希爾伯特幾何公理

實用標準文案實用標準文案文檔大全文檔大全文檔大全文檔大全希爾伯特幾何公理佛山石門中學高二（2）鄧樂濤一、符號及一些說明有三組不同的對象：點，直線，平面點用來表示；直線用……來表示；平面用aBY§來表示。點稱為直線幾何的元素，點和直線稱為平面幾何的元素，點、直線和平面稱為立體幾何的元素那么點，幾何元素之間又有一定的相互關系①點在直線上：ZZZ②點在平面a上：AAA③直線在平面a上：AAA（直線的每一點都在平面上）④點在點與點之間：AAAA（我自己規(guī)定的符號）⑤線段與相等：AAAAA（原書是用A號的，不過對于我們不常見，所以我用了=號）⑥NAAA與NAAA相等：NZAAANAAA等等……（線段，角之類的能在點線面下給出定義，具體在敘述公理的時候再說）在希爾伯特幾何里面，其實點直線和平面是三個未定義的數(shù)學對象，在上面給的最基本的關系也是沒有定義的，也就是說用什么來代表這些東西都是可以的，正如希爾伯特所說“我們必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’來代替‘點、線、面’”。最簡單的例子就是解析幾何:我們定義點是實數(shù)對，定義線是{{{{{{{{{{{{{{{{{，其實在這個定義下，“幾何”已經(jīng)失去了“直觀”的形式了，因為在這個定義下的幾何圖形就變成了毫無幾何直觀的數(shù)字了，只是我們方便研究又將它畫在了坐標系中而已。我這里的關系符號，，并不來自于集合論，不要混淆，要再強調(diào)的是他們本身沒有含義，我只是借用過來化簡論述罷了?？傊柌貛缀危褪菍⒅庇^地幾何語言（歐氏幾何）抽象成了邏輯語言，我們所有的幾何定理都可以用邏輯推理得到。（其實希爾伯特幾何就是完備化的歐氏幾何）公理關聯(lián)公理本組公理有八條，是前面所提的點，直線，平面這三組對象之間建立的一種聯(lián)系：（為了方便論述，以后說二、三……點的，直線或平面是，都是指不同的點，直線或平面）：對于兩點和，恒有一直線a使得{{{{{（存在性）；：對于兩點和b至多有一直線a使得{{{{{（唯一性）；（對于1,，2我們可以說兩點確定一直線）：一直線上至少有兩點，至少有三點不在同一直線上；3：對于不在同一直線的三點和，恒有一平面a，使得{{{{{{{；（存在性）對于任一平面{，恒有一點a使得{{{；：對于不在同一直線的三點和c至多有一平面a，使得{{{{{{{；（唯一性）（對于4,，5我們可以說三點確定一平面）：若A44AZ且A44AA,則ZAA；6：若兩平面a,B有一個公共點，則他們至少還有一個公共點；7：至少有四點不在同一個平面上。8以上。其實我想用形式語言寫出來的，但是實在書上的太難翻譯，而且符號難打，所以放棄了。公理順序公理本組公理有四條，規(guī)定了“在……之間”這個關系。根據(jù)這個概念，直線上的，平面上的，空間上的點才有順序可言。I對于點，如果AAAA，則點是直線上不同的三點;這時，AAAA也成1立；（如圖）A*c對于點AAAAA,恒有一點AAA,使得AAAA；（如上圖）2一直線的任意三點中，至多有一點在其他兩點間；實用標準文案實用標準文案實用標準文案實用標準文案文檔大全文檔大全文檔大全文檔大全根據(jù)上面，我們就可以定義線段了：對于直線和直線上的兩點,我們把這一點對稱為線段，用或表示。在和之間的點叫做線段的點；點和點叫做線段的端點。設是不在同一個平面的三點：對于在平面且不經(jīng)過點的直線a若交于線段的一點，則它必定交于線段或的一點（如圖）以上。接下來定義射線先定義同側(cè)：設，是直線上的四點，而在之間，但不在，之間，則和A稱為在上點的同側(cè)，而兩點稱為異側(cè)。那么射線就定義為直線上點同側(cè)的點的全體。比如與上圖關于點與同側(cè)的射線我們記為（雖然跟線段的記號一樣，但注意不要混淆）公理合同公理本組公理包含五條公理，主要說明幾何對象“相等”的關系。