()第七章解析幾何與微分幾何SECTION7

精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔§7 平面曲線[曲線方程與正方向]曲線方程的形式直角坐標(biāo)系隱 式 F(x,y)=0顯 式 y=f(x)參數(shù)式 或(t為任意參數(shù),s為曲線的弧長(zhǎng))極坐標(biāo)系=()

曲線的正向x增加時(shí),曲線上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向t或s增加時(shí),曲線上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向增加(即逆時(shí)針?lè)较?時(shí),曲線上一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向[曲線的切線與法線]QM時(shí),MQM的切線,M并垂直于切線的直線稱為法線.切線的正向就是曲線在切點(diǎn)處的正向,90°而得到的方向.[曲線的切矩、法矩、次切矩、次法矩與切線傾斜度公式]直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系圖 形切距直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系圖 形切距法距切線傾斜度tantan0/0

f(x0

),

0

).對(duì)于參數(shù)表達(dá)的曲線,表中ddy dxdt dttt0

y0.0[曲線的切線方程與法線方程]曲線方程F(x,y)=0y=f(x)=()

切線方程(MT) 法線方程(MN)表中分別表示

F,F

在點(diǎn)Mx,y的值,y0

,,0

y同前0 0

x y 0 0 [曲線的夾角] 兩條相交于點(diǎn)

xy 的曲0 0線yf1

(x)和yf2

(x)在交點(diǎn)的切線斜率分別為kf(x1 1

和k2

f(x2

),其夾角稱為兩條曲線的夾角(圖7.14),且ta

k k2 1 圖[弧的微分]

1kk12

7.14曲線方程與圖形曲線方程與圖形dsy=f(x)=1y2dx22dt22d[曲率曲率半徑曲率圓(或密切圓)與曲率中心的定義] 曲線上兩點(diǎn)M和Q的切線正向MQ的夾角與弧長(zhǎng)MQ

之比,當(dāng)Q趨于M時(shí)的極限,即klim

daQMQ dsM的曲率,轉(zhuǎn)動(dòng)率.k>0時(shí),表明曲線凹向朝法線的正向;k<0時(shí)表明曲線凹向朝法線的負(fù)向(7.15).R1dsF da稱為曲線在點(diǎn)M的曲率半徑.在曲線凹向的法線上截

圖7.15MCR,則稱C為曲線在點(diǎn)M的曲率中心,以C為圓,R為半徑的圓稱為曲線在點(diǎn)M的曲圓,又稱為密切圓.C點(diǎn)的坐標(biāo)為x xRsinxRdyC dsy yRcosyRdxC ds[曲率半徑與曲率中心坐標(biāo)的計(jì)算公式]設(shè)R為曲率半徑,(x,yC C

)為曲率中心的坐標(biāo),則有1°F(x,y0時(shí)

3F'2F'22F''xxFF''xxF''F'F''F''FxyF'F0xyxyyyx y F' F'2F'2 F' F'2 F''xxF''F''xxF''F'F''F''FxyF'F0xyxyyyx yC

x x

y yFF''xxF''F'F''F''FxyF'F0xyxyyyx y

y x y2°曲線方程為y=f(x)時(shí)

3x xC

Ry'1y'2y''

1y'22 y yC

y1y'2y''y y R

2

2233 x xC

2

y yC

224°曲線方程為時(shí) 3R

2'2222'2''cos

2'2

cos'siC 22'2'' si

2'2

si'cosC 22'2''定義與圖形方程與說(shuō)明(定義與圖形方程與說(shuō)明(:y=f(x))等距線曲線上的每點(diǎn)沿在該點(diǎn)法線的一定方向(正負(fù)兩個(gè)方向)移動(dòng)等距離a得到新的點(diǎn),這些點(diǎn)的軌跡XxΓ1,2Γ1(和Γ )稱為曲線的等距線2yay'1y'2a1y'20式中正負(fù)號(hào)上邊對(duì)應(yīng)于Γx為參數(shù)的參數(shù)方程.如果為參數(shù)式方程xxt1,下邊對(duì)應(yīng)于Γ .2yytt為參數(shù)的方程漸屈線曲線上的每點(diǎn)的曲率中心

