高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換321倍角公式學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．2。1倍角公式預(yù)習(xí)課本P143～144，思慮并完成以下問題（1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推導(dǎo)？聯(lián)系已學(xué)公式，考慮cos2α，sin2α有哪幾種變形方法？錯誤!二倍角公式錯誤!1．判斷以下命題可否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×")（1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．（)(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．（)（3)對任意角α，總有tan2α＝錯誤!.(）答案：(1)×（2)√(3)×2．已知sinα＝錯誤!,cosα＝錯誤!，則sin2α等于(）1學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A。錯誤!B。錯誤!C.錯誤!D.錯誤!答案：D3．計算cos215°－sin215°結(jié)果等于(）A.錯誤!B.錯誤!C。錯誤!D.錯誤!答案:D34．已知α為第三象限角，cosα＝－5，則tan2α＝________.答案：－錯誤!給角求值問題[典例］求以下各式的值:1)sinπcosπ；(2）1－2sin2750°；1212(3）錯誤!;（4)cos20°cos40°cos80°。［解］(1)原式＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!。(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°cos(4×360°＋60°)cos60°＝錯誤!.原式＝tan(2×150°）＝tan300°＝tan（360°－60°）＝－tan60°＝－錯誤!.原式＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!。此類題型（1)(2）（3)小題直接利用公式或逆用公式較為簡單．而（4)小題經(jīng)過觀察角2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精度的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其特點(二倍角形式），逆用正弦二倍角公式,使得問題中可連用正弦二倍角公式，因此在解題過程中要注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點及角之間可否存在特其他倍數(shù)關(guān)系，靈活運用公式及其變形，從而使問題瓜熟蒂落．［活學(xué)活用]求以下各式的值．（1）sin錯誤!sin錯誤!；(2)cos2215°－cos75°；(3）2cos2錯誤!－1；(4）錯誤!。解：(1)∵sin錯誤!＝sin錯誤!＝cos錯誤!，∴sin錯誤!sin錯誤!＝sin錯誤!cos錯誤!＝錯誤!·2sin錯誤!cos錯誤!＝錯誤!πsin4＝錯誤!。(2）∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，2222∴cos15°－cos75°＝cos15°－sin15°＝cos30°＝錯誤!。（3)2cos2錯誤!－1＝cos錯誤!＝－錯誤!。（4)錯誤!＝錯誤!＝錯誤!tan60°＝錯誤!?；唵栴}[典例]化簡：(1）錯誤!－錯誤!;錯誤!。[解](1)原式＝錯誤!＝錯誤!＝tan2θ。（2)原式＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!1.(1）化簡三角函數(shù)式的常用方法：①切化弦;②異名化同名；③異角化同角；④高次降低次．2)化簡三角函數(shù)式的常用技巧：①特別角的三角函數(shù)與特別值的互化；3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精②對于分式形式，應(yīng)分別對分子、分母進行變形辦理,有公因式的提取公因式后進行約分；③對于二次根式，注意倍角公式的逆用；④利用角與角之間的隱含關(guān)系，如互余、互補等;⑤利用“1”的恒等變形,如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．[活學(xué)活用］化簡：(1)錯誤!－tanθtan2θ；22221(2)sinαsinβ＋cosαcosβ－2cos2αcos2β.1θ－tan解：(1)cos2θtan2θ＝錯誤!－錯誤!＝錯誤!1－2sin2θcos2θ＝錯誤!＝1.2222122（2)原式＝sinαsinβ＋cosαcosβ－2（2cosα－1)·(2cosβ－1)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－錯誤!（4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1）sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－錯誤!sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－錯誤!sin2β＋cos2β－錯誤!＝1－錯誤!＝錯誤!.