江蘇省常州市2019屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(附解析)

江蘇省常州市2019屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(附分析)江蘇省常州市2019屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(附分析)19/19江蘇省常州市2019屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(附分析)常州市2019屆高三上學(xué)期期末試卷數(shù)學(xué)參照公式：樣本數(shù)據(jù)的方差，此中.柱體的體積，此中為柱體的底面積，為高．一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)的地點(diǎn)上.．．．．．．．．．1.已知會(huì)合，則________.【答案】【分析】【分析】?jī)蓚€(gè)會(huì)合取交集可直接獲得答案.【詳解】會(huì)合，則故答案為：【點(diǎn)睛】此題察看會(huì)合的交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.2.已知復(fù)數(shù)知足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)________.【答案】【分析】【分析】利用復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算，分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)即可獲得答案.【詳解】z==-i故答案為：-i【點(diǎn)睛】此題察看復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.3.已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)為，且這5個(gè)分?jǐn)?shù)的均勻數(shù)為，則實(shí)數(shù)________.【答案】【分析】【分析】依據(jù)均勻數(shù)的定義列方程求出x的值．-1-【詳解】數(shù)據(jù)9.1，9.3，x，9.2，9.4的均勻數(shù)為×（9.1+9.3+x+9.2+9.4）＝9.3，解得x＝．故答案為：9.5．【點(diǎn)睛】此題察看均勻數(shù)的定義與計(jì)算，是基礎(chǔ)題．4.一個(gè)算法的偽代碼以以以下列圖所示，履行此算法，若輸出的值為，則輸入的實(shí)數(shù)的值為________.【答案】3【分析】【分析】履行該算法后輸出y＝，令y＝1求出對(duì)應(yīng)x值即可．【詳解】履行以以以下列圖的算法知，該算法輸出y＝當(dāng)x≥1時(shí)，令y＝x2﹣2x﹣2＝1，解得x＝3或x＝﹣1（不合題意，舍去）；當(dāng)x＜1時(shí)，令y＝＝1，此方程無解；綜上，則輸入的實(shí)數(shù)x的值為3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題察看算法與應(yīng)用問題，察看分段函數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．5.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【分析】【分析】且解不等式即可。-2-【詳解】且，由此解得,故填【點(diǎn)睛】求函數(shù)的定義域是基本考點(diǎn)，根式下邊的值要大于等于0。6.某校開設(shè)5門不一樣樣樣的選修課程，此中3門理科類和2門文科類，某同學(xué)從中選修2門課程，則該同學(xué)恰巧選中1文1理的概率為________.【答案】【分析】【分析】先求出基本領(lǐng)件總數(shù)n和該同學(xué)恰巧選中1文1理包含的基本領(lǐng)件數(shù)，由古典概型概率公式求解即可.m【詳解】某校開設(shè)5門不一樣樣樣的選修課程，此中3門理科類和2門文科類，某同學(xué)從中選修2門課程，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝＝10，該同學(xué)恰巧選中1文1理包含的基本領(lǐng)件總數(shù)m＝＝6．∴該同學(xué)恰巧選中1文1理的概率p＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題察看概率的求法，察看古典概型、擺列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，察看運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7.已知雙曲線的離心率為2，直線經(jīng)過雙曲線的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為________.【答案】【分析】【分析】利用雙曲線的離心率以及焦距，列出方程，求解漸近線方程即可．【詳解】雙曲線的離心率為2，=2，直線x+y+2＝0經(jīng)過雙曲線C的焦點(diǎn)，可得c＝2，所以a＝1，由則b＝，又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線C的漸近線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題察看雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，察看雙曲線漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.-3-8.已知圓錐，過的中點(diǎn)作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱，圓柱的下底面落在圓錐的底面上（如圖），則圓柱的體積與圓錐的體積的比值為________.【答案】【分析】【分析】設(shè)出圓錐的底面半徑和高，分別求出圓柱和圓錐的體積，計(jì)算出比值．【詳解】設(shè)圓錐SO的底面半徑為r，高為h，則圓柱PO的底面半徑是，高為，∴VSO＝πr2h，VPO＝π（）2?，∴=．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題察看圓柱與圓錐體積的求法，察看計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．9.已知正數(shù)知足，則的最小值為________.【答案】4【分析】【分析】將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式可求出最小值．