【教學(xué)課件】簡(jiǎn)單的三角恒等變換（第一課時(shí)）參考教學(xué)課件

簡(jiǎn)單的三角恒等變換第一課時(shí)

追問(wèn)1

已知角

與待求角

有什么關(guān)系？目前我們掌握的公式中，有沒(méi)有相關(guān)公式可以將具有這種關(guān)系的角聯(lián)系起來(lái)？

二倍角公式新知探究例1

試以cosα表示

．

在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以

代替α，得

，所以

．

①在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以

代替α，得

，所以

．

②將①②兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除，得

．新知探究例1

試以cosα表示

．

與代數(shù)恒等變換相比，進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)存在所含的角差異，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，所以進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，常常要先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇適當(dāng)?shù)墓剑轮骄繂?wèn)題2

經(jīng)歷了例1的解決過(guò)程之后，你能談一談三角恒等變換與代數(shù)恒等變換二者之間有何區(qū)別嗎？符號(hào)由

所在象限決定新知探究半角公式新知探究降冪公式

練習(xí)：求證：

．所以得證．新知探究證法一：因?yàn)?/p>

練習(xí)：求證：

．又

即所以得證．新知探究證法二：因?yàn)?/p>

（1）（2）新知探究例8

求證：你能根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的不同點(diǎn)借助相關(guān)公式設(shè)計(jì)變換過(guò)程嗎？問(wèn)題3

（1）中式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不同？

你能根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的不同點(diǎn)借助相關(guān)公式設(shè)計(jì)變換過(guò)程嗎？可以從兩個(gè)不同的角度回答這個(gè)問(wèn)題：第一，從所含角的角度考慮，等式左側(cè)包含角α及β，而等式右側(cè)包含了α與β的和角以及差角，因此如果從等式右邊出發(fā)，借助和角公式與差角公式化簡(jiǎn)，最后可以化成等號(hào)左邊的形式；第二，從運(yùn)算結(jié)構(gòu)的角度考慮，等號(hào)左側(cè)是sinα與cosβ的乘積，而右側(cè)是加的形式，如果設(shè)計(jì)從左向右的變換過(guò)程，新知探究問(wèn)題3

（1）中式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不同？

需要將積轉(zhuǎn)化為和的形式，回顧所學(xué)公式，在公式S(α＋β)

，S

(α＋β)中遇到過(guò)sinαcosβ這一結(jié)構(gòu)，但上述兩個(gè)公式中同時(shí)都包含了sinαcosβ這個(gè)結(jié)構(gòu)，因此需要兩個(gè)式子用加減消元法消去sinαcosβ即可證明待證結(jié)論．這兩種思考方法是本質(zhì)上是一致的．新知探究你能根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的不同點(diǎn)借助相關(guān)公式設(shè)計(jì)變換過(guò)程嗎？問(wèn)題3

（1）中式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不同？

從等式兩側(cè)所含角的角度考慮，（1）的右側(cè)所含角是左側(cè)所含角的和角與差角，而（2）的左側(cè)所含角是右側(cè)所含角的和角與差角；從運(yùn)算結(jié)構(gòu)考慮，（1）左側(cè)積結(jié)構(gòu)是右側(cè)和結(jié)構(gòu)的一半，（2）左側(cè)和結(jié)構(gòu)是右側(cè)積結(jié)構(gòu)的二倍．綜合以上分析，只需將（1）式等號(hào)兩側(cè)交換，再將α，β分別替換成

即可得到（2）．新知探究問(wèn)題4

注意觀察（2）式的左右兩側(cè)，它與（1）的結(jié)構(gòu)特征有何區(qū)別？?jī)蓚€(gè)等式之間有什么聯(lián)系？

證明：（1）因?yàn)閟in（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝

［sin（α＋β）＋sin（α－β）］．新知探究（1）例8

求證：

證明：（2）由（1）可得sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ．

③設(shè)α＋β＝θ，α－β＝φ，那么把α，β的值代入③，即得sinθ＋sinφ＝新知探究（1）（2）例8

求證：

我們進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，應(yīng)首先分析已知條件與目標(biāo)之間的差異，這些差異可能是所含角的差異，也可能是三角函數(shù)名稱的差異，或是結(jié)構(gòu)差異等等，找到“差異”之后，再選擇合適的公式，將這個(gè)“差異”逐步“拉近”，就可以一步一步達(dá)到目標(biāo)．在變換中經(jīng)常用到化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想以及換元法．回顧小結(jié)問(wèn)題5

我們?cè)谶M(jìn)行三角恒等變換時(shí)，應(yīng)該怎樣進(jìn)行分析？在變換中經(jīng)常會(huì)用到哪些數(shù)學(xué)思想或方法？

目標(biāo)檢測(cè)2．已知等腰三角形的頂角的余弦等于

，求這個(gè)三角形的一個(gè)底角的正切．答案：1．