高中數(shù)學(xué)第三章不等式31不等關(guān)系與不等式學(xué)案(含解析)-9882

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1不等關(guān)系與不等式不等關(guān)系與不等式[提出問題]在平常生活中，我們經(jīng)?？吹揭韵聵?biāo)志：問題1:你知道各圖中的標(biāo)志有何作用嗎？其含義是什么？提示:①最低限速：限制行駛時速v不得低于50公里;②限制重量:裝載總重量G不得高出10t;③限制高度：裝載高度h不得高出3。5m；④限制寬度：裝載寬度a不得高出3m；⑤時間范圍：t∈[7.5，10］．問題2：你能用一個數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？怎樣表示？提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3。5；④a≤3；⑤7。5≤t≤10。[導(dǎo)入新知]不等式的看法我們用數(shù)學(xué)符號“≠”“＞"“＜”“≥”或“≤"連接兩個數(shù)或兩個代數(shù)式,以表示它們之間的不等關(guān)系．含有這些不等號的式子叫做不等式．[化解疑難]1．不等關(guān)系重申的是關(guān)系，可用符號“＞”“＜"“≠"“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b"等式子表示,不等關(guān)系是能夠經(jīng)過不等式來表現(xiàn)的．2．不等式中文字語言與符號語言之間的變換文字大于等于,最少,不小于等于,至多，不大于,高于,高出小于，低于，少于語言低于多于，不高出符號＞＜≥≤語言1學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精兩實(shí)數(shù)大小的比較[提出問題]實(shí)數(shù)能夠用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的每個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù)，且右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大．問題1：怎樣判斷兩個實(shí)數(shù)a,b的大??？提示：若a－b是正數(shù)，則a＞b;若a－b是負(fù)數(shù)，則a〈b；若a－b是零，則a＝b。問題2：你可否由問題1得出兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法？提示：能．經(jīng)過兩個實(shí)數(shù)作差,判斷差的正負(fù)比較大?。蹖?dǎo)入新知］比較兩個實(shí)數(shù)a,b大小的依照文字語言符號表示若是a＞b，那么a－b是正數(shù)；?>0a〉－若是a＜b,那么a－b是負(fù)數(shù)；a〈b?a－b<0若是＝，那么－等于0,ababa＝b?a－b＝0反之亦然[化解疑難］1．上面的“?”表示“等價于”，即能夠互相推出．2．“?"右邊的式子反響了實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，左邊的式子反響的是實(shí)數(shù)的大小序次,二者結(jié)合起來就是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小序次之間的關(guān)系．不等式的基本性質(zhì)［提出問題］問題1：若a>b，b>c，則a〉c,對嗎？為什么？提示：正確．∵a>b，b>c，∴a－b〉0，b－c〉0.∴（a－b)＋(b－c)>0,即a－c〉0.a〉c.問題2:若a＞b，則a＋c＞b＋c,對嗎？為什么？提示：正確．∵a＞b,a－b＞0,a＋c－b－c＞0，2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精即a＋c＞b＋c。問題3:若a＞b，則ac＞bc，對嗎?試舉例說明．提示:不用然正確．若a＝2，b＝1，c＝2時正確．c＝－2時不正確．[導(dǎo)入新知]不等式的性質(zhì)(1)對稱性:a>b?b<a;（2）傳達(dá)性：a〉b，b>c?a>c；可加性：a>b?a＋c〉b＋c。推論（同向可加性)：錯誤!?a＋c〉b＋d。（4)可乘性：錯誤!?ac>bc;錯誤!?ac〈bc。推論(同向同正可乘性)：錯誤!?ac>bd。（5）正數(shù)乘方性：a>b>0?nn*a〉b(n∈N，n≥1）．（6)正數(shù)開方性：a>b〉0?錯誤!>錯誤!(n∈N＊,n≥2）．［化解疑難]1．在應(yīng)用不等式時,必然要搞清它們成立的前提條件．不能增強(qiáng)或弱化成立的條件．2．要注意“箭頭"是單向的還是雙向的，也就是說每條性質(zhì)可否擁有可逆性．用不等式（組)表示不等關(guān)系[例1］某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車,有9名駕駛員．