【詳解】由基本不等式可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)y＝x2時(shí)，等號(hào)成立，-4-所以，的最小值為4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題察看利用基本不等式求最值，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行靈巧配湊是解此題的重點(diǎn)，同時(shí)察看計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.若直線與曲線（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）相切，則實(shí)數(shù)________.【答案】【分析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為（，m），求y＝x的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得k，即得切線方程，聯(lián)合切線kx﹣﹣kmeey＝0可得m，進(jìn)而獲得k．【詳解】依據(jù)題意，若直線kx﹣y﹣k＝0與曲線y＝ex相切，設(shè)切點(diǎn)為（m，em）曲線y＝ex，其導(dǎo)數(shù)y′＝ex，則切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝m＝em，則切線的方程為y﹣em＝em（x﹣m），又由k＝em，則切線的方程為y﹣k＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣mk+k＝0，又由切線為kx﹣y﹣k＝0，則有﹣m+1＝﹣1，解可得m＝2，k＝em＝e2，故答案為：e2．【點(diǎn)睛】此題察看利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算曲線的切線方程，重點(diǎn)是掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則最小值為________.【答案】【分析】【分析】由函數(shù)是偶函數(shù)獲得φ的可能取值，再由函數(shù)過點(diǎn)（1，0）得出ω+φ的可能取值，進(jìn)而得出ω的表達(dá)式，再對(duì)參數(shù)賦值即可得出所求最小值【詳解】∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函數(shù)，∴φ＝,∵點(diǎn)（1，0）是函數(shù)y＝f（x）圖象的對(duì)稱中心∴sin（ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k2π，k2∈Z，-5-∴ω＝k2π﹣φ＝（k2﹣k1）π﹣．又ω＞0，所以當(dāng)k2﹣k1＝1時(shí)，ω的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題察看正弦類函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性，解答的重點(diǎn)是嫻熟掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能依據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出參數(shù)φ與ω的可能取值，再經(jīng)過賦值的手段得出參數(shù)的最值12.平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，知足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，的均分線交線段于，若，則________.【答案】【分析】【分析】點(diǎn)為線段的中點(diǎn)可得，經(jīng)過計(jì)算，即得∠AOB，由正弦定理可得：，，即可求解．【詳解】如圖，∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，∴，解得cos∠AOB＝﹣，∴∠AOB＝120°．222由余弦定理可得AB＝OA+OB﹣2OA?OBcos120°＝7,AB=由正弦定理可得：?sinA＝．由正弦定理可得：，∵，∠AOD＝60°．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題察看向量的線性運(yùn)算，察看正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．-6-13.原點(diǎn)的直與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是與半的交點(diǎn)，以直徑的與直有異于的交點(diǎn)，且直與直的斜率之等于，那么直的方程________.【答案】【分析】【分析】依據(jù)意推得kl+AP＝0，此后（0，0），解方程kl+AP＝0可得x0，再代入的方程可解得y0，進(jìn)而求出kPxyk直l方程．【解】由以直徑的與直有異于的交點(diǎn)，得kAN?kl＝1，kAN?kAP＝1，所以k+k＝0，P（x，y）（y≠0）lAP000kl＝，kAP＝，+＝0，解得x0＝，又x02+y02＝1，所以y0＝±，kl＝所以直l的方程：y＝x故答案：y＝x【點(diǎn)睛】本考了直與的地點(diǎn)關(guān)系的用，考直與直垂直的性的用，屬中檔．14.數(shù)列足，且數(shù)列的前和，已知數(shù)列的前和1，那么數(shù)列的首________.【答案】【分析】【分析】由數(shù)列分乞降可得a+a+?+a2018，由數(shù)列的前n和以及數(shù)列的推式可得a與a的關(guān)系，乞降解方12nn1程即可獲得所求．【解】數(shù)列{ann}的前2018和1，即有（a1+a2+?+a2018）（1+2+?+2018）＝1，可得a1+a2+?+a2018＝1+1009×2019，由數(shù)列{bn}的前n和n2，可得bn＝2n1，，-7-a2＝1+a1，a3＝2a1，a4＝7a1，a5＝a1，a6＝9+a1，a7＝2a1，a8＝15a1，a9＝a1，?，可得a1+a2+?+a2018＝（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+?+（4025+2+4031）+（a1+4033+a1）505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1＝1+1009×2019，解得a1＝．故答案：．