2023年成都二診理科數(shù)學壓軸題引起的思考

2023年成都二診理科試題最后一題解法探索四川省大竹中學王文偉2023年成都二診理科〔21題〕函數(shù)，其中x>0,a∈R(I)假設(shè)函數(shù)f(x)無極值,求a的取值范圍；(II)當a取〔I)中的最大值時，求函數(shù)g(x)的最小值；(III)下面是試題給出的參考解答。〔1〕小題使用通用解法，能有效的區(qū)分學生的能力?！?〕小題解法具有較強的技巧性，必須要求學生對題目結(jié)構(gòu)的準確認識，難度較高，學生把握困難，解法特殊，使得一般的學生看到此解法都會自覺放棄，從而到達了選拔的目的，但如果從通解法的角度去思考，這個題的難度又比擬一般了?！?〕小題利用〔2〕小題的結(jié)論，〔2〕小題都被難倒了，〔3〕小題也就無從下手了。事實上對〔3〕小題這種結(jié)構(gòu)我們可以用一種通用解法來處理，即使不會〔2〕小題，也能夠很快做好這種題型。如果壓軸題用〔3〕這種結(jié)構(gòu)，只要用我下面介紹的方法，他的難度比解析幾何的第〔2〕小題可能還小些。下面我就這個題給出下面解法，供大家相互討論。函數(shù)，其中x>0,a∈R(I)假設(shè)函數(shù)f(x)無極值,求a的取值范圍；(II)當a取〔I)中的最大值時，求函數(shù)g(x)的最小值；(III)下面我們仔細來研究這類解法的一般性?！?〕小題的核心是為了求出函數(shù)g(x)的最小值，而這個函數(shù)不是二次函數(shù)和一次函數(shù)，也不是規(guī)那么的三角函數(shù)和指數(shù)，對數(shù)函數(shù)，從而使用導數(shù)是必然的。使用導數(shù)的目的又是為了得到g(x)的單調(diào)性，要函數(shù)的單調(diào)性，實質(zhì)就是為了得到導數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的符號，即與0的大小關(guān)系。我們求出函數(shù)g(x)的導數(shù)后，發(fā)現(xiàn)的一個根是，但符號不能夠確定，想到求出的導函數(shù)總是函數(shù)，那么如果再把這個新函數(shù)的最值或者零點求出，那就知道這個新函數(shù)的單調(diào)性了，那它的符號就確定了。從而發(fā)現(xiàn)這個方法具有一般性：以后在遇到導數(shù)的符號不好判斷的時候，我們可以將這個導函數(shù)當作一個新函數(shù)，求出這個新函數(shù)的最值或者零點，從而到達對原導函數(shù)符號的判斷?！矊嶋H上這個是函數(shù)的二階或者三階導數(shù)的運用，但我們用初等方法來理解和詮釋?！场?〕小題的結(jié)構(gòu)如果安裝給出的解答，確實很難思考，并且學生接受也困難，智能作為一個觀察能力的解釋，會讓95%的學生放棄，但如果采用我給出的方法，那么50%能夠處理好這類題型。下面就這個題的思路再仔細回憶一下:這個不等式的左邊是n個的和，右邊是一個關(guān)于n表達式，由左邊n個的和，聯(lián)想到數(shù)列前n項和的特點，我們可以認為左邊是數(shù)列的前n項和，右邊我們也可以看成是一個數(shù)列的前n項和，如果兩個數(shù)列的通項，大小關(guān)系明確，此問題就解決了。事實上我們可以把這個做法歸納成以下的兩類形式：1.與型〔與〕這種類型是屬于常見類型，在這里就不做闡述了。2.即證明或者判斷的大小關(guān)系處理原那么如下：如果兩局部都是n項，那么我們采用通項和通項的比擬如果其中一局部是n項，另一局部是一個整體表達式，我們把這個表達式看成是一個數(shù)列的n項和，通過求出通項的方法再轉(zhuǎn)換成〔1〕去處理。下面通過例題說明天府大聯(lián)考422.數(shù)列(1)求的通項公式；〔2〕略；〔3〕設(shè)解：〔1〕易得(3)不等式的右邊是數(shù)列的前n項和，通項是,左邊我們看成是一個數(shù)列的和,那么,如果能證明到<就可以了。即證明,構(gòu)造所以證明完畢。評注：這種解法可以很快找到破題的思路。不再技巧上依賴第二問。以下是一些具體的例子，大家可以試著去做一做。1、2023屆綿陽一診理科試題22. (此題總分值14分〕己知函數(shù)在;c=2處的切線斜率為.(III)證明：?天府大聯(lián)考122設(shè)函數(shù)〔3〕設(shè)2、天府大聯(lián)考722.函數(shù)(III)求證：對任意的正整數(shù)n，有3、2023年四川省天府高考沖刺卷〔一〕21函數(shù)(III)求證：4、2023年成都七中二診模擬試題21〔3〕求證：5、2023年達州二診試題理科21.函數(shù)(3)求證：6、高考試題22.函數(shù)(3)求證這種解法是針對