工程力學(xué) 第十章 應(yīng)力狀態(tài)和強度理論

第十章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論第十章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論§10–1應(yīng)力狀態(tài)的概念§10–2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實例§10–3平面應(yīng)力狀態(tài)§10–4空間應(yīng)力狀態(tài)§10–5廣義胡克定律§10–6強度理論一、問題的提出§10–1應(yīng)力狀態(tài)的概念A(yù)PPpAmFlAAAAszsxs

ysxs

ysztyxtyztzytzxtxytxz二、一點處應(yīng)力狀態(tài)的表示方法：單元體——構(gòu)件內(nèi)點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。應(yīng)力單元體是一點受力狀態(tài)的完整表示。szsxs

ysxs

ysztyxtyztzytzxtxytxz（1）單元體單元體各面上應(yīng)力均布；相互平行的面上應(yīng)力相等。一點有六個獨立的應(yīng)力分量（2）應(yīng)力分量szsxs

ysxs

ysztyxtyztzytzxtxytxz三、主平面、主應(yīng)力：（1）主平面(PrincipalPlane)：

切應(yīng)力為零的截面。（2）主應(yīng)力(PrincipalStress

）：

主面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，x

s

z

xyzsxsyszAAA任意一點都可以找到三個相互垂直的主平面。s1s2s31、單向應(yīng)力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：

一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

2、二向應(yīng)力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：

二個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。3、三向應(yīng)力狀態(tài)（Three—DimensionalStateof

Stress）：

三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。四、應(yīng)力狀態(tài)分類sxsxs1s1s2s2s3s3s1s1s2s2PP[例1]畫出圖中的A點的應(yīng)力單元體。Ass§10–2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實例dxdx[例2]

畫出圖中A點的應(yīng)力單元體。ttttttmmA如圖所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。容器所承受的內(nèi)壓力為p，容器直徑D，壁厚。[例3]pDs用橫截面將容器截開，l受力如圖所示,根據(jù)平衡方程lsssllssllσ'σ'σ''σ''pllσ''σ''''''''pl''''如圖所示為承受內(nèi)壓的圓球形容器。容器所承受的內(nèi)壓力為p，容器直徑D，壁厚。[例4]pF容器截面上的內(nèi)力：半球上內(nèi)壓力的合力：∴[例5]

12345P1P2q畫出圖中各點的應(yīng)力單元體。QMsMtQ12345P1P2qst123451sss1s12345P1P2qs1st123452ttss212345P1P2qst1234532tt3s112345P1P2q4st1234532ttss4s112345P1P2qs54st12345325sss1xyz§10–3平面應(yīng)力狀態(tài)sxtxysytyxtyxtxysxsysxtxysytyxsysx平面應(yīng)力狀態(tài):單元體有一對平面上的應(yīng)力為零。一、任意斜截面上的應(yīng)力二、最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力三、主平面和主應(yīng)力一、任意斜截面上的應(yīng)力sata已知：x、y、xy求：

、sata

xysysx

yxsxsytyxtyxtxysxsytxy、yxxyxyyxdAcosdAsinsata解：設(shè)斜截面面積為dA，dA

yxsasysxtatn

xy由平衡得：由tyx=txy和三角變換，得：(1)正應(yīng)力拉為正；正負(fù)號規(guī)定：

yxsasysxtanxysxsytyxtyxtxysxsytxyn(2)切應(yīng)力繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；(3)a逆時針為正。同理：求斜截面上的應(yīng)力，單位MPa[例4]20x5030°30°30解：[例5]已知：F=180kN，l=1.5m，求A點斜截面上的應(yīng)力。FAll30°z20300120108020x60°A+－90kN90kN+135kNm[例5]已知：F=180kN，l=1.5m，求A點斜截面上的應(yīng)力。z20300120108020解：x60°∴FAll30°

60°

60°A

60°

60°τxysysxτyxsata二、最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力連續(xù)周期函數(shù)必有極值sxsytyxtyxtxysxsytxy二、最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力得：sminsmaxsmaxsminτxysysxτyxsata0切應(yīng)力箭頭所在象限就是最大正應(yīng)力所在象限。圓心：半徑：令

