華中科技大學(xué)《數(shù)理方程與特殊函數(shù)》課程-第一章12-15全解課件

11.2熱傳導(dǎo)方程與定解條件熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：一、下面先從物理G內(nèi)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題出發(fā)來(lái)導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程。為此，我們用函數(shù)如果空間某物體G內(nèi)各處的溫度不同，則熱量就從溫度較高的點(diǎn)處向溫度較低的點(diǎn)流動(dòng)。表示物體G在位置處及時(shí)刻的溫度。11.2熱傳導(dǎo)方程與定解條件熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：一、下面先從物2熱的傳播按傅立葉（Fourier）實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行：物體在無(wú)窮小時(shí)段內(nèi)流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積的熱量與物體溫度沿曲面法線方向的方向?qū)?shù)成正比，而熱流方向與溫度升高的其中稱為物體在點(diǎn)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，為正值.當(dāng)物體為均勻且各向同性時(shí)，為常數(shù)，為曲面沿?zé)崃鞣较虻姆ň€.方向相反，即2熱的傳播按傅立葉（Fourier）實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行：物體在無(wú)窮3為了導(dǎo)出溫度所滿足的方程,在物體G內(nèi)任取一閉曲面它所包圍的區(qū)域記作則從時(shí)刻到時(shí)刻經(jīng)過(guò)曲面流入?yún)^(qū)域的熱量為其中表示對(duì)曲面的外法向?qū)?shù).3為了導(dǎo)出溫度所滿足的方程,在物體G內(nèi)任取一閉曲面它所包圍的4流入的熱量使區(qū)域內(nèi)部的溫度發(fā)生變化,在時(shí)間間隔中物理溫度從變化到所需要的熱量為其中為物體的比熱,為物體的密度.如果所考察的物體內(nèi)部沒(méi)有熱源,由于熱量守恒,4流入的熱量使區(qū)域內(nèi)部的溫度發(fā)生變化,在時(shí)間間隔中物理溫度從5先對(duì)進(jìn)行變形利用奧-高(Gauss)公式設(shè)函數(shù)關(guān)于變量具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),關(guān)于變量具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),可化為5先對(duì)進(jìn)行變形利用奧-高(Gauss)公式設(shè)函數(shù)關(guān)于變量具有6而可化為因此由移項(xiàng)即得（利用牛頓-萊布尼茲公式）6而可化為因此由移項(xiàng)即得（利用牛頓-萊布尼茲公式）7由于與區(qū)域都是任意取的,并且被積函數(shù)是連續(xù)的,于是得上式稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程.如果物體是均勻的,此時(shí)為常數(shù),記則得齊次熱傳導(dǎo)方程7由于與區(qū)域都是任意取的,并且被積函數(shù)是連續(xù)的,于是得上式稱8如果所考察的物體內(nèi)部有熱源(例如物體中通有電流,或有化學(xué)反應(yīng)等情況),設(shè)熱源密度(單位時(shí)間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量)為則在時(shí)間間隔中區(qū)域內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為同樣由于熱量要平衡,8如果所考察的物體內(nèi)部有熱源(例如物體中通有電流,或有化學(xué)反9其中非齊次熱傳導(dǎo)方程相對(duì)應(yīng)的一維、二維熱傳導(dǎo)方程可類似寫(xiě)出。9其中非齊次熱傳導(dǎo)方程相對(duì)應(yīng)的一維、二維熱傳導(dǎo)方程可類似寫(xiě)出10二、定解條件初始條件：表示初始時(shí)刻物體內(nèi)溫度的分布情況其中為已知函數(shù)。1、第一類邊界條件（狄利克雷Dirichlet）設(shè)所考察的物體G的邊界曲面為S，已知物體表面溫度函數(shù)為即10二、定解條件初始條件：表示初始時(shí)刻物體內(nèi)溫度的分布情況其112、第二類邊界條件（諾伊曼Neumann）

特別地，如果物體表面上各點(diǎn)的熱流量為0,絕熱性邊界條件已知物體表面上各點(diǎn)的熱流量也就是說(shuō)在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位面積的熱量是已知的，其中由傅里葉實(shí)驗(yàn)定律可知是定義在邊界曲面S，且上的已知函數(shù).則相應(yīng)的邊界條件為112、第二類邊界條件（諾伊曼Neumann）特別地，121.3拉普拉斯方程與定解條件1.三維拉普拉斯(Laplace)方程(1)凡具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并滿足方程(1)的連續(xù)函數(shù)為調(diào)和函數(shù).(調(diào)和方程)方程(1)通常表示成或拉普拉斯方程描述的是穩(wěn)定狀態(tài)下物理量的分布規(guī)律.121.3拉普拉斯方程與定解條件1.三維拉普拉斯(La132.泊松方程(非齊次的拉普拉斯方程)(2)方程(2)通常表示成或3.拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題第一邊值問(wèn)題(狄氏問(wèn)題)132.泊松方程(非齊次的拉普拉斯方程)(2)方程(2)通常14在空間某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)且在內(nèi)調(diào)和,在邊界上與給定的函數(shù)重合,即第二邊值問(wèn)題(諾伊曼問(wèn)題)在空間某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)且在內(nèi)調(diào)和,在邊界上法向?qū)?shù)存在,且有其中n是外法線方向.14在空間某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域上連151.4基本概念與基本知識(shí)1.