此車隊每天最少要運(yùn)360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次,乙型卡車每輛每天可往返8次,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．［解]設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛．由題意得錯誤!即錯誤![類題通法]用不等式表示不等關(guān)系的方法1)認(rèn)真審題，設(shè)出所求量,并確認(rèn)所求量滿足的不等關(guān)系．2）找出表現(xiàn)不等關(guān)系的要點(diǎn)詞：“最少”“至多"“很多于”“不多于”“超過”“不高出”等．用代數(shù)式表示相應(yīng)各量,并用要點(diǎn)詞連接．特別需要考慮的是“≤”“≥”中的“＝"可否取到．[活學(xué)活用］3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精用不等式(組)表示以下問題中的不等關(guān)系：(1）限速80km/h的路標(biāo)；橋頭上限重10噸的標(biāo)志;(3）某酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不多于2。5％，蛋白質(zhì)的含量p不少于2.3%。解：(1)設(shè)汽車行駛的速度為vkm/h,則v≤80.(2）設(shè)汽車的重量為ω噸，則ω≤10.錯誤!比較兩數(shù)（式）的大?。劾?]比較以下各組中兩個代數(shù)式的大小:1)x2＋3與2x；2)已知a，b為正數(shù)，且a≠b,比較a3＋b3與a2b＋ab2的大?。劢猓?1）（x2＋3）－2x＝x2－2x＋3＝錯誤!2＋2≥2＞0，x2＋3＞2x.2)（a3＋b3）－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a2b2）＝(a－b)2（a＋b)．a(chǎn)＞0，b＞0，且a≠b，∴(a－b）2＞0，a＋b＞0。3322∴（a＋b）－（ab＋ab)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2。［類題通法］比較兩個代數(shù)式大小的步驟(1）作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式子)作差；2)變形：對差進(jìn)行變形;3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；(4）作出結(jié)論．這種比較大小的方法平常稱為作差比較法．其思想過程是作差→變形→判斷符號→結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提．［活學(xué)活用］試判斷以下各對整式的大小:2(1）m－2m＋5與－2m＋5；2)x3＋6x與x2＋6.2解：（1)(m－2m＋5）－(－2m＋5）4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精22＝m－2m＋5＋2m－5＝m.22∵m≥0，∴（m－2m＋5）－（－2m＋5)≥0，2∴m－2m＋5≥－2m＋5.2)(x3＋6x)－(x2＋6）＝x3－x2＋6x－6x2(x－1）＋6（x－1)(x－1）（x2＋6)．∵x2＋6＞0,∴當(dāng)x＞1時，（x－1)（x2＋6）＞0，即x3＋6x＞x2＋6。當(dāng)x＝1時，(x－1）(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6.當(dāng)x＜1時，(x－1）（x2＋6)＜0,即x3＋6x＜x2＋6。不等式的性質(zhì)［例3]已知a＞b＞0，c＜d＜0,e＜0,求證：錯誤!＞錯誤!.證明:∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0。又∵a＞b＞0，a＋（－c）＞b＋（－d）＞0，即a－c＞b－d＞0，10＜a－c＜錯誤!。又∵e＜0，錯誤!＞錯誤!.［類題通法]利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意事項（1)利用不等式的性質(zhì)及其推論能夠證明一些不等式．解決此類問題必然要在理解的基礎(chǔ)上,記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈便正確地加以應(yīng)用．(2）應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不能省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能夠隨意構(gòu)造性質(zhì)與法規(guī)。[活學(xué)活用]已知a＞b,m＞n，p＞0,求證:n－ap＜m－bp。證明：∵a＞b,又p＞0，5學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精ap＞bp.∴－ap＜－bp。又∵m＞n,即n＜m。n－ap＜m－bp。錯誤!［典例］已知1＜a＜4,2＜b＜8，試求2a＋3b與a－b的取值范圍．[解]∵1＜a＜4,2＜b＜8，2＜2a＜8,6＜3b＜24.8＜2a＋3b＜32。