=0，可得主平面的方位：即：主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力。由得三、主平面和主應(yīng)力sminsmaxs1=smaxs2=smin0s1=s2=[例5]20x5030求主應(yīng)力大小和主平面方位，并在單元體上畫出主平面和主應(yīng)力。單位MPa解：∴x在單元體上畫出主平面和主應(yīng)力s1s1s3s320x5030xs1s1s3s3切應(yīng)力箭頭所在象限就是最大正應(yīng)力所在象限。分析受扭構(gòu)件的應(yīng)力狀態(tài)。解:(1)單元體如圖所示(2)主應(yīng)力xytxytyx[例6]

txyAtyxmCAmmm(2)主平面所在方位xytxytyxs1=ts1s3=-ts3s1s1s3s3鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口分析

低碳鋼試件扭轉(zhuǎn)時的屈服現(xiàn)象是材料沿橫截面產(chǎn)生滑移的結(jié)果，最后沿橫截面斷開，這說明低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞是橫截面上最大剪應(yīng)力作用的結(jié)果即對于低碳鋼這種塑性材料來說，其抗剪能力小于抗拉或抗壓能力。鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)時，大約沿與軸線成螺旋線斷裂，說明是最大拉應(yīng)力作用的結(jié)果。即對于鑄鐵這種材料，其抗拉能力小于抗剪和抗壓能力。[例7

]求圓桿表面A點的主應(yīng)力及主平面。已知：P=6.28kN，m=47.1N·m，d=20mm。mmAPPστστAτσTNmmAPPσστAτσ解：Aτσxs1s1s3s3AmmAPPs1s1s3s3求C截面左側(cè)a、b兩點的主應(yīng)力及主平面。[例7]+–200kN50kN+bsbasaaaz1515270120b9250kNABC1.6m2m解：az1515270120b9asaaaz1515270120basaτaxs1s1s3s3az1515270120bbsbxyzs2s1s3§10–4空間應(yīng)力狀態(tài)sxsztxysxs

ytyxtyztxztzytzxs

y最大切應(yīng)力為：s2s1s3s1s2s3最大正應(yīng)力為：斜面上的應(yīng)力s求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（MPa）由單元體圖知：yz面為主面5040xyz30解：503040[例11]

求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（MPa）由單元體圖知：yz面為主面5040xyz30ABC解：3040∴[例11]

50§10–5

廣義胡克定律sxsztxysxs

ytyxtyztxztzytzxs

y一、一點的變形

(線應(yīng)變和角應(yīng)變)xyz設(shè)單元體的三個邊長分別為lx、ly、lz受力后三個邊長分別伸長Δx、Δy、Δz線應(yīng)變角應(yīng)變二、單向拉（壓）時的胡克定律xyzsxPPA三、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系ttttmmAγxyz

x

y四、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:

xyzszsytxysxsxxsxsysyszsztxytyxtzytyztxytxz

xyzszsytxysxsxsxsysyszsz上式稱為廣義胡克定律sxxsxsysyszsztxytyxtzytyztxytxz

xyzszsytxysx上式稱為廣義胡克定律主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系s1s3s2sxsytyxtyxtxysxsytxy對于平面應(yīng)力狀態(tài)問題：∵[例題已知：E=200GPa,μ=0.3，應(yīng)力單位為MPa，求對角線AC的改變量ΔlACA15C30°3025[例題]已知：E=200GPa,μ=0.3，應(yīng)力單位為MPa，求對角線AC的改變量ΔlACA15C30°30251530°σ30°xσ-60°60o(30,-15)(0,15)120o1530°σ30°xσ-60°解：A15C30°30251530°σ30°xσ-60°圖示28a工字鋼梁，查表知，IZ/SZ=24.62cm,腹板厚d=8.5mm，材料的E=200GPa，

=0.3，在梁中性層處粘貼應(yīng)變片，測得與軸線成45°方向的線應(yīng)變?yōu)?－2.6×10－4，求載荷P的大小。[例14]zyPAB2m1m45°ts3s1s1=ts3=－t解：ts3s1=ts1s3=－t∵∵壓力容器應(yīng)力測量工程實例如圖所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。材料的彈性常數(shù)E=200GPa，