：對于線段和一點‘恒有一點’使得線段與線段AB相等，記1為AAAA，A，因為線段與端點的次序無關，所以一下四個等式的意義相同：AAAA'A',AAAA'A',AAAA'A',AAAA'A'：若八八八八'八'且八八八AAAA則A'A'AAAAA2（根據(jù),我們才能得到線段與自己相等，才能得到AAAA'A'與''等價,這并不是不證自明的事實,有了這個我們才能說兩線段“互相相等”?？偠灾鶕?jù)1,我2們才能得到線段相等的“反身性”,“對稱性”,和“傳遞性”,這才說明這是一個等價關系。）：線段,在同一直線上，且無公共點；線段'’''在同一直3線'上，且也無公共點。如果AAAA'A'且AAAA'A'則AAAA'A'這條公理還要求線段能夠相加，可以定義（其中共線）相當于線段一樣,我們也這樣來規(guī)定角相等。我們先定義角的概念：對于不同一直線的三點，射線，和射線的全體我們稱為角記為乙444。稱為乙444的頂點，射線，和射線不稱為乙444的邊。同樣與的次序無關。根據(jù)定義，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考慮的范圍內(nèi)。：對于N444,和一條射線o’在射線o'所在的一個平面內(nèi)有且只4有一條射線o,使得/444與NZ/'4’相等，記為N4444NZ'Z'Z’。而且有々44A乙444。如同線段一樣，下面四條等式的意義是一樣的NAAAANA'A’Z',NZAAA乙AA,'ZNAAAAN4A’A’ANAAAANA‘A‘A'然后先定義三角形：線段所構成的圖形，記為AAAA。：若AAAA與AA’A’A',有下列等式5’’’’NN’’’則有NAAAAN4A'A'ANAAAANZ‘‘A'A這條公理可以理解為三角形全等（），事實上這個公理的直接推論。公理平行公理這條公理顯得很蒼白，但在歷史上很重要……先定義平行：對于同一平面上的兩條直線線和b與無公共點，則稱與平行，記為AAA實用標準文案實用標準文案實用標準文案實用標準文案文檔大全文檔大全文檔大全文檔大全（歐幾里得平行公理）：設是任意一條直線，是外的任意一點，在和所決定的平面上，至多有一條直線b使得ZZZ且ZZZ。根據(jù)這個公理，我們可以得到平行線內(nèi)錯角，同位角相等；反之也成立。公理連續(xù)公理（阿基米德原理）：對于線段,則必定存在一個數(shù)n使得沿著射線，1自作首尾相連的個線段D必將越過點。在這里必須說下數(shù)的阿基米德原理：任意給定兩個數(shù)掰bZ44,必存在正整數(shù)n使（直線完備公理）：將直線截成兩段不是直線）對于任意的eaGb2則總存在一個點cGB也就是說，不再存在一點不在直線上，把這點添加到直線上之后，仍滿足前面的公理的（書上的描述太籠統(tǒng)，我還是用我自己的話說了）要注意的是直線完備公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！二、公理的相容性這里所謂的相容性，就是這五組公理是互不矛盾的。也就是說，不能從這些公理推導到相矛盾的結果。但是，如果直接從公理出發(fā)證明相容性幾乎是一件不可能的事情(而且如果一個公理體系含有皮亞諾算術公理的話，這還是一個不可能的事情，這是根據(jù)哥德爾不完全定理得到的)，那么我們應該如何來證明呢？希爾伯特將方向轉(zhuǎn)向了“數(shù)”。我們只說明平面幾何(因為好說明)，立體幾何類似。。我們考慮的是實數(shù)域R點我們用實數(shù)對來表示：；直線我們用來表示：。兩條直線，平行，當且僅當((((((點在直線上：點在點與點之間：共線；對于點，線的平移，對稱，旋轉(zhuǎn)的變換，我們用一個變換來表達：((′((((((((，其中(?((((((((然后如果線段相等就是，兩線段在以上的坐標變換中能重合，角亦然。(把線段和角也看做點的集合，定義懶得寫了)那么用以上規(guī)定幾何對象公理（關聯(lián)公理）顯然都是成立的，只需要用到①②③規(guī)定。公理（順序公理）顯然也都是成立的，再加上④規(guī)定。