講義151 幾何證明選講課件 理 蘇教版課件

第1講幾何證明選講第1講幾何證明選講知識梳理1．平行截割定理 (1)平行線等分線段定理 如果一組

在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也

． (2)平行線分線段成比例定理 兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應(yīng)線段成

．平行線相等比例知識梳理平行線相等比例2．相似三角形的判定與性質(zhì) (1)相似三角形的判定定理 ①兩角對應(yīng)

的兩個(gè)三角形相似． ②兩邊對應(yīng)成

且夾角相等的兩個(gè)三角形相似； ③三邊對應(yīng)成

的兩個(gè)三角形相似； (2)相似三角形的性質(zhì)定理 ①相似三角形的對應(yīng)線段的比等于

． ②相似三角形周長的比等于

． ③相似三角形面積的比等于

．相等比例比例相似比相似比相似比的平方2．相似三角形的判定與性質(zhì)相等比例比例相似比相似比3．直角三角形射影定理 直角三角形一條直角邊的平方等于

，斜邊上的高的平方等于

.．該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的乘積兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積3．直角三角形射影定理該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的乘積4．圓中有關(guān)的定理 (1)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)的

． (2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于

的度數(shù)． (3)切線的判定與性質(zhì)定理 ①切線的判定定理 過半徑外端且與這條半徑

的直線是圓的切線． ②切線的性質(zhì)定理 圓的切線

于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．一半垂直它所對弧垂直4．圓中有關(guān)的定理一半垂直它所對弧垂直 (4)切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長

． (5)弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的度數(shù)的

． (6)相交弦定理：圓的兩條相交弦，每條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積

． (7)切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線與一條切線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段長的

．相等一半相等等比中項(xiàng) (4)切線長定理相等一半相等等比中項(xiàng)(8)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理①圓內(nèi)接四邊形判定定理a．如果四邊形的對角

，則此四邊形內(nèi)接于圓；b．如果四邊形的一個(gè)外角

它的內(nèi)角的對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．②圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理a．圓內(nèi)接四邊形的對角

；b．圓內(nèi)接四邊形的外角

它的內(nèi)角的對角．

互補(bǔ)等于互補(bǔ)等于(8)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理互補(bǔ)等于互補(bǔ)等于診斷自測1.(2009·江蘇卷)如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD.

證明由△ABC≌△BAD，得∠ACB＝∠BDA，故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，從而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD，得∠CAB＝∠DBA.因此∠DBA＝∠CDB，∴AB∥CD.診斷自測2.(2012·鎮(zhèn)江市期末考試)已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD∥BC，過點(diǎn)C作該圓的切線，交AD的延長線于點(diǎn)E，求證：△ABC∽△EDC. 證明因?yàn)镃E為圓的切線，所以∠DCE＝∠DAC. 因?yàn)锳D∥BC，所以∠DAC＝∠BCA，所以∠DCE＝∠BCA. 因?yàn)樘菪蜛BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以∠EDC＝∠ABC.所以△ABC∽△EDC.2.(2012·鎮(zhèn)江市期末考試)已知梯形ABCD為圓內(nèi)接3.(2013·鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖，圓O的直徑AB＝4，C為圓周上的一點(diǎn)，BC＝2，過點(diǎn)C作圓O的切線l，過點(diǎn)A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交于點(diǎn)D、E， 求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長．3.(2013·鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖，圓O的直徑AB＝4，C為考點(diǎn)一相似三角形的判定及性質(zhì)【例1】

如圖，BD、CE是△ABC對應(yīng)邊上的高． 求證：△ADE∽△ABC.

考點(diǎn)一相似三角形的判定及性質(zhì)規(guī)律方法

(1)判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇判定定理，特別要注意對應(yīng)角和對應(yīng)邊．(2)相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等；可間接證明線段相等．規(guī)律方法(1)判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇講義151幾何證明選講課件理蘇教版課件考點(diǎn)二圓周角、弦切角及圓的切線問題【例2】