2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.又∵1＜a＜4,1＋（－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2），即－7＜a－b＜2。故2a＋3b的取值范圍是(8,32)，a－b的取值范圍是（－7,2)．【研究一】利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍要注意：同向不等式的兩邊能夠相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)變不是等價變形,若是在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)變，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．【研究二】同向不等式擁有可加性與可乘性,但是不能夠相減或相除，應(yīng)用時，要充分利用所給條件進(jìn)行合適變形來求范圍，注意變形的等價性．在本例條件下,求錯誤!的取值范圍．[解]∵2＜b＜8，∴錯誤!＜錯誤!＜錯誤!，而1＜a＜4，∴1×錯誤!＜a·錯誤!＜4×錯誤!，即錯誤!＜錯誤!＜2.a故b的取值范圍是錯誤!.【研究三】不等式兩邊同乘一個正數(shù)，不等號方向不變；同乘一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變，求解中，應(yīng)明確所乘數(shù)的正負(fù)．6學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精例:已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求錯誤!的取值范圍．［解］∵－6＜a＜8，2＜b＜3,∴錯誤!＜錯誤!＜錯誤!。①當(dāng)0≤a＜8時，0≤錯誤!＜4；②當(dāng)－6＜a＜0時,－3＜錯誤!＜0。由①②得：－3＜錯誤!＜4?！狙芯克摹坷貌坏仁叫再|(zhì)求范圍，應(yīng)注意減少不等式使用次數(shù)．例：已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3,求a＋3b的取值范圍．［解]設(shè)a＋3b＝λ1（a＋b)＋λ2（a－2b）＝(λ1＋λ2)a＋（λ1－2λ2）b,解得λ1＝錯誤!，λ2＝－錯誤!。5又－3≤錯誤!(a＋b）≤錯誤!,2≤－錯誤!(a－2b）≤－錯誤!，因此－錯誤!≤a＋3b≤1.(注：本題能夠利用本章第三節(jié)內(nèi)容求解)[隨堂即時演練]1．完成一項裝修工程，請木工共需付薪水每人500元，請瓦工共需付薪水每人400元，現(xiàn)有工人薪水估量20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人,則工人滿足的關(guān)系式是（）A．5x＋4y＜200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200D．5x＋4y≤200剖析:選D據(jù)題意知，500x＋400y≤20000,即5x＋4y≤200，應(yīng)選D。2．(四川高考)若a〉b〉0，c＜d＜0,則必然有（）A.錯誤!〉錯誤!B。錯誤!<錯誤!C。錯誤!>錯誤!D。錯誤!<錯誤!剖析:選B∵c＜d＜0,∴錯誤!＜錯誤!＜0，∴－錯誤!＞－錯誤!＞0,而a＞b＞0，ab∴－d＞－c＞0，∴錯誤!＜錯誤!，應(yīng)選B。3．比較大?。簒2－x________x－2。7學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精剖析:（x2－x)－（x－2）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.由于（x－1)2≥0,因此(x－1）2＋1>0,即x2－x>x－2。答案:〉4．若－10＜a＜b＜8,則|a｜＋b的取值范圍是________．剖析:∵－10＜a＜8，∴0≤｜a|＜10，又－10＜b＜8，∴－10＜|a｜＋b＜18。答案：(－10,18）5．（1)已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大?。唬?)若－1＜a＜b＜0，試比較錯誤!，錯誤!，a2，b2的大?。猓海?）3x3－(3x2－x＋1）＝(3x3－3x2)＋（x－1）＝3x2(x－1)＋（x－1）＝（x－1）3x2＋1)．x≤1，∴x－1≤0.又3x2＋1＞0，(x－1）（3x2＋1）≤0，3x3≤3x2－x＋1.∵－1＜a＜b＜0,∴－a＞－b＞0，a2＞b2＞0?！遖＜b＜0，a·錯誤!＜b·錯誤!＜0，即0＞錯誤!＞錯誤!,∴a2＞b2＞錯誤!＞錯誤!。[課時達(dá)標(biāo)檢測]一、選擇題2)1．設(shè)M＝x,N＝－x－1,則M與N的大小關(guān)系是（A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．與x有關(guān)剖析：選A－＝2＋＋1＝錯誤!2＋錯誤!＞0?！