小升初復(fù)習(xí)重難點一幾何五大模型

幾何五大模型一、五大模型簡介等積變換模型1、等底等高的兩個三角形面積相等；2、兩個三角形高相等，面積之比等于底之比，如圖①所示，S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b；3、兩個三角形底相等，面積在之比等于高之比，如圖②所示，S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b；4、在一組平行線之間的等積變形，如圖③所示，S[sub]AACD[/sub]=S[sub]ABCD[/sub]；反之，如果S[sub]AACD[/sub]=S[sub]ABCD[/sub]，則可知直線AB平行于CD。例、如圖，三角形ABC的面積是24,D、E、F分別是BC、AC、AD的中點，求三角形DEF的面積?！驹斀狻眶ま挚?，S^=-S^sq=-x24=12^lLD衛(wèi)="JSnJDf=3X"=W'Sj^EF=N$：LA^E==3（2）鳥頭（共角）定理模型1、兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面積之比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比。如圖下圖三角形ABC中，D、E分別是AB、AC上或AB、AC延長線上的點則有：S[sub]^ABC[/sub]：S[sub]^ADE[/sub]=(ABXAC)：(ADXAE)我們現(xiàn)在以互補為例來簡單證明一下共角定理!如圖連接BE,根據(jù)等積變化模型知，S[sub]^ADE[/sub]：S[sub]AABE[/sub]=AD：AB>S[sub]AABE[/sub]：S[sub]ACBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]AABE[/sub]：S[sub]AABC[/sub]=S[sub]AABE[/sub]：(S[sub]AABE[/sub]+S[sub]ACBE[/sub])=AE：AC，因此S[sub]^ADE[/sub]：S[sub]AABC[/sub]=CS[sub]AADE[/sub]：S[sub]AABE[/sub])X(S[sub]AABE[/sub]：S[sub]AABC[/sub])=(AD：AB)X(AE：AC)。例、如圖在AABC中，D在BA的延長線上，E在AC上，且AB：AD=5:2,AE：EC=3:2,△ADE的面積為12平方厘米，求AABC的面積。1詳解】根據(jù)鳥買模型可知：5^:=[ABxAC）:{,ADxAE）,所以5=碧務(wù)5=村血2，平方哩料（3）蝴蝶模型1、梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）5：禺二/若S：禺：&：，“=疽芳:品-"梯形s的對應(yīng)價數(shù)為3+6）氣例、如圖，梯形ABCD,AB與CD平行，對角線AC、BD交于點O,已知AAOB^ABOC的面積分別為25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面積。DC【詳解】由梯形鋤蝶定理的性質(zhì)郁.瞬，代=奇（站CD）="3八所以電CD二5:7；所以二如"8’二5"7七此49、即心暨二49平方厘米，而5朝*林=35平方厘米，所以梯形ABCD的面楸:25+35+35+49=1^4（平方厘米L2、任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）：B①&禺=脆&或者§發(fā)禺=S［漆Sp?AO.OC=（"1七品工（昆+禺）例、如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,如果三角形ABD的面積等于三角形BCD面積的1/3，且AO=2、DO=3,求CO的長度是DO長度的幾倍。HC1詳解】由任意四邊形蝴蝶定理的性質(zhì)知,=京=1：&所以0C二3A0次X2二6,所玖醵m二&:3二么:"蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑，通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。（4）相似模型1、相似三角形：形狀相同，大小不相等的兩個三角形相似；2、尋找相似模型的大前提是平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。3、相似三角形性質(zhì)：相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)邊）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對平行線!eJDAEDEAFABACBCAG②5心國=AF2:ACF*例、如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的長度是多少?