專題25 以分段函數(shù)為載體的應(yīng)用題（原卷版）

專題25以分段函數(shù)為載體的應(yīng)用題以分段函數(shù)為載體的應(yīng)用題是應(yīng)用題中一種重要的題型，可以更多的考查多個函數(shù)，由于參數(shù)的范圍不同得到的函數(shù)的解析式不同，但要注意無論分成幾段，都是一個函數(shù)，因此，解決分段函數(shù)要根據(jù)范圍不同都要進行討論，然后比較大小，得出最后的答案。例題選講例1、（江蘇省泰州中學(xué)、江都中學(xué)、宜興中學(xué)2020屆高三10月月考數(shù)學(xué)試題）某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動成本萬元，當年產(chǎn)量小于7萬件時，（萬元）：當年產(chǎn)量不小于7萬件時，（萬元）.己知每件產(chǎn)品售價為6元，若該同學(xué)生產(chǎn)的產(chǎn)品當年全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；（注；年利潤=年銷售收人-固定成本-流動成本（2）當年產(chǎn)量約為多少萬件時，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？（?。┳兪?、(2016蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當每臺凈化器的利潤為x(單位：元，x>0)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關(guān)系滿足：若x不超過20，則q(x)＝eq\f(1260,x＋1)；若x大于或等于180，則銷售量為零；當20≤x≤180時，q(x)＝a－beq\r(x)(a，b為實常數(shù))．(1)求函數(shù)q(x)的表達式；(2)當x為多少時，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值．變式2：（2016常州期末）幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開3D打印店，生產(chǎn)并銷售某種3D產(chǎn)品．已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為34元．該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其他固定支出20000元．假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量t(x)(件)與銷售價格x(元/件)(x∈N*)之間滿足如下關(guān)系：①當34≤x≤60時，t(x)＝－a(x＋5)2＋10050；②當60≤x≤76時，t(x)＝－100x＋7600.設(shè)該店月利潤為M(元)(月利潤＝月銷售總額－月總成本)，求：(1)M關(guān)于銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該打印店月利潤M的最大值及此時產(chǎn)品的銷售價格．例2、(2017蘇州期末）某濕地公園內(nèi)有一條河，現(xiàn)打算建一座橋(圖1)將河兩岸的路連接起來，剖面設(shè)計圖紙(圖2)如下：其中，點A，E為x軸上關(guān)于原點對稱的兩點，曲線BCD是橋的主體，C為橋頂，且曲線段BCD在圖紙上的圖形對應(yīng)函數(shù)的解析式為y＝eq\f(8,4＋x2)，x∈[－2,2]，曲線段AB，DE均為開口向上的拋物線段，且A，E分別為兩拋物線的頂點．設(shè)計時要求：保持兩曲線在各銜接處(B，D)的切線的斜率相等．(1)求曲線段AB在圖紙上對應(yīng)函數(shù)的解析式，并寫出定義域；(2)車輛從A經(jīng)B到C爬坡．定義車輛上橋過程中某點P所需要的爬坡能力為：MP＝(該點P與橋頂間的水平距離)×(設(shè)計圖紙上該點P處的切線的斜率)，其中MP的單位：m.若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車：①游客踏乘；②蓄電池動力；③內(nèi)燃機動力，它們的爬坡能力分別為0.8m，1.5m，2.0m，又已知圖紙上一個單位長度表示實際長度1m，試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋？變式1：如圖是一塊鍍鋅鐵皮的邊角料，其中都是線段，曲線段是拋物線的一部分，且點是該拋物線的頂點，所在直線是該拋物線的對稱軸.經(jīng)測量，2米，米，，點到的距離的長均為1米．現(xiàn)要用這塊邊角料裁一個矩形（其中點在曲線段或線段上，點在線段上，點在線段上）.設(shè)的長為米，矩形的面積為平方米.（1）將表示為的函數(shù)；（2）當為多少米時，取得最大值，最大值是多少？變式2、如圖，某新建小區(qū)有一片邊長為1(單位：百米)的正方形剩余地塊，中間部分是一片池塘，池塘的邊緣曲線段為函數(shù)的圖象，另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段．為了美化該地塊，計劃修一條穿越該地塊的直路（寬度不計），直路與曲線段相切（切點記為），并把該地塊分為兩部分．記點到邊距離為，表示該地塊在直路左下部分的面積．求的解析式；（2）求面積的最大值．例3、(2016南京三模）如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．現(xiàn)甲、乙兩管理員同時從A地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/小時，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時．(1)若甲、乙兩管理員到達D的時間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；(2)已知對講機有效通話的最大距離是5千米．若乙先到達D，且乙從A到D的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍．二、達標訓(xùn)練1、某駕駛員喝了1000mL某種酒后，血液中的酒精含量(mg/mL)隨時間x(h)變化的規(guī)律近似滿足表達式＝《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應(yīng)的處罰》規(guī)定為駕駛員血液中酒精含量不得超過0.02mg/mL，據(jù)此可知，此駕駛員至少要過h后才能開車．(精確到1h)2、(2018南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)）將一鐵塊高溫熔化后制成一張厚度忽略不計、面積為100dm2的矩形薄鐵皮(如圖)，并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個矩形(B，C全等)，用來制成一個柱體．現(xiàn)有兩種方案：方案①：以l1為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面；方案②：以l1為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個正方形(各邊分別與l1或l2垂直)作為正四棱柱的兩個底面．(1)設(shè)B，C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；(2)設(shè)l1的長為xdm，則當x為多少時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？3、（2016蘇中三市、宿遷調(diào)研）為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y(單位：mg/m3)隨著時間(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,8－x)－1，0≤x≤4，,5－\f(1,2)x，4<x≤10.))若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中凈化劑的濃度不低于4mg/m3時，它才能起到凈化空氣的作用．(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天？(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值．(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)取1.4)4、（2014徐州、宿遷三檢）根據(jù)統(tǒng)計資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件，每日產(chǎn)品廢品率與日產(chǎn)量(件)之間近似地滿足關(guān)系式(日產(chǎn)品廢品率eq\f(日廢品量,日產(chǎn)量)×100％)．已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車間的日利潤日正品贏利額日廢品虧損額）（1）將該車間日利潤(千元)表示為日產(chǎn)量(件)的函數(shù)；（2）當該車間的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是幾千元？5、（2014南通期末）如圖，一塊弓形薄鐵片EMF，點M為eq\x\to(EF)的中點，其所在圓O的半徑為4dm(圓心O在弓形EMF內(nèi))，∠EOF＝eq\f(2π,3).將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片ABCD(不計損耗)，AD∥EF，且點A，D在eq\x\to(EF)上，設(shè)∠AOD＝2θ.(1)求矩形鐵片ABCD的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；(2)當裁出的矩形鐵片ABCD面積最大時，求cosθ的值．(第18題)6、（2018秋?湖北期末）某公司