的一個解第61頁，共65頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)40分，星期五由于方程組與方程組等價(jià),故也是方程組(1)的解.3.重要定理定理1.

如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于0，則方程組一定有解，且解是唯一的.定理2.

如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為0.第62頁，共65頁，202