【詳解】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，起平行TCD,所以由沙漏模理知,BF.FC=BE:CD=A:16=1A,所UlFC=10x——二私144（5）燕尾模型gUL___cE由于陰影部分的形狀像一只燕子的尾巴，所以在數(shù)學(xué)上把這樣的幾何圖形叫做燕尾模型，看一下它都有哪些性質(zhì)：S[sub]AABG[/sub]：S[sub]AACG[/sub]=S[sub]ABGE[/sub]：S[sub]ACGE[/sub]=BE：CES[sub]ABGA[/sub]：S[sub]ABGC[/sub]=S[sub]AGAF[/sub]：S[sub]AGCF[/sub]=AF：CFS[sub]AAGC[/sub]：S[sub]ABGC[/sub]=S[sub]AAGD[/sub]：S[sub]ABGD[/sub]=AD：BD例、如圖，E、D分別在AC、BC上，且AE：EC=2:3,BD：DC=1:2,AD與BE交于點F，四邊形DFEC的面積等于22平方厘米，求三角形ABC的面積。AAAA［詳解】如圖所示，連接CF構(gòu)造燕尾模型。根據(jù)燕尾模型性質(zhì)可知：，里_2D_2，_AE_?2SjhCBF五。3現(xiàn)設(shè)疆廣1份,則臨二2份危皿K價、％如制粉、Ssf=4乂上二L?.§份、SCEF—4x---.二24份。所以4=4.4粉■、$^廣2+3+4二勺份口5^D...=22^4.4X9=45(平方厘米"1*1q偵二五大模型經(jīng)典例題詳解等積變換模型例1、圖中的E、F、G分別是正方形ABCD三條邊的三等分點，如果正方形的邊長是12，那么陰影部分的面積是多少？［祥解】把另外三個三等分點標(biāo)出之后，正方形的3條邊提、耽、⑴就被分成了相等的三段，把點H和這些分點、正方形的頂點連接，這樣就把整個正方形分割成了9個壽狀各不相同的三角形，同時我們把空白部分的6個三角形按順時針標(biāo)記m這9個三角形的底邊都是正方形詢長的三分之一；陰影部分被分割成了其中的3個三角形。根據(jù)等積變換模型可知，CD邊上的陰影三角形的面積與第1,0個三角形相等，既邊上的陰影三角形與第3、4個三角形相等，AB邊上的陰影三角形與第5.￡■個三角形相等.因此，陰戢面積是空白面積的二分之一，是正方形面和.的三分之一，即；12X12-3=43.例2、如圖所示，Q、E、P、M分別為直角梯形ABCD兩邊AB、CD上的點，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求陰影部分三角形PQM的面積?！驹斀狻咳鐖D所示，連接CE、口E,由于DQrME平行，根據(jù)同底等高知，，I理根據(jù)及'平1J，~apvjf，所SiFgAT=^^CDE°由于四邊形ABCD為直角梯形，所以腿e=*皿弟一$皿一％?=牛5+7）（5+??蹌5-?沁7二［5,即陰最三角形PQM的面積為25o（2）鳥頭（共角）定理模型例1、如圖所示，平行四邊形ABCD,BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD,平行四邊形ABCD的面積為2,求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比。t詳解】如圖所示，連ftAC.BD,由于在△ABC、^EEF中，匕招。與ZEBF互補，所成根據(jù)鳥頭定理有金些二坐竺二絲二'因為S皿BESF1脂3二頊平有8皿.二1，所以，咐二3;同理可得覽皿二4履二85皿『=4x】="$過湖=5'定=15*8+8+15+3+2361is例2、如圖所示，AABC的面積為1,BC=5BD、AC=4EC8+8+15+3+2361is【祥解】首先根據(jù)等積變換模型知，所以S—45根據(jù)鳥頭定理有*C—.根據(jù)鳥頭定理有*C—.A￡'GEg=L所以』=吼西蘭詈=WIW￡=g=''所認膈卸=喝艱所以％功莓算由ADBD1X11-lAJJ心———_SgADBD1X11-lAJJ心———_SgADDC1x44AIlXJ所以.SajZU=若5所認膈乳*5即【詳解】如圖所示，連接陰髯四邊形的對角線，此時正六邊形被平分成兩半.設(shè)M的面積為1份，根據(jù)正六訶形的特殊性質(zhì)知"C二如,再根據(jù)梯形蝴蝶定理，標(biāo)出各個三角形所占份數(shù)，所以整個正六邊形被分成了鬟份，陰影部分站其中的8粉，即陰影部分面耘為：-xl=l.189例2、如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，求余下的四邊形OFBC的面積。1詳解】如圖所示，連接D"CR在梯形EICT中，根據(jù)梯形蝴蝶定理知,5還幽反5空此='赤邸鬼5亞如=2xS=16,即S邸函=Wrjc=」，所以,皿?d=8+4=12f5蕓方尊=12X2=24，S求嚎口皿=24-二-2-8=9。例3、如圖，已知正方形ABCD的邊長為10厘米，E為AD的中點，F(xiàn)為CE的中點，G為BF的中點，求三角形BDG的面積。

