高等數(shù)學(xué)自我檢查試題集

高等數(shù)學(xué)自我檢查試題集第一部分高等數(shù)學(xué)上冊自我檢查試題一填空（每小題3分，滿分15分）設(shè)的定義域為[1，5)，則的定義域為_________________。。則。已知、、都是單位向量，且，則。設(shè)，則。單項選擇（每小題3分，滿分15分）1．當時，變量是的（）無窮小。（A）等價（B）同階但不等價（C）高階（D）低階2．設(shè)二階可導(dǎo)，且，則是的（）。（A）極大值（B）極小值（C）駐點（D）拐點3．設(shè)，當?。ǎr，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。（A）2（B）1（C）-1（D）04．已知曲線在處有水平切線，且，則曲線在處的曲率為（）。（A）0（B）1（C）2（D）5．下列廣義積分發(fā)散的是（）。（A）（B）（C）（D）計算題（每小題7分，滿分49分）求。設(shè)是由所確定的隱函數(shù)，求。設(shè)，其中在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。求不定積分。已知，且，計算。求過點垂直于直線且平行于平面的直線方程。設(shè)，試求在上的最大值和最小值。應(yīng)用題（每小題8分，滿分16分）設(shè)平面圖形D由曲線所圍成，求D的面積；求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。將長為a的鐵絲分成兩段，一段圍成正方形，一段圍成圓形。問這兩段鐵絲各長為多少時，正方形與圓形的面積之和為最小。證明題（5分）設(shè)在[0，1]上連續(xù)，且，證明：在[0，1]上有且僅有一根。自我檢查試題二填空（每小題3分，滿分15分）若的定義域為（0，1），則的定義域為____________________。設(shè)，則。曲線的拐點是______________。曲線在點處的曲率。位于平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程是____________________。單項選擇（每小題3分，滿分15分）1．函數(shù)在處（）。（A）連續(xù)且可導(dǎo)（B）連續(xù)但不可導(dǎo)（C）可導(dǎo)但不連續(xù)（D）不連續(xù)也不可導(dǎo)2．設(shè)，且，則在處（）。（A）不可導(dǎo)（B）可導(dǎo)，且（C）取極大（D）取極小3．設(shè)對一切x恒成立，且當時，有，則在內(nèi)一定有（）。（A）（B）（C）（D）4．雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為（）。（A）（B）（C）（D）5．設(shè)直線L為：，平面為：，則直線L與平面的相互關(guān)系是（）。（A）L∥π，但L不在π上（B）L在π上（C）L⊥π（D）L與π斜交計算題（每小題7分，滿分49分）求極限。設(shè)，求。設(shè)，求。求不定積分。求定積分。求過點的直線L，使L與z軸相交且與已知直線：垂直。曲線與所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)體的體積。應(yīng)用題（每小題8分，滿分16分）求曲線在區(qū)間（2，6）內(nèi)的一條切線，使得該切線與直線和曲線所圍成的圖形面積最小。一正圓錐的半徑以的速率增加，而它的高以的速率減少，求該圓錐在半徑為30cm，高為70cm時的體積變化率。證明題（5分）設(shè)在上，且可導(dǎo)，證明存在，設(shè)。自我檢查試題三填空（每小題3分，滿分18分）函數(shù)的定義域為__________________。若，則。如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間的內(nèi)部只有一個極大值點，沒有極小值點，那么函數(shù)的最______值與極______值相同。。。。單項選擇（每小題2分，滿分12分）1．下列陳述中錯誤的是（）。（A）圖形是橢球面（B）的圖形是母線平行于z軸的圓柱面（C）的圖形是直線（D）在空間直角坐標系中，的圖形是原點2．下列各極限中極限值為e的是（）。（A）（B）（C）（D）3．設(shè)函數(shù)在處處連續(xù)，則（）。（A）0（B）1（C）（D）4．在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件的函數(shù)是（）。（A）（B）（C）（D）5．設(shè)在區(qū)間I上，則在I上（）。（A）（B）（C）（D）6．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則（）。（A）1（B）（C）（D）計算題（每小題7分，滿分49分）求。求。設(shè)，求。求曲線在其拐點處的曲率。設(shè)函數(shù)，計算。求過兩平行直線和的平面方程。設(shè)，求。應(yīng)用題（每小題8分，滿分16分）一位飛機觀察員觀察到一架飛機正在1143m的高度向他飛來，仰角為，并以的速度增加，問飛機的地面速度是多少？設(shè)圖形由與圍成，求面積S，并求其繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉立體的體積。證明題（5分）設(shè)在[0，1]上連續(xù)，且。