【教學(xué)課件】用二分法求方程的近似解參考教學(xué)課件

用二分法求方程的近似解新知探究問題1

我們已經(jīng)知道，函數(shù)

在區(qū)間(2，3)內(nèi)存在一個零點，其準確值無法求出，那么如何求出這個零點的近似值呢？一個直觀的想法是：如果能將零點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下就可以得到符合要求的零點的近似值．新知探究問題1

我們已經(jīng)知道，函數(shù)

在區(qū)間(2，3)內(nèi)存在一個零點，其準確值無法求出，那么如何求出這個零點的近似值呢？一個直觀的想法是：如果能將零點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下就可以得到符合要求的零點的近似值．新知探究問題1

我們已經(jīng)知道，函數(shù)

在區(qū)間(2，3)內(nèi)存在一個零點，其準確值無法求出，那么如何求出這個零點的近似值呢？精確度是指近似值x*與其準確值x的接近程度．近似值x*的誤差不超過某個數(shù)ε，即

，就說它的精確度是ε．一般地，對于數(shù)值x，如果要獲得它滿足精確度ε的近似值，只需要找一個包含x的區(qū)間[a，b]，使得

即可．在精確度ε限制下的近似值為所在區(qū)間中的任意值，即近似值有無數(shù)個．追問1

要獲得精確度為0.5的零點的近似值，你能找到一個符合要求的包含零點的區(qū)間嗎？新知探究現(xiàn)在已知零點在區(qū)間(2，3)內(nèi)，這個區(qū)間長度為1．要獲得精確度為0.5的零點的近似值，就要將包含零點的區(qū)間長度縮小到小于0.5，也就是要將區(qū)間長度減小到原來的一半．考慮區(qū)間(2，3)的中點2.5，用計算器算得f(2.5)≈－0.084

，而f(2)≈－1.307

，f(3)≈1.099

，則f(2.5)f(3)＜0．根據(jù)函數(shù)零點存在定理可知，零點在區(qū)間(2.5，3)內(nèi)，這個區(qū)間的長度為0.5．追問1

要獲得精確度為0.5的零點的近似值，你能找到一個符合要求的包含零點的區(qū)間嗎？新知探究一般地，稱

為區(qū)間(a，b)的中點．追問2

如果要獲得精確度為0.01的零點的近似值，根據(jù)追問1的答案，你將采取什么辦法來逐步縮小零點所在區(qū)間？新知探究當精確度為0.01時，至少需要將存在零點的區(qū)間長度縮小到小于0.01．根據(jù)追問1的答案，可以通過重復(fù)計算區(qū)間中點的函數(shù)值，并與區(qū)間端點的函數(shù)值作比較，將零點所在區(qū)間逐次減半．那么就可以通過有限次重復(fù)相同的步驟，將零點所在范圍縮小到滿足精確度為0.01的區(qū)間，區(qū)間內(nèi)的任意一點都可以作為函數(shù)零點的近似值．追問3

我們已經(jīng)將零點所在的區(qū)間從(2，3)縮小到了(2.5，3)，根據(jù)追問2確定的方法，再取區(qū)間(2.5，3)的中點2.75，用計算器算得

．因為

，所以零點在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi)．請你利用計算器重復(fù)這樣的步驟，繼續(xù)縮小零點所在的區(qū)間，直到區(qū)間長度小于0.01為止．將你的計算結(jié)果填寫在右表中，并據(jù)此畫出函數(shù)

在區(qū)間(2，3)內(nèi)的大致圖象．新知探究零點所在區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)

完成的表格如下表，畫出的函數(shù)圖象如下圖．新知探究零點所在區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.5，2.625)2.56250.066(2.5，2.5625)2.53125-0.009(2.53125，2.5625)2.5468750.029(2.53125，2.546875)2.53906250.010(2.53125，2.5390625)2.535156250.001追問4

根據(jù)填好的表格，請你給出函數(shù)

在精確度為0.01的零點的近似值．新知探究因為|2.5390625－2.53125|＝0.0078125＜0.01，所以區(qū)間(2.53125，2.5390625)內(nèi)任意一點都可以作為零點的近似值．為了方便，我們可以把區(qū)間的一個端點作為零點的近似值，所以可以將x＝2.53125作為函數(shù)