【點(diǎn)睛】本考等差數(shù)列的乞降公式，以及數(shù)列的分乞降，考運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔．二、解答：本大共6小，共90分，在答卡指定地區(qū)內(nèi)作答，解答寫出文字明、明或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．演算步.．．．．．15.如，正三棱柱中，點(diǎn)分是棱的中點(diǎn).求：（1）//平面；（2）平面平面.【答案】（1）明分析；（2）明分析.【分析】【分析】（1）與的交點(diǎn)，，明四形平行四形，利用面平行的判判斷理可得CM∥平面AB1N．（2）由已知明平面，因，可得平面，由面面垂直的判定定理即可獲得明.【解】（1）與的交點(diǎn)，，-8-在正三棱柱中，為的中點(diǎn)，，且，依題意，有，且，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，而平面，平面，∴平面.（2）在正三棱柱中，平面，∴，又，∴平面，因?yàn)?，∴平面，平面，∴平面平?【點(diǎn)睛】此題察看線面平行、面面垂直的證明，察看空間中線線、線面、面面間的地點(diǎn)關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16.已知中，分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求角；（2）若，且，求的周長.【答案】（1）；（2）6.【分析】【分析】(1)由余弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)即可獲得答案；（2）利于（1）所得A角和兩角差的正切公式化簡(jiǎn)，可得角B，可確立三角形為等邊三角形，進(jìn)而可得周長.【詳解】（1）由已知，得：，由余弦定理，得：，即，又,所以.（2），，-9-化簡(jiǎn)，得：，所以，；所以，三角形為等邊三角形，其周長為：.【點(diǎn)睛】此題察看余弦定理和兩角和差公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，察看計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.17.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦點(diǎn)在橢圓上，此中，且點(diǎn)是橢圓位于第一象限的交點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過軸上一點(diǎn)的直線與橢圓相切，與橢圓交于點(diǎn)，已知，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【分析】【分析】（1）由題意得c=b,,將點(diǎn)代入橢圓C1，可得a，b，進(jìn)而獲得橢圓的方程；（2）設(shè)直線l為y＝kx+m，代入橢圓C2，由鑒別式為0，可得m，k的關(guān)系式，由直線方程和橢圓C1方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，可得m,k的第二個(gè)關(guān)系，解方程組可得直線方程．【詳解】（1）以以以下列圖所示，依題意，得，所以，，所以，橢圓為：，將點(diǎn)代入，解得：，所以，.（2）設(shè)斜率為，則直線方程為：，設(shè)，，，-10-，，又或，故方程為：或.【點(diǎn)睛】此題察看橢圓的方程和性質(zhì)，察看直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用鑒別式法和韋達(dá)定理、以及向量共線的坐標(biāo)表示，察看方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．某公園要設(shè)計(jì)以以以下列圖的景觀窗格（其結(jié)構(gòu)可以看作矩形在四個(gè)角處對(duì)稱地截去四個(gè)全等的三角形所得，如圖二中所示多邊形），整體設(shè)計(jì)方案要求:內(nèi)部井字形的兩根水平橫軸米，兩根豎軸米，記景觀窗格的外框（如圖二實(shí)線部分，軸和邊框的粗細(xì)忽視不計(jì)）總長度為米.（1）若，且兩根橫軸之間的距離為米，求景觀窗格的外框總長度；（2）因?yàn)楣烙?jì)經(jīng)費(fèi)限制，景觀窗格的外框總長度不超出米，當(dāng)景觀窗格的面積（多邊形的面積）最大時(shí)，給出此景觀窗格的設(shè)計(jì)方案中的大小與的長度.【答案】（1）米；（2）的長度為米.【分析】【分析】（1）利用直角三角形分別求圖中的各個(gè)邊的長度乞降即可獲得答案；（2）設(shè)，景觀窗格的面積為，將面積用x和y表示出來，利用已知條件和三角函數(shù)的有界性可得最值，進(jìn)而獲得答案.【詳解】（1）米，，則米，米，故總長度米；-11-答：景觀窗格的外框總長度為米；（2）設(shè)，景觀窗格的面積為，則，，當(dāng)且僅立即時(shí)取等，，由知：，答：當(dāng)景觀窗格的面積最大時(shí)，的長度為米.【點(diǎn)睛】此題察看三角函數(shù)在實(shí)質(zhì)生活中的應(yīng)用，察看函數(shù)的最值問題，察看分析推理和計(jì)算能力，屬于中檔題.19.已知數(shù)列中，，且.（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2）數(shù)列中能否存在不一樣樣樣的三項(xiàng)依據(jù)必定次序從頭擺列后，組成等差數(shù)列？若存在，求知足條件的項(xiàng)；若不存在，說明原因.【答案】（1）證明看法析，；（2）不存在.【分析】【分析】1）推導(dǎo)出an+1+1＝﹣3（an+1），n∈N*．a(chǎn)1+1＝2，由此能證明{an+1}是以2為首項(xiàng)，﹣3為公比的等比數(shù)列，可求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式．（2）假定am，an，ap組成等差數(shù)列，m≠n≠p，則2an＝am+ap，利用（1）的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)不知足2an＝am+ap，進(jìn)而數(shù)列{an}中不存在不一樣樣樣的三項(xiàng)依據(jù)必定次序從頭擺列后，組成等差數(shù)列．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，以-3為公比的等比數(shù)列，所以，即；（2）假定存在三項(xiàng)按必定次序從頭擺列后成等差.-12-①若，則，整理得，兩邊同除以，可得，等式右側(cè)是-3的整數(shù)倍，左側(cè)不是-3的整數(shù)倍，故等式不可以立.