如圖所示，⊙O的直徑為6，AB為⊙O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于D、E. (1)求∠DAC的度數(shù)； (2)求線段AE的長． 解(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°， 由于直線l與⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°， 由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°， 知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.考點(diǎn)二圓周角、弦切角及圓的切線問題(2)法一連接BE，如圖(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，則Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.(1)(2)法一連接BE，如圖(1)所示，∠EAB＝60°＝∠C法二連接EC，OC，如圖(2)所示，則由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，又因?yàn)椤螩AB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，從而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四邊形AOCE是平行四邊形，又因?yàn)镺A＝OC，故四邊形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.(2)法二連接EC，OC，如圖(2)所示，則由弦切角定理知，∠D規(guī)律方法

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．(2)涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．規(guī)律方法(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于【訓(xùn)練2】如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E.(1)證明由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD.因?yàn)椤螦EB與∠ACD是同弧所對的圓周角．所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.【訓(xùn)練2】如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓講義151幾何證明選講課件理蘇教版課件考點(diǎn)三相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理的應(yīng)用【例3】

如圖，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)為⊙O上的點(diǎn)，AC是∠BAF的平分線，過點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長線于D點(diǎn)，CM⊥AB，垂足為點(diǎn)M.

證明：(1)DC是⊙O的切線； (2)AM·MB＝DF·DA.考點(diǎn)三證明(1)如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.又∵AC是∠BAF的平分線，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴AD∥OC.又CD⊥AD，∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切線．(2)∵AC是∠BAF的平分線，∠CDA＝∠CMA＝90°，∴CD＝CM.由(1)知DC2＝DF·DA，又CM2＝AM·MB，∴AM·MB＝DF·DA.證明(1)如圖，連接OC，∵OA＝OC，規(guī)律方法已知圓的切線時(shí)，第一要考慮過切點(diǎn)和圓心的連線得直角；第二應(yīng)考慮弦切角定理；第三涉及線段成比例或線段的積時(shí)要考慮切割線定理．規(guī)律方法已知圓的切線時(shí)，第一要考慮過切點(diǎn)和圓心的連線得直角【訓(xùn)練3】

如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D. 求證：ED2＝EC·EB. 證明因?yàn)锳E是圓的切線， 所以∠ABC＝∠CAE. 又因?yàn)锳D是∠BAC的平分線， 所以∠BAD＝∠CAD. 從而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD. 因?yàn)椤螦DE＝∠ABC＋∠BAD，【訓(xùn)練3】如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，所以∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED.因?yàn)镋A是圓的切線，所以由切割線定理知，EA2＝EC·EB.而EA＝ED，所以ED2＝EC·EB.∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，考點(diǎn)四圓內(nèi)接四邊形的判定及應(yīng)用【例4】

(2014·銀川一中月考)如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)． (1)證明：A、P、O、M四點(diǎn)共圓； (2)求∠OAM＋∠APM的大?。键c(diǎn)四圓內(nèi)接四邊形的判定及應(yīng)用(1)證明連接OP，OM，因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥AP.因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補(bǔ)，所以A、P、O、M四點(diǎn)共圓．(1)證明連接OP，OM，因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)(2)解由(1)得A、P、O、M四點(diǎn)共圓，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因?yàn)閳A心O在∠PAC的內(nèi)部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.規(guī)律方法

(1)如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四點(diǎn)共圓；(2)如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．(2)解由(1)得A、P、O、M四點(diǎn)共圓，【訓(xùn)練4】

如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于點(diǎn)H，∠ABC＝60°，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF. 求證：(1)B、D、H、E四點(diǎn)共圓； (2)CE平分∠DEF.【訓(xùn)練4】如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于證明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分別是△ABC的角平分線，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四點(diǎn)共圓．證明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，(2)連接BH，則BH為∠ABC的平分線，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四點(diǎn)共圓，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.又∠EHA＝∠HDE＋∠CED＝60°，∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.