Γ1,2

Xxy

a2

0 C稱為曲線曲線的法包線

2 y''線) Xxy'1 y''CCYy1y'2 y''x為參數(shù)的參數(shù)方程.形式表達(dá)的曲線的漸屈線的方程參見(jiàn)曲率中心的公式漸開(kāi)線曲線對(duì)它的漸屈線C言,就是漸開(kāi)線(或稱漸伸線)設(shè)C的方程為y=f(x),則 Y=Y或XXxY

(x為參數(shù))它是微分方程組 XY'1Y'2 x Y''定義與圖形

1Y

f(x) Y''的解,式中Y'dYdx方程與說(shuō)明(:y=f(x))精品文檔精品文檔其他形式表達(dá)的曲線的漸開(kāi)線方程可由表示曲率中心的坐標(biāo)的微分方程組而解出隱式Fy,0隱式漸開(kāi)線的性質(zhì)1°漸開(kāi)線上任一點(diǎn)的法線與曲線

F

y,

(為參數(shù))yfx,C相切 顯式

(為參數(shù))fx

f02°MM1 2

的曲率半徑

x 的改變量等于相對(duì)應(yīng)的曲線弧長(zhǎng),即 xMC MMC M2 2 1 1

參數(shù)式

) (為參數(shù))1 2 y yt3°漸開(kāi)線的等距線是和它一樣的漸開(kāi)線,它們僅僅是起點(diǎn)不同.

y

yx0t t消去得到不同形式的方程,它們所表示包絡(luò)線與曲線族所有曲線都相切的的曲線稱為判別曲線,包含包絡(luò)線與由奇點(diǎn)曲線稱為該曲線族的包絡(luò)線 組成的曲線(例如,曲線族F(x,y,)=0上的F/x0,F/y0的軌跡為由奇點(diǎn)組成的曲線).F0都無(wú)奇點(diǎn)則判別曲線即是包絡(luò)線例在圓盤周圍繞上一根不會(huì)伸縮的細(xì)線,線端栓一支鉛筆,拉緊線端A逐漸拉開(kāi),鉛筆尖在紙上畫出來(lái)的曲線就是圓的漸開(kāi)線.這個(gè)圓稱為漸開(kāi)線的基圓.細(xì)線稱為漸開(kāi)線的發(fā)生線(圖7.16(a)).現(xiàn)在來(lái)尋求漸開(kāi)線的方程.O,a.開(kāi)始畫時(shí),A點(diǎn),取OAx軸(極軸),7.16(b).P的坐標(biāo)為(x,y)或因?yàn)榘l(fā)生線原來(lái)對(duì)著圓心角精品文檔 (a) （b）精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔NA為+(=PON,在齒輪設(shè)計(jì)中,通稱為壓力角)的一段弧NA

,NP,NP的長(zhǎng)是a(+),從直角三角形ONP得:OP= a

,又因tan

NP=+,由此得到圓的漸開(kāi)線方程

cos ax a cos cosy

acos

sin式中是依賴于極角的,這個(gè)關(guān)系決定于tan.,把上式寫為極坐標(biāo)方程

acos

(單位為弧度)tan設(shè)t=+,可得直角坐標(biāo)參數(shù)方程xtsintyttcost

(a為基圓半徑)[雪列-弗萊納公式]

dtn,

dntds R ds R式中t和n分別為曲線的切線和法線的單位矢量，s為弧長(zhǎng)，R為曲率半徑.[基本定理與自然方程在閉區(qū)間[a,b]（s，則除了在平面上的位s.kk（s）方程.[兩條平面曲線構(gòu)成n階接觸的概念與條件]設(shè)兩條曲線C1和

有一共同點(diǎn)C2

上取一點(diǎn)M，從MC1

hdMO的距離（圖7.17

h 0(MO)dn則稱兩條曲線C1

COn階接觸.2n階接觸的準(zhǔn)則：

圖 7.171

F（x,y）=0C2

的方程為x=x(t)，y=y(t)，并設(shè)在點(diǎn)t=t0（即O（x0

,y0

）Fx

Fy

0,x2(t0

)y2(t0

)0

COn階接2觸的充分必要條件是：

(t0

)(t0

) (n)(t0

)0式中(t)F[x