零點的近似值，也即方程

的近似值．新知探究問題2

像上面這種求函數(shù)

的零點近似值的方法，它的總體思路是什么？這種方法適用于那些函數(shù)？這種方法的總體思路是，通過不斷把函數(shù)

的零點所在區(qū)間一分為二，使得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，從而得到零點近似值．對于在某一區(qū)間上函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且區(qū)間端點的函數(shù)值的乘積符號為負的函數(shù)，都可以利用這種方法來求零點的近似值．新知探究問題2

像上面這種求函數(shù)

的零點近似值的方法，它的總體思路是什么？這種方法適用于那些函數(shù)？對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且

的函數(shù)

，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection）．新知探究問題3

根據(jù)求函數(shù)

零點的近似值的過程，你能提煉出給定精確度ε，用二分法求函數(shù)

零點x0的近似值的一般步驟嗎？①若

（此時

），則c就是函數(shù)的零點；②若

（此時x0∈(a，c)），則令

；③若

（此時x0∈(c，b)），則令

．（1）確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證

．（2）求區(qū)間(a，b)的中點c．（3）計算

，并進一步確定零點所在的區(qū)間：新知探究問題3

根據(jù)求函數(shù)

零點的近似值的過程，你能提煉出給定精確度ε，用二分法求函數(shù)

零點x0的近似值的一般步驟嗎？（4）判斷是否達到精確度ε：若

，則得到零點近似值a（或b）；否則重復(fù)步驟（2）~（4）．追問給定精確度ε，為什么當

時，區(qū)間[a，b]中任意一個值都是零點x0滿足精確度ε的近似值？新知探究根據(jù)精確度的定義，精確度是指近似值x*與其準確值x的接近程度．近似值x*的誤差不超過某個數(shù)ε，即

，就說它的精確度是ε．所以當

時，零點x0所在的區(qū)間[a，b]中任意一個值與x0的誤差都不超過

，當然也就不超過ε．所以區(qū)間[a，b]中任意一個值都是零點x0滿足精確度ε的近似值．新知探究例1借助信息技術(shù)，用二分法求方程

的近似解（精確度為0.1）．解：原方程即

，令

，用信息技術(shù)畫出函數(shù)

的圖象如右圖，并列出它的對應(yīng)值表如下表．x012345678y-6-2310214075142273觀察函數(shù)圖象或?qū)?yīng)值表，可知

，說明該函數(shù)在區(qū)間(1，2)內(nèi)存在零點x0．新知探究例1借助信息技術(shù)，用二分法求方程

的近似解（精確度為0.1）．解：原方程即

，令

，用信息技術(shù)畫出函數(shù)

的圖象如右圖，并列出它的對應(yīng)值表如下表．x012345678y-6-2310214075142273觀察函數(shù)圖象或?qū)?yīng)值表，可知

，說明該函數(shù)在區(qū)間(1，2)內(nèi)存在零點x0．同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)．新知探究取區(qū)間(1，2)的中點

，用信息技術(shù)算得

．因為

所以x0∈(1，1.5)．再取區(qū)間(1，1.5)的中點

，用信息技術(shù)算得

因為

，所以x0∈(1.25，1.5)．由于

，所以原方程的近似解可取為1.375．歸納小結(jié)問題4

回顧本節(jié)課中用二分法求函數(shù)零點的近似值的一般步驟，你能體會到怎樣的數(shù)學(xué)思想和方法？二分法通過不斷縮小函數(shù)零點所在區(qū)間求函數(shù)零點的近似值，體現(xiàn)了逐漸逼近的極限思想．在逐漸逼近的過程中，重復(fù)相同的步驟，這些相同的步驟可以抽象出來，體現(xiàn)了算法思想．問題5

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們可以看到，用二分法求方程的近似解，計算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟．因此，可以通過設(shè)計一定的計算程序，借助信息技術(shù)完成計算．右圖就是表示二分法求方程近似解過程的程序框圖．有興趣的同學(xué)，可以在此基礎(chǔ)上用有關(guān)算法語言編寫程序，利用信息技術(shù)求方程的近似解．歸納小結(jié)歸納小結(jié)問題6

閱讀教科書147頁“閱讀與思考—中外歷史