(2)連接BH，則BH為∠ABC的平分線，思想方法14——化解與轉(zhuǎn)化法在幾何證明中的應(yīng)用 以近幾年的高考來看，幾何證明的高考命題集中在以圓為載體和三角形、四邊形相結(jié)合的綜合性題目上，這類試題往往要綜合運(yùn)用多個(gè)定理和添加一定的輔助線才能解決．【典例】

(2012·遼寧卷)如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點(diǎn)， 過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連結(jié)DB延長 交⊙O于點(diǎn)E. 證明：(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.思想方法14——化解與轉(zhuǎn)化法在幾何證明中的應(yīng)用講義151幾何證明選講課件理蘇教版課件講義151幾何證明選講課件理蘇教版課件[反思感悟]

本題考查平面幾何中的相似三角形知識及弦切角知識，關(guān)鍵是要把握相似三角形的判定定理，分清各種情況的符合條件，看兩個(gè)三角形已經(jīng)具備哪些條件，還差哪個(gè)條件，再去考慮．[反思感悟]本題考查平面幾何中的相似三角形知識及弦切角知識【自主體驗(yàn)】(2012·江蘇卷)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長至點(diǎn)C，使BD＝DC，連結(jié)AC，AE，DE. 求證：∠E＝∠C.【自主體驗(yàn)】(2012·江蘇卷)如圖，AB是圓O的直徑，D，證明如圖，連接OD，因?yàn)锽D＝DC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C.因?yàn)镺B＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.證明如圖，連接OD，因?yàn)锽D＝DC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)第1講幾何證明選講第1講幾何證明選講知識梳理1．平行截割定理 (1)平行線等分線段定理 如果一組

在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也

． (2)平行線分線段成比例定理 兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應(yīng)線段成

．平行線相等比例知識梳理平行線相等比例2．相似三角形的判定與性質(zhì) (1)相似三角形的判定定理 ①兩角對應(yīng)

的兩個(gè)三角形相似． ②兩邊對應(yīng)成

且夾角相等的兩個(gè)三角形相似； ③三邊對應(yīng)成

的兩個(gè)三角形相似； (2)相似三角形的性質(zhì)定理 ①相似三角形的對應(yīng)線段的比等于

． ②相似三角形周長的比等于

． ③相似三角形面積的比等于

．相等比例比例相似比相似比相似比的平方2．相似三角形的判定與性質(zhì)相等比例比例相似比相似比3．直角三角形射影定理 直角三角形一條直角邊的平方等于

，斜邊上的高的平方等于

.．該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的乘積兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積3．直角三角形射影定理該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的乘積4．圓中有關(guān)的定理 (1)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)的

． (2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于

的度數(shù)． (3)切線的判定與性質(zhì)定理 ①切線的判定定理 過半徑外端且與這條半徑

的直線是圓的切線． ②切線的性質(zhì)定理 圓的切線

于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．一半垂直它所對弧垂直4．圓中有關(guān)的定理一半垂直它所對弧垂直 (4)切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長

． (5)弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的度數(shù)的

． (6)相交弦定理：圓的兩條相交弦，每條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積

． (7)切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線與一條切線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段長的

．相等一半相等等比中項(xiàng) (4)切線長定理相等一半相等等比中項(xiàng)(8)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理①圓內(nèi)接四邊形判定定理a．如果四邊形的對角

，則此四邊形內(nèi)接于圓；b．如果四邊形的一個(gè)外角

它的內(nèi)角的對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．②圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理a．圓內(nèi)接四邊形的對角

；b．圓內(nèi)接四邊形的外角

它的內(nèi)角的對角．

互補(bǔ)等于互補(bǔ)等于(8)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理互補(bǔ)等于互補(bǔ)等于診斷自測1.(2009·江蘇卷)如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD.

證明由△ABC≌△BAD，得∠ACB＝∠BDA，故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，從而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD，得∠CAB＝∠DBA.因此∠DBA＝∠CDB，∴AB∥CD.診斷自測2.(2012·鎮(zhèn)江市期末考試)已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD∥BC，過點(diǎn)C作該圓的切線，交AD的延長線于點(diǎn)E，求證：△ABC∽△EDC. 證明因?yàn)镃E為圓的切線，所以∠DCE＝∠DAC. 因?yàn)锳D∥BC，所以∠DAC＝∠BCA，所以∠DCE＝∠BCA. 因?yàn)樘菪蜛BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以∠EDC＝∠ABC.所以△ABC∽△EDC.2.(2012·鎮(zhèn)江市期末考試)已知梯形ABCD為圓內(nèi)接3.(2013·鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖，圓O的直徑AB＝4，C為圓周上的一點(diǎn)，BC＝2，過點(diǎn)C作圓O的切線l，過點(diǎn)A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交于點(diǎn)D、E， 求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長．3.(2013·鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖，圓O的直徑AB＝4，C為考點(diǎn)一相似三角形的判定及性質(zhì)【例1】

如圖，BD、CE是△ABC對應(yīng)邊上的高． 求證：△ADE∽△ABC.