②若，則，整理得，兩邊同除以，可得，等式右側(cè)是-3的整數(shù)倍，左側(cè)不是-3的整數(shù)倍，故等式不可以立.③若，則，整理得，兩邊同除以，可得，等式左側(cè)是-3的整數(shù)倍，右側(cè)不是-3的整數(shù)倍，故等式不可以立；綜上，不存在不一樣樣樣的三項(xiàng)吻合題意.【點(diǎn)睛】此題察看等比數(shù)列的證明，察看數(shù)列能否組成等差數(shù)列的判斷與求法，察看結(jié)構(gòu)法、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，察看運(yùn)算求解能力，是中檔題．20.已知函數(shù)，函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)對(duì)恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍.(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，)【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】【分析】（1）代入a值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，依據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）求導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過談?wù)揳的范圍，求函數(shù)單一區(qū)間，聯(lián)合函數(shù)單一性和函數(shù)的最值可求a的范圍；（3）求（）分析式，gx求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，談?wù)摵瘮?shù)單一性，由函數(shù)單一性和最值可確立a的范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以切線方程為.（2），①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單一遞加，-13-因?yàn)?，所以有?dú)一零點(diǎn)，即吻合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得，列表以下：-0+極小值由表可知，.（i）當(dāng)，即時(shí)，，所以吻合題意；（ii）當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，且，所以，故存在，使得，所以不符題意；（iii）當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，設(shè)，則，所以單一遞加，即，所以，又因?yàn)?，所以，故存在，使得，所以不符題意；綜上，的取值范圍為.（3），則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單一遞加，所以，即吻合題意；②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單一遞加，-14-又因?yàn)椋源嬖?，使得，且?dāng)時(shí)，，即在上單一遞減，所以，即不符題意；綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】此題察看了切線方程問題，察看函數(shù)的單一性，最值問題，察看導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類談?wù)撍枷?，轉(zhuǎn)變思想，綜合性較強(qiáng)．?dāng)?shù)學(xué)Ⅱ（附帶題）【選做題】此題包含A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定此中兩題，并在相應(yīng)的答題地區(qū)內(nèi)作答．若多做，則按作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．選修4—2：矩陣與變換（本小題滿分10分）21.已知點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下獲得的點(diǎn)，求：1）矩陣；2）矩陣的特點(diǎn)值及對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量.【答案】（1）；（2）時(shí)，對(duì)應(yīng)特點(diǎn)向量：；時(shí)，對(duì)應(yīng)特點(diǎn)向量：.【分析】【分析】（1）依據(jù)矩陣的乘法公式計(jì)算即可；（2）寫出矩陣的特點(diǎn)多項(xiàng)式，令＝0，得矩陣的特點(diǎn)值，即可獲得特點(diǎn)向量.【詳解】（1），所以，，解得：,所以，.（2）矩陣的特點(diǎn)多項(xiàng)式，令＝0，得矩陣的特點(diǎn)值：或，時(shí)，，得一非零解：，對(duì)應(yīng)特點(diǎn)向量：；時(shí)，，得一非零解：，對(duì)應(yīng)特點(diǎn)向量：.-15-【點(diǎn)睛】此題給出二階矩陣，求矩陣A的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量．重視察看了特點(diǎn)向量的定義、求法及其性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．B．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）22.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，成立極坐標(biāo)系.直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為，求直線被曲線所截的弦長.【答案】【分析】【分析】求直線l的一般方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程，獲得曲線C是以C（1，1）為圓心，以r＝為半徑的圓，求圓心C到直線l的距離d，由弦長公式即可獲得答案.【詳解】直線的，圓C化為：,即，圓心為（1,1），半徑R＝,圓心到直線距離為：,所截弦長為：.【點(diǎn)睛】此題察看直線被圓截得的弦長的求法，察看極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，察看運(yùn)算求解能力，是中檔題．C．選修4—5：不等式選講（本小題滿分10分）23.已知，求證：.【答案】證明看法析【分析】【分析】將所證不等式利用三次基本不等式即可獲得