啵尽NxxMN2．某校訂高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z高出45分,用不等式（組）表示就是（）A。錯誤!B。錯誤!C.錯誤!D。錯誤!8學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精剖析：選D由題中x不低于95即x≥95,y高于380即y〉380，z高出45即z〉45。3．若＜0,且＞0，＞,d＜0，則（)abcdabcA．b＜0，c＜0B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0D．0＜c＜b或c＜b＜0剖析：選D由＞0，＜0，且＜0,知bc＞0，adabcd又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0。4．設(shè)α∈錯誤!，β∈錯誤!,則2α－錯誤!的范圍是(）A.錯誤!B.錯誤!C。錯誤!D。錯誤!剖析：選D∵0＜2α＜π，0≤錯誤!≤錯誤!，∴－錯誤!≤－錯誤!≤0，由同向不等式相加獲取－錯誤!＜2α－錯誤!＜π.5．已知：a，b，c，d∈R,則以下命題中必成立的是（）A．若a＞b,c＞b，則a＞cB．若a＞－b,則c－a＜c＋bC．若a＞b,c＜d，則錯誤!＞錯誤!22D．若a＞b，則－a＜－b剖析:選B選項A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立；選項C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a＞b＞0，c＜0＜d時，不成立；選項D，只有a＞b＞0時才能夠，否則如a＝－1，b＝0時不成立，應(yīng)選B。二、填空題6．比較大?。篴2＋b2＋c2________2（a＋b＋c）－4.剖析:a2＋b2＋c2－［2(a＋b＋c)－4]a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4(a－1）2＋（b－1）2＋(c－1）2＋1≥1＞0，故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c）－4。答案：＞7．已知|a|＜1，則錯誤!與1－a的大小關(guān)系為________．剖析：由｜a|＜1，得－1＜a＜1.1＋a＞0,1－a＞0。即錯誤!＝錯誤!?！?＜1－a2≤1，∴錯誤!≥1,∴錯誤!≥1－a.答案:錯誤!≥1－a9學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．某公司有20名技術(shù)人員,計劃開發(fā)A,B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員數(shù)和預(yù)計產(chǎn)值以下：產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬元/件)A類17.52B類錯誤!6今擬訂計劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)開發(fā)________件,最高產(chǎn)值為________萬元．剖析：設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件,則開發(fā)B類電子器件（50－x）件,則錯誤!＋錯誤!20，解得x≤20。由題意，得總產(chǎn)值y＝7.5x＋6×（50－x）＝300＋1。5x≤330，當(dāng)且僅當(dāng)x＝20時,y取最大值330。因此應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件,能使產(chǎn)值最高，為330萬元．答案:20330三、解答題b9．（1）a＜b＜0，求證：a＜錯誤!;1（2)已知a＞b，a＜錯誤!,求證：ab＞0.證明：(1)由于錯誤!－錯誤!＝錯誤!＝錯誤!,∵a＜b＜0，b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，錯誤!＜0，故錯誤!＜錯誤!?！咤e誤!＜錯誤!，∴錯誤!－錯誤!＜0，即錯誤!＜0，而a＞b，∴b－a＜0,∴ab＞0.10．某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)，需包車前往．甲車隊說：“如領(lǐng)隊買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠．”乙車隊說：“你們屬集體票，按原價的8折優(yōu)惠．"這兩車隊的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)、車型都是相同的，試依照此單位去的人數(shù),比較兩車隊的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．解：設(shè)該單位職工有n人（n∈N*）,全票價為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x＋錯誤!x·（n－1）＝錯誤!x＋錯誤!xn，y2＝錯誤!