考點(diǎn)一相似三角形的判定及性質(zhì)規(guī)律方法

(1)判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇判定定理，特別要注意對應(yīng)角和對應(yīng)邊．(2)相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等；可間接證明線段相等．規(guī)律方法(1)判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇講義151幾何證明選講課件理蘇教版課件考點(diǎn)二圓周角、弦切角及圓的切線問題【例2】

如圖所示，⊙O的直徑為6，AB為⊙O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于D、E. (1)求∠DAC的度數(shù)； (2)求線段AE的長． 解(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°， 由于直線l與⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°， 由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°， 知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.考點(diǎn)二圓周角、弦切角及圓的切線問題(2)法一連接BE，如圖(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，則Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.(1)(2)法一連接BE，如圖(1)所示，∠EAB＝60°＝∠C法二連接EC，OC，如圖(2)所示，則由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，又因?yàn)椤螩AB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，從而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四邊形AOCE是平行四邊形，又因?yàn)镺A＝OC，故四邊形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.(2)法二連接EC，OC，如圖(2)所示，則由弦切角定理知，∠D規(guī)律方法

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?2)涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．規(guī)律方法(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于【訓(xùn)練2】如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E.(1)證明由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD.因?yàn)椤螦EB與∠ACD是同弧所對的圓周角．所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.【訓(xùn)練2】如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓講義151幾何證明選講課件理蘇教版課件考點(diǎn)三相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理的應(yīng)用【例3】

如圖，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)為⊙O上的點(diǎn)，AC是∠BAF的平分線，過點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長線于D點(diǎn)，CM⊥AB，垂足為點(diǎn)M.

證明：(1)DC是⊙O的切線； (2)AM·MB＝DF·DA.考點(diǎn)三證明(1)如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.又∵AC是∠BAF的平分線，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴AD∥OC.又CD⊥AD，∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切線．(2)∵AC是∠BAF的平分線，∠CDA＝∠CMA＝90°，∴CD＝CM.由(1)知DC2＝DF·DA，又CM2＝AM·MB，∴AM·MB＝DF·DA.證明(1)如圖，連接OC，∵OA＝OC，規(guī)律方法已知圓的切線時(shí)，第一要考慮過切點(diǎn)和圓心的連線得直角；第二應(yīng)考慮弦切角定理；第三涉及線段成比例或線段的積時(shí)要考慮切割線定理．規(guī)律方法已知圓的切線時(shí)，第一要考慮過切點(diǎn)和圓心的連線得直角【訓(xùn)練3】

如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D. 求證：ED2＝EC·EB. 證明因?yàn)锳E是圓的切線， 所以∠ABC＝∠CAE. 又因?yàn)锳D是∠BAC的平分線， 所以∠BAD＝∠CAD. 從而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD. 因?yàn)椤螦DE＝∠ABC＋∠BAD，【訓(xùn)練3】如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，所以∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED.因?yàn)镋A是圓的切線，所以由切割線定理知，EA2＝EC·EB.而EA＝ED，所以ED2＝EC·EB.∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，考點(diǎn)四圓內(nèi)接四邊形的判定及應(yīng)用【例4】

(2014·銀川一中月考)如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)． (1)證明：A、P、O、M四點(diǎn)共圓； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．考點(diǎn)四圓內(nèi)接四邊形的判定及應(yīng)用(1)證明連接OP，OM，因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥AP.因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補(bǔ)，所以A、P、O、M四點(diǎn)共圓．(1)證明連接OP，OM，因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)(2)解由(1)得A、P、O、M四點(diǎn)共圓，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因?yàn)閳A心O在∠PAC的內(nèi)部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.規(guī)律方法

(1)如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四點(diǎn)共圓；(2)如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．(2)解由(1)得A、P、O、M四點(diǎn)共圓，【訓(xùn)練4】

如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于點(diǎn)H，∠ABC＝60°，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF. 求證：(1)B、D、H、E四點(diǎn)共圓； (2)CE平分∠DEF.【訓(xùn)練4】如圖，已知△ABC的兩條角平分