9立體幾何,無題

高考立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)、空間幾何體一）空間幾何體的類型1多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。2旋轉(zhuǎn)體：把一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。（二）幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.5-1111、棱柱的結(jié)構(gòu)特征1.1棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊■!<■'形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。（斜棱柱底面是四邊形棱柱械垂直于底面（斜棱柱底面是四邊形棱柱械垂直于底面〉宜棱柱乩他棱柱…底面是平行四邊形*四棱柱平行側(cè)棱垂直于底面六面體底面是矩形側(cè)棱垂直于底面六面體直平行六面體長方體正四棱棱長都相等柱正方體性質(zhì)：1、側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等；II、兩底面是全等多邊形且互相平行；III、平行于底面的截面和底面全等；棱柱的面積和體積公式S-ch直棱柱側(cè)（是底周長，是高）S直棱柱表面=c?h+2S底V棱柱=S底?h2、棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐的定義（1）棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。（2）正棱錐：如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的結(jié)構(gòu)特征I、平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比I、正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；1CS土-上ch',C正棱錐側(cè)面積：正棱椎2（c為底周長，h'為斜高）1V=-Sh體積：棱椎3（S為底面積，h為高）正四面體：

v'2a對于棱長為a正四面體的問題可將它補(bǔ)成一個邊長為2的正方體問題。a（正方體的邊長）二-1v'2a對于棱長為a正四面體的問題可將它補(bǔ)成一個邊長為2的正方體問題。a（正方體的邊長）二-13正方體體對角線）對棱間的距離為2—a正四面體的高3遐a3正四面體的體積為12V-4V一二1V正方體小三棱錐3正方體）11：l6正方體體對角線2正方體體對角線）正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為1:3棱臺的結(jié)構(gòu)特征棱臺的定義：用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺。正棱臺的結(jié)構(gòu)特征3、3.13.2（1）各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；2）正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；（3）正棱臺的對角面也是等腰梯形；（4）各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)。4、4、4.14.2圓柱的性質(zhì)（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓；4.2（2）過軸的截面（軸截面）是全等的矩形。圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。圓柱的面積和體積公式rh+2nr2S圓柱側(cè)面=2n?r?h（r為底面半徑，h為圓柱的高）rh+2nr2V圓柱二S底h=nr2h5、圓錐的結(jié)構(gòu)特征圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。圓錐的結(jié)構(gòu)特征（1）平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；（2）軸截面是等腰三角形；（3）母線的平方等于底面半徑與高的平方和l2=r2+h2圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心以母線長為半徑的扇形。6、圓臺的結(jié)構(gòu)特征圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。圓臺的結(jié)構(gòu)特征⑴圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；⑵圓臺的截面是等腰梯形；

⑶圓臺經(jīng)常補(bǔ)成圓錐，然后利用相似三角形進(jìn)行研究。圓臺的面積和體積公式S圓臺側(cè)=n?(R+r)?l(r、R為上下底面半徑)S圓臺全二n?r2+n?R2+n?(R+r)?lV圓臺=1/3(nr2+nR2+nrR)h(h為圓臺的高)7球的結(jié)構(gòu)特征7.1球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體?？臻g中，與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。7-2球的結(jié)構(gòu)特征⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面；⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2=R2-d2★7-3球與其他多面體的組合體的問題球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是：⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；⑷注意圓與正方體的兩個關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對角線球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長。7-4球的面積和體積公式S球面=4nR2（R為球半徑）V球=4/3nR3（三）空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積圓柱的表面積圓臺的表面積圓錐的表面積：S二圓柱的表面積圓臺的表面積圓錐的表面積：S二兀rl+兀r2+兀Rl+兀R2S二兀rl+兀r2球的表面積：cn兀R211S==—lr=—ar2扇形的面積公式扇形36022（其中1表示弧長，r表示半徑，a表示弧度）空間幾何體的體積V=SxV=Sxh柱體的體積：底V=丄（s+Qss臺體的體積：3上上下二、點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系錐體的體積：+S)xh下球體的體積：一）、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：⑹⑹1、線線平行的判斷：（1）、平行于同一直線的兩直線平行。（3）、如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。（6）、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（12）、垂直于同一平面的兩直線平行。2、線線垂直的判斷：（7）、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（8）、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。10）、若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。3、線面平行的判斷：（2）、如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。判定定理：性質(zhì)定理：★判斷或證明判定定理：性質(zhì)定理：★判斷或證明⑴利用定義allbactaa//a〔線線平行=線旳|半行）alia線面平行的方法（反證法）：11auupu汕b（線面平行二＞線線平行）f/Pl—b線面平行的方法（反證法）：11a則1〃a（用于判斷）；⑵利用判定定理：線線平行二線面平行（用于證明）;⑶利用平面的平行：面面平行=線面平行（用于證明）;⑷利用垂直于同一條直線的直線和平面平行（用于判斷）。2線面斜交和線面角：1na=A2.1直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角8。2.2線面角的范圍：8￡[0°,90°]注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時，8=0°；當(dāng)直線垂直于平面時，8=90°4、線面垂直的判斷：⑼如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。（11）如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。（⑷一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