公理（合同公理）也是成立的，加上規(guī)定⑤。需要一點點論述，就是點與直線在經(jīng)過⑥的變換后仍然是我們所研究的幾何對象（也就是說x’都還是實數(shù)，其實就是要說明內(nèi)形的數(shù)還是實數(shù)，這是顯然的）公理（平行公理）在直線的這種規(guī)定下是成立的。公理（連續(xù)公理）根據(jù)實數(shù)的完備性，還有實數(shù)是阿基米德域這一性質(zhì)可以直接得到。也就是說我們所做的規(guī)定都是滿足“稱為幾何”的性質(zhì)的，我們便可以將這些實數(shù)，實數(shù)對作為幾何對象。那么這樣，就把這五組公理的相容性就與算術的相容性聯(lián)系在了一起了。那么只需要證明算術的相容性就可以了。關于算術的相容性，這里是對于實數(shù)理論，但是其相容性能在自身證明（這是個完備的公理系統(tǒng)）。但是按照希爾伯特的意愿一般來說指的是皮亞諾算術公理的相容性，不過根據(jù)哥德爾不完備定理，這是在算術公理內(nèi)是無法自證的，只能根據(jù)另外一個跟更強的公理系統(tǒng)（比如說集合論公理）來證明，可是這“另外一個公理系統(tǒng)”的相容性，又不能用自身證明了（根茨（n-年使用超限歸納法證明了算術公理系統(tǒng)的無矛盾性）。簡短提一下的是，這個幾何公理系統(tǒng)不僅是相容的，而且是完備的（就是這個公理的任一語句都能在這個公理系統(tǒng)內(nèi)證明，即確定其真值）三、平行公理的獨立性（非歐幾何）我們知道了公理的相容性之后，其實還有一個有趣的問題是公理的獨立性，雖然這并不影響論證（多些方便的公理還方便于論證呢），但是數(shù)學家們總喜歡簡潔的東西……額不說了。什么是獨立性？就是一個公理不能是其他公理的邏輯推論。如何證明這里某個公理獨立性？一個辦法就是剔除掉這個公理，然后根據(jù)其它公理構建一個新的模型，使得被剔除掉的公理不滿足于這個模型。歷史上最令人爭議的就是平行公理了，也就是用歐幾里得提出的公理來證明平行公設……當然都失敗了。之后，人們就發(fā)現(xiàn)了非歐幾何。什么是非歐幾何學？其實就是滿足以上除了平行公理的所有公理的幾何模型。既然有了非歐幾何，那么平行公里的獨立性就不證自明了?，F(xiàn)在主要是分成兩種，一個是黎曼幾何，一個是羅氏幾何。然而黎曼幾何我不清楚（手頭的書也沒有），所以我不提……對于羅氏幾何，來代替原來平行公理的公理描述如下：如果是任一直線，且是不在上，則過點有不在同一直線的兩條射線，，它們與都不相交，而且在，所成角內(nèi)的任一射線都與都相交。實用標準文案實用標準文案實用標準文案實用標準文案文檔大全文檔大全文檔大全文檔大全然后非歐幾何學最簡單的一個特例就是球面幾何，連高中選修都會講到只需要定義“直線”為大圓便好我就不深入了。四、合同公理的獨立性相對平行公理來說，合同公理的獨立性并沒有在歷史上并沒有引起太大的爭議。因為合同公理并沒有什么卵用，所以我們只需要說明公理可以說是三角形全等的具有獨立性就好。一般來說，我們定義線段相等就是長度相等，角相等就是角度相等，而我們所說的長度，比如對AA^M^AAt嗎啊AAA的長度就為A%K砥肉迺，這個可以在前面在規(guī)定坐標變換中得到。接下來我們便拋棄這個“長度”的設定（就是拋棄上面規(guī)定⑥中線段相等的定義）,噢，要保留原來角相等的設定。我們新定義一個長度：對于A%AAAAaAAAAAAA的長度就為AMaaAaaAaaJ\PaA時八aAa&AAAAAAAAAA規(guī)定線段相等就是長度相等。在這個規(guī)定下驗算公理都是成立的。只不過唯獨對于就不一1~45定成立了。舉一個反例：顯然NAAAANAAA,。按照公理有NAAAAZAAA,但是在這種5規(guī)定下顯然NAAAAZAAAo從而證明了公理的獨立性。五、連續(xù)公理的獨立性這是我們要敘述獨立性的最后一組公理（其他的沒必要）。同上面的方法一樣，我們又得找一個數(shù)學對象只滿足公理了。我們又是要把研究的方向轉(zhuǎn)向了數(shù)。