古典解:如果一個(gè)函數(shù)具有某偏微分方程中所需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足該方程.2.自由項(xiàng):偏微分方程中不含有未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng).例如:齊次偏微分方程(自由項(xiàng)為0)非齊次偏微分方程(自由項(xiàng)不為0)151.4基本概念與基本知識(shí)1.古典解:如果一個(gè)函數(shù)具163.疊加原理考察二階線性偏微分方程其中都是某區(qū)域上的已知函數(shù).疊加原理設(shè)是方程(1)中第i個(gè)方程的解,(1)163.疊加原理考察二階線性偏微分方程其中都是某區(qū)域上的已知17如果級(jí)數(shù)(2)收斂,其中為任意常數(shù),并且它還能夠逐項(xiàng)微分兩次,則級(jí)數(shù)(2)是下方程的解特別地,當(dāng)方程(1)中的自由項(xiàng)時(shí),則得相應(yīng)的齊次方程為若是方程(3)的解,則級(jí)數(shù)(2)也是方程(3)(3)的解.17如果級(jí)數(shù)(2)收斂,其中為任意常數(shù),并且它還能夠逐項(xiàng)微分三角函數(shù)系在上正交。4.傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)三角函數(shù)系在上正交。4.傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)19補(bǔ)充：三角函數(shù)積化和差公式19補(bǔ)充：三角函數(shù)積化和差公式204.傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)設(shè)周期為的函數(shù)可展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù),則(4)其中傅里葉系數(shù)滿足(5)204.傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)設(shè)周期為的函數(shù)可展開(kāi)成傅21當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)(6)(7)21當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)(6)(7)224.兩個(gè)自變量的二階微分方程的分類一般的二階線性偏微分方程具有如下的形狀(8)其中等都是自變量在區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定他們是連續(xù)可微的。若在區(qū)域上每點(diǎn)則稱方程(8)在每點(diǎn)為雙曲型的；那么也則稱方程(8)在區(qū)域內(nèi)是雙曲型的。224.兩個(gè)自變量的二階微分方程的分類一般的二階線性偏微分方23若在區(qū)域上每點(diǎn)則稱方程(8)在每點(diǎn)為橢圓型的；那么也則稱方程(8)在區(qū)域內(nèi)是橢圓型的。若在區(qū)域上每點(diǎn)則稱方程(8)在每點(diǎn)為拋物型的；那么也則稱方程(8)在區(qū)域內(nèi)是拋物型的。23若在區(qū)域上每點(diǎn)則稱方程(8)在每點(diǎn)為橢圓型的；那么也則稱24例如：雙曲型拋物型橢圓型24例如：雙曲型拋物型橢圓型251.2熱傳導(dǎo)方程與定解條件熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：一、下面先從物理G內(nèi)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題出發(fā)來(lái)導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程。為此，我們用函數(shù)如果空間某物體G內(nèi)各處的溫度不同，則熱量就從溫度較高的點(diǎn)處向溫度較低的點(diǎn)流動(dòng)。表示物體G在位置處及時(shí)刻的溫度。11.2熱傳導(dǎo)方程與定解條件熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：一、下面先從物26熱的傳播按傅立葉（Fourier）實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行：物體在無(wú)窮小時(shí)段內(nèi)流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積的熱量與物體溫度沿曲面法線方向的方向?qū)?shù)成正比，而熱流方向與溫度升高的其中稱為物體在點(diǎn)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，為正值.當(dāng)物體為均勻且各向同性時(shí)，為常數(shù)，為曲面沿?zé)崃鞣较虻姆ň€.方向相反，即2熱的傳播按傅立葉（Fourier）實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行：物體在無(wú)窮27為了導(dǎo)出溫度所滿足的方程,在物體G內(nèi)任取一閉曲面它所包圍的區(qū)域記作則從時(shí)刻到時(shí)刻經(jīng)過(guò)曲面流入?yún)^(qū)域的熱量為其中表示對(duì)曲面的外法向?qū)?shù).3為了導(dǎo)出溫度所滿足的方程,在物體G內(nèi)任取一閉曲面它所包圍的28流入的熱量使區(qū)域內(nèi)部的溫度發(fā)生變化,在時(shí)間間隔中物理溫度從變化到所需要的熱量為其中為物體的比熱,為物體的密度.