證明在（0，1）內(nèi)至少存在一點，使得。第二部分高等數(shù)學(xué)下冊自我檢查試題一填空（每小題3分，滿分15分）設(shè)，則。曲面在點（2，1，0）處的切平面方程為______________________。微分方程滿足的特解為_________________。設(shè)是以為周期的函數(shù)，且，則它的傅立葉級數(shù)在點處收斂于________________。函數(shù)在處的泰勒級數(shù)為___________________________________。單項選擇（每小題3分，滿分15分）1．設(shè)函數(shù)，在點（0，0）處為（）。（A）連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在（B）的偏導(dǎo)數(shù)存在但不連續(xù)（C）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在（D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在2．設(shè)，則u在點處的方向?qū)?shù)的最大值為（）。（A）（B）4（C）（D）{2，4，2}3．曲線積分，其中L是從O（0，0）經(jīng)A（1，1），B（2，0）到O（0，0）的閉折線，則其值是（）。（A）2（B）（C）0（D）14．設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則交換積分次序后為（）。（A）（B）（C）（D）5．設(shè)是平面被圓柱面截出的有限部分，則曲面積分的值是（）。（A）0（B）（C）（D）計算題（每小題7分，滿分42分）設(shè)，求。計算。設(shè)，求。求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。設(shè)是所圍立體的表面，取外側(cè)，求曲面積分。求微分方程滿足初始條件的特解。四、（9分）設(shè)，且曲線積分在右半平面內(nèi)與積分路徑L無關(guān)。求未知函數(shù)；計算從點（1，0）到（2，1）的曲線積分的值。五、（11分）在曲面上，求該曲面的切平面，使其在三坐標軸上的截距之積為最大。六、（8分）判別級數(shù)的斂散性。自我檢查試題二填空（每小題3分，滿分15分）函數(shù)在點處的梯度為____________________。已知方程確定，則。一曲線構(gòu)件L：上任一點處的線密度，則L的質(zhì)量為________________。冪級數(shù)的收斂半徑為________________。方程的通解為___________________。單項選擇（每小題3分，滿分15分）1．().(A)0(B)1(C)2(D)2．=（）。（A）（B）（C）（D）3．設(shè)，且以4為周期，則的傅立葉級數(shù)在處（）。（A）收斂于3（B）收斂于2（C）收斂于1（D）收斂于04．若是二階非齊次線性方程的三個線性無關(guān)的特解，為任意常數(shù)，則該方程的通解是（）。（A）（B）（B）（D）5．設(shè)為正常數(shù)，則級數(shù)是（）。（A）發(fā)散（B）絕對收斂（C）條件收斂（D）斂散性與有關(guān)計算題（每小題7分，滿分49分）已知，其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。設(shè)，其中z是由所確定的x，y的函數(shù)，求。設(shè)D：所圍，求。設(shè)：位于第一卦限的部分，求。計算曲線積分，其中L為上點（1，0）和（e，1）間的弧段。已知在右半平面內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分，其中可導(dǎo)，且，求及。求微分方程的通解。四、（8分）求級數(shù)的和函數(shù)，并求其收斂區(qū)間。五、（9分）設(shè)，試問將質(zhì)點M從原點沿直線移到直線上哪一點時，作功最?。坎⑶笞钚〉墓?。六、（4分）若級數(shù)和都收斂，求證：收斂。自我檢查試題三填空（每小題3分，滿分15分）周期為2的函數(shù)在一個周期內(nèi)表達式為，則它的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)在處的值是________________。設(shè)，則。若二重積分的積分域D的面積為A，則。設(shè)L為，則。微分方程的通解為______________________。單項選擇（每小題3分，滿分15分）1．微分方程的特解形式是（）。（A）（B）（C）（D）2．設(shè)，則下列結(jié)果中錯誤的是（）。（A）（B）（C）（D）3．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則（）。（A）（B）（C）（D）4．設(shè)簡單閉曲線L所圍區(qū)域的面積為S，則S=（）。（A）（B）（C）（D）5．設(shè)常數(shù)，則級數(shù)（）。（A）發(fā)散（B）絕對收斂（C）條件收斂（D）收斂或發(fā)散與k的取值有關(guān)計算題（每小題8分，滿分48分）設(shè)，求和。求函數(shù)在曲線上點（1，1，1）處，沿曲線在該點處的切線正方向（對應(yīng)于t增大的方向）的方向?qū)?shù)。計算二重積分，其中D是曲線和在第一象限所圍區(qū)域。計算為球面的