(16)如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面。判定定理：a,b＜^a7ar\b=OIa丄a(線線垂直=線向垂直)IVaI"即：性質(zhì)定理：(1)若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。即：/丄。衛(wèi)uantIt?(線面垂肖=＞線線垂n'.)垂直于同一平面的兩直線平行。即：I：(/!_1；；/；'：■★判斷或證明線面垂直的方法⑴利用定義，用反證法證明。⑵利用判定定理證明。⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。⑷一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則也垂直于另一個。⑸如果兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。★1.5三垂線定理及其逆定理⑴斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。如圖：門cf打■!—f2：廠.1『卜;^；.(}\"?、迫咕€定理及其逆定理已知P0丄a，斜線PA在平面a內(nèi)的射影為OA,a是平面a內(nèi)的一條直線。三垂線定理：若a丄0A,則a丄PA。即垂直射影則垂直斜線。三垂線定理逆定理：若a丄PA，則a丄0A。即垂直斜線則垂直射影。⑶三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用證明異面直線垂直；作出和證明二面角的平面角；作點(diǎn)到線的垂線段。5、面面平行的判斷：⑷一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。(13)垂直于同一條直線的兩個平面平行。6、面面垂直的判斷：(15)—個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。判定定理性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理(線面垂直二面面垂TD⑴若兩面垂直，則這兩個平面的二面角的平面角為90°；a丄"“c/n/?=AB1{n悠丄/?(山|I川非-：口.二＞線汕非-：-I)a匸盤口丄沖E4)圖2-104)圖2-10面面垂直性質(zhì)(二)、其他定理：確定平面的條件：①不公線的三點(diǎn)；②直線和直線外一點(diǎn)；③相交直線；(2)直線與直線的位置關(guān)系：相交；平行；異面；直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi)；平行；相交(垂直是它的特殊情況)；平面與平面的位置關(guān)系：相交；；平行；等角定理：如果兩個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個角相等；如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；射影定理(斜線長、射影長定理)：從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也較長；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短。最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。異面直線的判定：反證法；過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線。過已知點(diǎn)與一條直線垂直的直線都在過這點(diǎn)與這條直線垂直平面內(nèi)。如果—直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個平面的交線。(三)、唯一性定理：過已知點(diǎn)，有且只能作一直線和已知平面垂直。過已知平面外一點(diǎn)，有且只能作一平面和已知平面平行。過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。四、空間角的求法：(所有角的問題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，尤其是直角三角形)異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：°o3彳90o；線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為°o；②線面垂直：線面所成的角為90o；斜線與平面所成的角：范圍°o<a<90o；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。線面所成的角范圍0o-a-9°o二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；二面角的平面角的范圍：0o-a<18°o；五、距離的求法：點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線段的長、點(diǎn)與線、面間的距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計算。注意：求點(diǎn)到面的距離的方法：直接法：直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長(垂線段一般在二面角所在的平面上)；轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離(利用線面平行的性質(zhì))；體積法：利用三棱錐體積公式。線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：定義法，關(guān)鍵是確定出a'b的公垂線段；轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為a與過b而平行于a的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點(diǎn)線間距離常常相互轉(zhuǎn)化；六、常用的結(jié)論：若直線1在平面a內(nèi)的射影是直線1，直線m是平面a內(nèi)經(jīng)過1的斜足的一條直線，1與廠所成的角為。i，T與m所成的角為。2,1與m所成的角為。，則這三個角之間的關(guān)系是cos0=cos0cos0如何確定點(diǎn)在平面的射影位置：I、如果一個角所在平面外一點(diǎn)到角兩邊距離相等，那么這點(diǎn)在平面上的射影在這個角的

平分線上；II、經(jīng)過一個角的頂角引這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角的兩邊夾角相等，那么斜線上的點(diǎn)在平面上的射影在這個角的平分線所在的直線上；III、如果平面外一點(diǎn)到平面上兩點(diǎn)的距離相等，則這一點(diǎn)在平面上的射影在以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上。垂線法：如果過平面外一點(diǎn)的斜線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這一點(diǎn)在這平面上的射影在過斜足且垂直于平面內(nèi)直線的直線上（三垂線定理和逆定理）；垂面法：如果兩平面互相垂直，那么一個平面內(nèi)任一點(diǎn)在另一平面上的射影在這兩面的交線上（面面垂直的性質(zhì)定理）；整體法：確定點(diǎn)在平面的射影，可先確定過一點(diǎn)的斜線這一整體在平面內(nèi)的射影。（3）在四面體ABCD中：①若AB丄CD，BC丄AD，則AC丄BD；且A在平面BCD上的射影是ABCD的垂心。②若AB二AC二AD，則A在平面BCD上的射影是ABCD的外心。③若A到BC，CD，BD邊的距離相等，則A在平面BCD上的射影是ABCD的內(nèi)心。（4）異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式：若異面直線所成的角為，它們公垂線段AA'的長為d，在a'b上分別取一點(diǎn)E'F，設(shè)A'E=m，AF二n；貝yEF=、：d2+m2+n2土2mncos0（如果ZE'AF為銳角，公式中取負(fù)號，如果ZE'AF為鈍，公式中取正號）四、空間角的求法：（所有角的問題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：0o<a-900；注意：若異面直線中一條直線是三角形的一邊，則平移時可找三角形的中位線。有的還可以通過補(bǔ)形，如：將三棱柱補(bǔ)成四棱柱；將正方體再加上三個同樣的正方體，補(bǔ)成一個底面是正方形的長方體。（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為00；②線面垂直：線面所成的角為90o；斜線與平面所成的角：范圍00<?<90。；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。（3）二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；S'cos0=lr注意：還可以用射影法：S；其中0為二面角a_1_R的大小，S為a內(nèi)的一個封閉幾何圖形的面積；S'為a內(nèi)的一個封閉幾何圖形在R內(nèi)射影圖形的面積。一般用于解選擇、填空題。五、距離的求法：（1）點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線段的長、點(diǎn)與線、面間的距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計算。注意：求點(diǎn)到面的距離的方法：直接法：直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上）；轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)）；體積法：利用三棱錐體積公式。（2）線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：定義法，關(guān)鍵是確定出a'b的公垂線段；轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為a與過b而平行于a的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；（3）線面、面面