如果所考察的物體內(nèi)部沒(méi)有熱源,由于熱量守恒,4流入的熱量使區(qū)域內(nèi)部的溫度發(fā)生變化,在時(shí)間間隔中物理溫度從29先對(duì)進(jìn)行變形利用奧-高(Gauss)公式設(shè)函數(shù)關(guān)于變量具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),關(guān)于變量具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),可化為5先對(duì)進(jìn)行變形利用奧-高(Gauss)公式設(shè)函數(shù)關(guān)于變量具有30而可化為因此由移項(xiàng)即得（利用牛頓-萊布尼茲公式）6而可化為因此由移項(xiàng)即得（利用牛頓-萊布尼茲公式）31由于與區(qū)域都是任意取的,并且被積函數(shù)是連續(xù)的,于是得上式稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程.如果物體是均勻的,此時(shí)為常數(shù),記則得齊次熱傳導(dǎo)方程7由于與區(qū)域都是任意取的,并且被積函數(shù)是連續(xù)的,于是得上式稱32如果所考察的物體內(nèi)部有熱源(例如物體中通有電流,或有化學(xué)反應(yīng)等情況),設(shè)熱源密度(單位時(shí)間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量)為則在時(shí)間間隔中區(qū)域內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為同樣由于熱量要平衡,8如果所考察的物體內(nèi)部有熱源(例如物體中通有電流,或有化學(xué)反33其中非齊次熱傳導(dǎo)方程相對(duì)應(yīng)的一維、二維熱傳導(dǎo)方程可類似寫(xiě)出。9其中非齊次熱傳導(dǎo)方程相對(duì)應(yīng)的一維、二維熱傳導(dǎo)方程可類似寫(xiě)出34二、定解條件初始條件：表示初始時(shí)刻物體內(nèi)溫度的分布情況其中為已知函數(shù)。1、第一類邊界條件（狄利克雷Dirichlet）設(shè)所考察的物體G的邊界曲面為S，已知物體表面溫度函數(shù)為即10二、定解條件初始條件：表示初始時(shí)刻物體內(nèi)溫度的分布情況其352、第二類邊界條件（諾伊曼Neumann）

特別地，如果物體表面上各點(diǎn)的熱流量為0,絕熱性邊界條件已知物體表面上各點(diǎn)的熱流量也就是說(shuō)在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位面積的熱量是已知的，其中由傅里葉實(shí)驗(yàn)定律可知是定義在邊界曲面S，且上的已知函數(shù).則相應(yīng)的邊界條件為112、第二類邊界條件（諾伊曼Neumann）特別地，361.3拉普拉斯方程與定解條件1.三維拉普拉斯(Laplace)方程(1)凡具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并滿足方程(1)的連續(xù)函數(shù)為調(diào)和函數(shù).(調(diào)和方程)方程(1)通常表示成或拉普拉斯方程描述的是穩(wěn)定狀態(tài)下物理量的分布規(guī)律.121.3拉普拉斯方程與定解條件1.三維拉普拉斯(La372.泊松方程(非齊次的拉普拉斯方程)(2)方程(2)通常表示成或3.拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題第一邊值問(wèn)題(狄氏問(wèn)題)132.泊松方程(非齊次的拉普拉斯方程)(2)方程(2)通常38在空間某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)且在內(nèi)調(diào)和,在邊界上與給定的函數(shù)重合,即第二邊值問(wèn)題(諾伊曼問(wèn)題)在空間某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)且在內(nèi)調(diào)和,在邊界上法向?qū)?shù)存在,且有其中n是外法線方向.14在空間某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域上連391.4基本概念與基本知識(shí)1.古典解:如果一個(gè)函數(shù)具有某偏微分方程中所需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足該方程.2.自由項(xiàng):偏微分方程中不含有未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng).例如:齊次偏微分方程(自由項(xiàng)為0)非齊次偏微分方程(自由項(xiàng)不為0)151.4基本概念與基本知識(shí)1.古典解:如果一個(gè)函數(shù)具403.疊加原理考察二階線性偏微分方程其中都是某區(qū)域上的已知函數(shù).疊加原理設(shè)是方程(1)中第i個(gè)方程的解,(1)163.疊加原理考察二階線性偏微分方程其中都是某區(qū)域上的已知41如果級(jí)數(shù)(2)收斂,其中為任意常數(shù),并且它還能夠逐項(xiàng)微分兩次,則級(jí)數(shù)(2)是下方程的解特別地,當(dāng)方程(1)中的自由項(xiàng)時(shí),則得相應(yīng)的齊次方程為若是方程(3)的解,則級(jí)數(shù)(2)也是方程(3)(3)的解.17如果級(jí)數(shù)(2)收斂,其中為任意常數(shù),并且它還能夠逐項(xiàng)微分三角函數(shù)系在上正交。4.傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)三角函數(shù)系在上正交。4.傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)43補(bǔ)充：三角函數(shù)積化和差公式19補(bǔ)充：三角函數(shù)積化和差公式444.傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)設(shè)周期為的函數(shù)可展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù),則(4)其中傅里葉系數(shù)滿足(5)204.傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)設(shè)周期為的函數(shù)可展開(kāi)成傅45當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)(6)(7)21當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)(6)(7)464.兩個(gè)自變量的二階微分方程的分類一般的二階線性偏微分方程具有如下的形狀(8)其中等都是自變量