2023屆北京市朝陽陳經(jīng)綸中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)_第1頁
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文檔簡介

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.2.已知函數(shù),則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.3.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)()A.伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個單位長度B.伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖像向左平移個單位長度C.縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個單位長度D.縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個單位長度4.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i5.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.6.如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B. C.1 D.8.如圖,正方體的棱長為1,動點在線段上,、分別是、的中點,則下列結(jié)論中錯誤的是()A., B.存在點,使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值9.如圖,四邊形為平行四邊形,為中點,為的三等分點(靠近)若,則的值為()A. B. C. D.10.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④11.已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.12.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知中,點是邊的中點,的面積為,則線段的取值范圍是__________.14.已知數(shù)列的前項和為,且滿足,則______15.已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為,側(cè)面積為,則該棱錐的體積為__________.16.直線是圓:與圓:的公切線,并且分別與軸正半軸,軸正半軸相交于,兩點,則的面積為_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎促銷,規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎機(jī)會.摸獎規(guī)則如下:獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個球,若摸到黑球則摸獎停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎勵20元,摸到白球或黃球獎勵10元,摸到黑球不獎勵.(1)求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)已知,若對于任意恒成立,求的取值范圍.19.(12分)已知等腰梯形中(如圖1),,,為線段的中點,、為線段上的點,,現(xiàn)將四邊形沿折起(如圖2)(1)求證:平面;(2)在圖2中,若,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)證明:();(Ⅲ)證明:.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知圓,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線平分圓M的周長.(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程;(2)過原點作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點,與圓M交于O,B兩點,求面積的最大值.22.(10分)已知,均為正項數(shù)列,其前項和分別為,,且,,,當(dāng),時,,.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【答案解析】

首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【題目詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設(shè)中點為,連接,,可知,,同時易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【答案點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算,屬于基礎(chǔ)題.2.A【答案解析】

首先求得時,的取值范圍.然后求得時,的單調(diào)性和零點,令,根據(jù)“時,的取值范圍”得到,利用零點存在性定理,求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【題目詳解】當(dāng)時,.當(dāng)時,為增函數(shù),且,則是唯一零點.由于“當(dāng)時,.”,所以令,得,因為,,所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選:A【答案點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點,考查零點存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.3.B【答案解析】

分析:根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.詳解:將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),

得到再將得到的圖象向左平移個單位長度得到故選B.點睛:本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換,結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.4.B【答案解析】分析:化簡已知復(fù)數(shù)z,由共軛復(fù)數(shù)的定義可得.詳解:化簡可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B.點睛:本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算,涉及共軛復(fù)數(shù),屬基礎(chǔ)題.5.B【答案解析】

根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計算即可求出值.【題目詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【答案點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.6.D【答案解析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【題目詳解】設(shè)四個支點所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【答案點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【答案解析】

由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.【題目詳解】,時,,,∴,由題意,∴.故選:A.【答案點睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8.B【答案解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【題目詳解】在A中,因為分別是中點,所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故B錯誤;在C中,由平面幾何得,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出,結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【答案點睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.9.D【答案解析】

使用不同方法用表示出,結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出.【題目詳解】解:,又解得,所以故選:D【答案點睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義,屬于基礎(chǔ)題.10.C【答案解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【題目詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯②:因為,,所以或,因為,所以,故②對③:或,故③錯④:如圖因為,,在內(nèi)過點作直線的垂線,則直線,又因為,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因為,,所以,所以,故④對.故選:C【答案點睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.11.A【答案解析】

根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長的2倍,可得出,結(jié)合,得出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】解:由雙曲線可知,焦點在軸上,則雙曲線的漸近線方程為:,由于焦距是虛軸長的2倍,可得:,∴,即:,,所以雙曲線的漸近線方程為:.故選:A.【答案點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),以及雙曲線的漸近線方程.12.C【答案解析】試題分析:集合考點:集合間的關(guān)系二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【答案解析】