=0.3，在容器表面處粘貼兩個應(yīng)變片，測得線應(yīng)變?yōu)?=6.36×10－4，2=1.5×10－4，求測點的應(yīng)力大小。[例4]p解：應(yīng)力單元體如圖所示A1212習(xí)題7-47-57-91、拉(壓)時的強度條件ssFF塑性材料：脆性材料：ss§10–6強度理論2、扭轉(zhuǎn)時的強度條件塑性材料：脆性材料：ttttttmm3、彎曲時的強度條件ttttsmaxMtmaxss4、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件s2s1s3最理想的強度條件：由于三個主應(yīng)力間的比例有無限多種可能性，要在每一種比例下都通過對材料的直接試驗來確定其極限應(yīng)力值，將是難以做到的。解決這類問題，經(jīng)常是依據(jù)部分實驗結(jié)果，觀察其破壞現(xiàn)象，經(jīng)過推理，提出一些假說，推測材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞的主要因素，認(rèn)為當(dāng)這個因素達到一定值時，材料發(fā)生破壞，由此來建立強度條件。我們把這類假說稱為強度理論。材料的破壞形式：屈服（塑性）和斷裂（脆性）。強度理論是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強度失效（failurebyloststrength）起因”的假說，它是否正確，適用于什么情況，必須由生產(chǎn)實踐來檢驗。相應(yīng)地，強度理論也分成兩類：一類解釋斷裂失效：另一類解釋屈服失效。最大拉應(yīng)力是引起材料脆斷破壞的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，一、最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）

四種常用強度理論時斷裂。強度條件：使用范圍：適用于脆性材料斷裂σ1=σbσ1PPs2s1s3最大伸長線應(yīng)變是引起材料脆斷破壞的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，二、最大伸長線應(yīng)變理論（第二強度理論）

時斷裂。σ1=σbσ1PPs2s1s3斷裂強度條件：使用范圍：適用于脆性材料σ1=σbσ1PPs2s1s3斷裂最大切應(yīng)力是引起材料屈服的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，三、最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）σ1=σsσ1時材料發(fā)生屈服。PPs2s1s3Tresca屈服準(zhǔn)則強度條件：使用范圍：適用于塑性材料屈服σ1=σsσ1PPs2s1s3四、形狀改變比能理論（第四強度理論）

1、軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能ΔllF已知:F、A、l、E桿件發(fā)生彈性變形，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)樽冃文苜A存在桿內(nèi)，這種能稱為應(yīng)變能（StrainEnergy），用“V”表示。不計能量損耗時，外力功等于應(yīng)變能。EAFll=D

F2、應(yīng)變比能v

——單位體積的應(yīng)變能∴應(yīng)用應(yīng)變能，可以求解結(jié)構(gòu)的變形和強度問題。∵

PP3、體積改變比能和形狀改變比能s2s1s3smsmsms1s

3s

2體積改變，形狀不變形狀改變，體積不變形狀改變比能形狀改變比能是引起材料屈服的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，4、形狀改變比能理論（第四強度理論）

σ1=σsσ1時材料發(fā)生屈服。s2s1s3強度條件：使用范圍：適用于塑性材料VonMises屈服準(zhǔn)則屈服s2s1s3屈服其中，eq—相當(dāng)應(yīng)力。s2s1s3

eq

eq相當(dāng)強度條件：相當(dāng)應(yīng)力：強度條件：如圖所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器，材料Q235鋼，[]=160MPa。容器所承受的內(nèi)壓力為p=3MPa，容器內(nèi)徑D=1m，壁厚=10mm。校核其強度。[例10-11]p1122安全解：安全sts[例7]解：寫出典型二向應(yīng)力狀態(tài)的解：危險點A的應(yīng)力狀態(tài)如圖直徑為d=50mm的圓桿受力如圖，m=1.4kN·m，P=100kN，材料為Q235鋼，[]=140MPa，試校核桿的強度?！喟踩mPmA[例8]ATN工字形截面梁，材料為Q235鋼，s=235MPa，b=380MPa，P=476kN，取安全系數(shù)n=2.5，試全面校核梁的強度。[例3]PAB3m3.9mz202050030020PAB3m3.9mA截面左側(cè)內(nèi)力最大，是危險截面。解：許用應(yīng)力+–366kN110kN內(nèi)力圖如圖所示，2、彎曲切應(yīng)力強度1、彎曲正應(yīng)力強度3、腹板與翼板交界處的強度z202050030020abc+F為什么要考慮腹板與翼板交界處的強度？stz202050030020AAcsctccPAB3m3.9mz202050030020安全。abτas1、彎曲正應(yīng)力強度