【詳解】設(shè)BD與CE的交點為。，連接BE.DF,在梯形BCDE中,由梯形蝴蝶定理知，EO-.CO=S^ed:而s皿9=qS正、^ABCD=?所以E0-C0=\2.又因為F為郭的中點，所^E0:F0=2~A.在四辿形BFBE中，由蝴蝶定理知，￡?？?。=膈皿5空四=、'所以任E>—昏S]E游頊58。所以'皿g二=T7Elc正方％況科二二乂1。心。=6.25(平方厘米)16相似模型例1、如圖，正方形的面積為1,E、F分別為AB所以'皿g二=T7Elcr詳解】如圖所示，作FH垂直昭于點H,GI垂直旺于點L根據(jù)金字塔模型知，CI：CH=CG：CF=1:3；因為F■是E□的中點，所以CH二BH,CI：CB=1:6,即BI：BC=(6T\6二5:6,所以S沖仁二2xJ二三。皿&22624

例2、如圖，長方形ABCD,E為AD的中點，AF與BD、BE分別交于G和H,OE垂直于AD，交AD于E點，交AF于。點，已知AH=5,HF=3,求AG的長。r詳解】根據(jù)長方形的性廟知，提平行于df,再根據(jù)沙漏模型知AB-.DF=AH-RF=5-3又因為互為的中點0E:朋=1;23AB:OE=5:-=10:32利用相似三角形性質(zhì)可得：AG:DO=AB:OE=\0:3?.或=Z"F=【(5+3)=422…mW401313（5）燕尾模型例1、如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，求四邊形BGHF的面積。t詳解劉口圖，連接BHo由于旺與CD平行，根據(jù)沙漏模型知,BG；GD=BE：CD=l:2o現(xiàn)設(shè)$球鄧,根據(jù)燕尾模型知，豪戰(zhàn)云傷、&胞二2份｝因此整個正方形ABC口就是：（1+2+2）X2=10（份，四邊形BGHF占！-xl+-xl=-（份），所236以喝驚蜘=1匙刁"=14（平方J1米L歸業(yè)」莎UJJX1m例2、如圖，在AABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么^ABC的面積是陰影AGHI面積的幾倍？D【詳解】如圖，連接AL根據(jù)燕尾模型知，$皿廣』$御=齡醯=21，所加yW：』=l：2：L那么吏_2宜_2V，鄧口=;~;5」時=—Sa3C■>14-2-1-4同I理可知，$36=y$jsc'%明=y旦皿:。所以快網(wǎng)=（1—亍*3），乳=—^±bc，即AABC的面積是陰影AGHI面積的7倍。例3、如圖，在AABC中，點D是AC的中點，點E、F是BC的三等分點，若^ABC的面積是1，求四邊形CDMF的面積。AA【詳解】如圖，連接CMsCDL根據(jù)燕尾模型如，:Sy二RF:CF二2:1,而電m=2膈『所以$皿甘=2邕”=1電頃即BN=4DNo所以根據(jù)鳥頭模型S%_vf_BAfxBF_4x2_8即勺_s1_SqwED"C5x3151515215所以S四泓四y=S普W_邕KWF=—4_7

15-30三、鞏固練習(xí)1、如圖，在角MON的兩邊上分別有a、C、E、B、D、F六個點，并且△OAB'AABC、22、如下圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC，如果△ADE的面積為4平方厘米，求三所以S四泓四y=S普W_邕KWF=—4_7