其實在說明五組公理的相容性的時候我們是用了實數(shù)域來構建幾何，其實域有許許多多，而實數(shù)恰好又滿足眾多域不滿足的性質(zhì)：完備性，阿基米德原理。那么其實我們只要找一個域不滿足這兩個性質(zhì)的就好，然而這樣的域又有許許多多。（域通俗來說就是滿足加減乘除的東西的集合，當然還要滿足乘法交換率）首先我們很容易就構建一個域，從開始，其加減乘除，還有AA3A（⑴是經(jīng)過這五種運算的結果）的得到的所有結果都放在里。那么這個域的數(shù)字構造的幾何對象滿足公理,但是因為其自身并不滿足完備性（也就是畫出來的數(shù)軸有“洞”），比如說nW區(qū)也就從而說明了完備性的獨立性。題外話，這個域其實挺重要的，在證明尺規(guī)作圖的可行性就是基于這個域。然后是非阿基米德域，也就是不滿足阿基米德原理的數(shù)域，舉個最簡單的例子，一個集合W版星生生生期密衛(wèi)生梃生生名可以驗證其加減乘除都在W解星建，所以這是一個域。這是實數(shù)的一個子集，我們一般描述這個集合里這些數(shù)的序關系是最簡單的大小關系，比如說WW就比注注即顯。然后我們要構建一個新的描述這些數(shù)的序關系，在這個序關系下生題⑥謔一個非阿基米德域。定義序關系生WW生生眈圖生生生生混生生解生生生生郵生生生生解W廨舉個例子WW粗降比生生生生解生匹生生眥降比生生生史等等。也就是優(yōu)先比較W@曲勺大小.那么在這個順序關系下，生題隼講不滿足阿基米德原理（由讀者自己驗證），所以這是一個非阿基米德域。當然非阿基米德域還有好多好多，比如說上面的域F也可以找一個類似的序關系來代替掉大小關系（這種序關系），使得是一個非阿基米德域。再構造幾何對象，那就是一個除了連續(xù)公理（完備性和阿基米德原理兩個個都不滿足）的幾何體系了。不過值得注意的是同時滿足阿基米德原理和完備性的就只有實數(shù)了。這點也說明了希爾伯特幾何的唯一性。六、一些補充皮亞諾算術公理0不是任何數(shù)的后繼數(shù)與的后繼數(shù)相等，則與相等，為算術公理的任一公式這個就是數(shù)學歸納法存在零元和幺元加法的定義乘法的定義這里就是后繼數(shù)，比如1的后繼數(shù)就是2.這里的公理3,5決,定6了皮亞諾公理的不完備性，具體怎樣就不說了，哥德爾不完備定理的證明用的是遞歸函數(shù)，然后遞歸函數(shù)又是以公理3,5所,定6義的。實數(shù)公理約定，所有實數(shù)記為此一部分實數(shù)X記為XX設中存在實數(shù)x則記為XXX1.加法公理零元存在性存在相反數(shù)加法結合律加法交換律.乘法公理幺元存在性存在倒數(shù)乘法結合律乘法交換律.乘法對加法的分配率4.序公理XXXXXXX反身性反對稱性傳遞性任意兩個實數(shù)都能比較大小加法和乘法與序的關系不等式兩端同時加上一個實數(shù)，不等號方向不改變正數(shù)之積為正數(shù)完備公理1)對于任意的兩部分實數(shù),滿足對于任意實數(shù)vwvVWV,有VVV,則存在一個實數(shù)c使得VVVVV。對于完備公理，要說明一下，這里用的是二階邏輯來寫的。還有只域才滿足。舉個例子。如果自然數(shù)%滿足完備公理，我把自然數(shù)分成兩部分:，那么不存在一個數(shù)(,),這個數(shù)就是V?這里對應的就是直線的完備公理。關于公理系統(tǒng)什么是公理系統(tǒng)？一個公理系統(tǒng)可以這樣理解：它是一個形式化的語言，由字符表（比如幾何公理中用Aaa表示的點線面），形成規(guī)則（邏輯公理，就是推理的規(guī)則，還有非邏輯公理，就是我們給出的公理，比如說完備公理），還有公式（按照形成規(guī)則構成的字符串）組成。他們沒有任何含義，就像一部按規(guī)則擺弄拼湊字符的機器罷了，它們給出的只是語法。而給出一個公理系統(tǒng)實際意義的，稱為模型。比如實數(shù)1,2等,等3還有其加法乘法，就是上面實數(shù)公理的實際