設(shè),利用正弦定理,根據(jù),得到①,再利用余弦定理得②,①②平方相加得:,轉(zhuǎn)化為有解問題求解.【題目詳解】設(shè),所以,即①由余弦定理得,即②,①②平方相加得:,即,令,設(shè),在上有解,所以,解得,即,故答案為:【答案點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題.14.【答案解析】

對題目所給等式進(jìn)行賦值,由此求得的表達(dá)式,判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,由此求得的值.【題目詳解】解:,可得時,,時,,又,兩式相減可得,即,上式對也成立,可得數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,可得.【答案點睛】本小題主要考查已知求,考查等比數(shù)列前項和公式,屬于中檔題.15.【答案解析】

如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設(shè),根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值,再利用勾股定理求得正四棱錐的高,代入體積公式,即可得到答案.【題目詳解】如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設(shè),,,,,,.故答案為:.【答案點睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運(yùn)算求解能力.16.【答案解析】

根據(jù)題意畫出圖形,設(shè),利用三角形相似求得的值,代入三角形的面積公式,即可求解.【題目詳解】如圖所示,設(shè),由與相似,可得,解得,再由與相似,可得,解得,由三角形的面積公式,可得的面積為.故答案為:.【答案點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,以及三角形相似的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)20.【答案解析】

(1)1名顧客摸球2次摸獎停止,說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,即求概率;(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.分別求出取各個值時的概率,即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】(1)1名顧客摸球2次摸獎停止,說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,所以1名顧客摸球2次摸獎停止的概率.(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.,∴隨機(jī)變量X的分布列為:X01020301P數(shù)學(xué)期望.【答案點睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.18.(1)或;(2).【答案解析】

(1)時,分類討論,去掉絕對值,分類討論解不等式.(2)時,分類討論去絕對值,得到解析式,由函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值,通過恒成立問題,得到關(guān)于的不等式,得到的取值范圍.【題目詳解】(1)因為,所以,所以不等式等價于或或,解得或.所以不等式的解集為或.(2)因為,所以,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的最小值為,因為恒成立,所以,解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【答案點睛】本題考查分類討論去絕對值,分段函數(shù)求最值,不等式恒成立問題,屬于中檔題.19.(1)見解析;(2).【答案解析】

(1)先連接,根據(jù)線面平行的判定定理,即可證明結(jié)論成立;(2)在圖2中,過點作,垂足為,連接,,證明平面平面,得到點在底面上的投影必落在直線上,記為點在底面上的投影,連接,,得出即是直線與平面所成角,再由題中數(shù)據(jù)求解,即可得出結(jié)果.【題目詳解】(1)連接,因為等腰梯形中(如圖1),,,所以與平行且相等,即四邊形為平行四邊形;所以;又為線段的中點,為中點,易得:四邊形也為平行四邊形,所以;將四邊形沿折起后,平行關(guān)系沒有變化,仍有:,且,所以翻折后四邊形也為平行四邊形;故;因為平面,平面,所以平面;(2)在圖2中,過點作,垂足為,連接,,因為,,翻折前梯形的高為,所以,則,;所以;又,,所以,即,所以;又,且平面,平面,所以平面;因此,平面平面;所以點在底面上的投影必落在直線上;記為點在底面上的投影,連接,,則平面;所以即是直線與平面所成角,因為,所以,因此,,故;因為,所以,因此,故,所以.即直線與平面所成角的正弦值為.【答案點睛】本題主要考查證明線面平行,以及求直線與平面所成的角,熟記線面平行的判定定理,以及線面角的求法即可,屬于常考題型.20.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析【答案解析】

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得到結(jié)果化簡,運(yùn)用累加法得出結(jié)果運(yùn)用放縮法和累加法進(jìn)行求證【題目詳解】(Ⅰ)數(shù)學(xué)歸納法證明時,①當(dāng)時,成立;②當(dāng)時,假設(shè)成立,則時所以時,成立綜上①

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