15-304、如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA=AB、CB=BF、DC=CG、HD=DA，求四邊形E5、邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF，求三角形AGE的面積。6、如圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形ADG的面積為11，三7、如圖，三角形ABC是一塊銳角三角形余料，BC=120毫米，高AD=80毫米?，F(xiàn)在要$AC上，這個正方形零件的邊長是多少？8、如圖，已知正方形ABCD的面積為120平方厘米，E是AB邊的中點，F(xiàn)是BC邊的中9、如圖，正方形ABCD的邊長是12厘米，E、F分別是AB、BC的中點，AF與CE交于j10、如圖，在四邊形ABCD中，AB=3BE、AD=3AF，四邊形AEOF的面積是12,求平行四四,鞏固練習(xí)詳解1、如圖，在角KN的兩邊上分別有LC*E.B.D.F六個點，并且A0福.△ABC、△BCD,ACDE.ADEF的面積都等于1,求ADCF的面積.［樣解耽個題我們可以用等積變換來解,由于三角形OCD的面積是可以求出的，所以.只要求出。隊DF就能京出乙DCF的面積"113因為QD：DF=S葛胡：=4：1,所以$￡仃=;&jcd=二*3=;。。-1-442.如下虱ABCD為平行四訶形，EF平行虹如果△ADE的面硼4平方厘米,求三角形CDF的面料。［詳解】如圖所示，連接曲、CE,因為平行四訪形對辿平行，所以根據(jù)同底等高知，Sq三二$心、公時=S*F0同理，根據(jù)虻、EF平行，所以公*=S皿F,所以，&酣—二4平方JB米03、如下圖，在三角形ABC中，BD=2AD,AG-20G,BE=EF二FC,求四邊形DGFE面積占三角形ABC的幾分之幾？11詳解】根據(jù)鳥頭模型的性質(zhì)有：-——x——；%如=5$3C^±BAC33-921同王里:，對DE=、^kCffF=—%NSCr一廠。C\G4、如圖，四ifiJKEFGH的面智是66平方米，EA^=AB.CBFLDC=CG.HD=DA,求四邊形ABCD的ffiffiof|CJ>,GD'i-\

K詳解】如警接町由鳥頭模型知案=黠=巖專即同理可得膈=2%由所以C\G同理可得膈=2%由所以2Sgs」日如連接AC同理可衍，，皿f+，i期v=2%老』日￡。；所L以扁^凝西療二會四韶JEW，即乩^皿「=66—5=13.2〔平萬米）。5、邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF,求三角形AGE的面積。DCDC?.?BS=2EC,CF=FD'■乩班f='項2七”'也踴砂仙此=—喝纓剪--7-X7-。函E_2正ri^ABGD由蝴蝶定理可得:AG-.GF=-：—=€-A2126613■-Ld衣二焚MDF-—氐*F二亍茂云牌正弁磨心國二百S正犯施中^SlAGE=^￡lASD一￡i曲莉=走nA￡CD

如圖，THfc方形被一些直線分成了若干個』諛，已知三角形ADG的面積為11,三角形BCH的面積為23,求四邊形EGFH的面積”ABHCDEBHEABHCDEBHE【詳解】連接EF,顯然四邊形ADEF$□BCEF都是梯形于是三角形EFG的面積等于三角形ADG的面積；三角形ECR的面積等于三角形康H的面積；所以,四邊形EGFH的面積為11+23=34h如圖，三角形ABC是一塊銳角三角形余料，BC=120毫米，高AD=8Q毫米?，F(xiàn)在要把它加工成f正方形零件，是正方形的一ii在BC上，其余兩個頂點分別在期、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？HQGHQGt詳解】仔細觀察我們會發(fā)現(xiàn)，圖中有五個金字塔模型，我們利用與已知邊又關(guān)系的兩個金字塔模型，知：蘭二蘭、罵二竺』現(xiàn)設(shè)正方形的邊長為工蔓米,方形的邊長為48毫米。