給值求值［典例］已知cos錯誤!＝錯誤!，錯誤!≤α〈錯誤!，求cos錯誤!的值．[解]∵錯誤!≤α〈錯誤!，∴錯誤!≤α＋錯誤!〈錯誤!?！遚os錯誤!〉0，∴錯誤!<α＋錯誤!<錯誤!.∴sin錯誤!＝－錯誤!＝－錯誤!＝－錯誤!。cos2α＝sin錯誤!＝2sin錯誤!cos錯誤!＝2×錯誤!×錯誤!＝－錯誤!，2sin2α＝－cos錯誤!＝1－2cos錯誤!cos錯誤!＝錯誤!cos2α－錯誤!sin2α＝錯誤!×錯誤!＝－錯誤!.4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精［一題多變］1．［變設(shè)問］本例條件不變,求錯誤!的值．解：原式＝錯誤!＝錯誤!(cosα－sinα)＝2cos錯誤!＝錯誤!。π2．[變條件，變設(shè)問]若本例條件變?yōu)?若x∈［0，2,sin錯誤!＝錯誤!，求sin錯誤!的值．解：由sin錯誤!＝錯誤!,得sinxcos錯誤!－cosxsin錯誤!＝錯誤!，兩邊平方，得錯誤!sin2x＋錯誤!－錯誤!sin2x＝錯誤!，∴錯誤!·錯誤!＋錯誤!－錯誤!sin2x＝錯誤!,即sin2x·3＋cos2x·錯誤!＝錯誤!，2∴sin錯誤!＝錯誤!.解決條件求值問題的方法給值求值問題，注意搜尋已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個觀察方向：(1）有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系光亮化；2)搜尋角之間的關(guān)系，看可否適合相關(guān)公式的使用，注意常有角的變換和角之間的二倍關(guān)系．層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1．若sin錯誤!＝錯誤!，則cosα＝（)A．－錯誤!B．－錯誤!C。錯誤!D。錯誤!剖析:選C因為sin錯誤!＝錯誤!,因此cosα＝1－2sin2錯誤!＝1－2×錯誤!2＝錯誤!.2．以下各式中，值為錯誤!的是( )A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°剖析：選Bcos215°－sin215°＝cos30°＝錯誤!.3．已知α為第三象限角，且cosα＝－錯誤!，則tan2α的值為（)5學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4A．－3B.錯誤!C．－錯誤!D．－2剖析：選A由題意可得，sinα＝－錯誤!＝－錯誤!，∴tanα＝2，∴tan2α＝錯誤!＝－錯誤!，應(yīng)選A。4．化簡錯誤!·錯誤!等于（）A．2cosαB．2sinαC。錯誤!D．cosα剖析:選A原式＝錯誤!·錯誤!＝2cosα.5．已知α為銳角，且滿足cos2α＝sinα，則α等于（）A．75°B．45°C．60°D．30°剖析：選D因為cos2α＝1－2sin2α，故由題意,知2sin2α＋sinα－1＝0，即（sinα＋1)（2sinα－1）＝0.因為α為銳角，因此sinα＝錯誤!，因此α＝30°。應(yīng)選D.6．已知tanx＝2，則tan2錯誤!＝________.剖析：∵tanx＝2,∴tan2x＝錯誤!＝－錯誤!。tan2錯誤!＝tan錯誤!＝錯誤!cos2xsin2x＝－錯誤!＝錯誤!.答案：錯誤!7．已知sin錯誤!＋cos錯誤!＝錯誤!,那么sinθ＝____________,cos2θ＝____________.剖析:∵sin錯誤!＋cos錯誤!＝錯誤!，2∴錯誤!＝錯誤!，即1＋2sin錯誤!cos錯誤!＝錯誤!,sinθ＝錯誤!，cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×錯誤!2＝錯誤!。1答案：3錯誤!8．求值：錯誤!－錯誤!＝________。6學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精剖析:原式＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝4.答案:49．已知α為第二象限角,且sinα＝錯誤!，求錯誤!的值．解：原式＝錯誤!＝錯誤!.α為第二象限角，且sinα＝錯誤!，∴sinα＋cosα≠0，cosα＝－錯誤!，∴原式＝錯誤!＝－錯誤!.10．已知α，β均為銳角,且tanα＝7，cosβ＝錯誤!，求α＋2β的值．解：∵β為銳角，且cosβ＝錯誤!，∴sinβ＝錯誤!。tanβ＝1，tan2β＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!。2π0<2β<2，0〈α＋2β〈π，又tan（α＋2β）＝錯誤!＝錯誤!＝－1，∴α＋2β＝錯誤!。層級二應(yīng)試能力達標(biāo)1．已知sin2α＝錯誤!，則cos2錯誤!＝（）A.錯誤!B。錯誤!C。錯誤!D.錯誤!剖析:選A∵sin2α＝錯誤!,cos2錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!。2．若錯誤!＝錯誤!,則cos錯誤!的值為(）A.錯誤!B．－錯誤!C．－錯誤!D。錯誤!剖析：選A因為錯誤!＝錯誤!,因此錯誤!＝錯誤!,因此cosα－sinα＝錯誤!，平方得1－2cosαsinα＝錯誤!，α7α因此sin2＝8，因此cos錯誤!＝sin2＝錯誤!。3．化簡:錯誤!＝(）7學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A。錯誤!B．－錯誤!C．－1D．1剖析：選B原式＝錯誤!＝－錯誤!＝－錯誤!＝－錯誤!。4．已知sin錯誤!＝錯誤!，則cos2錯誤!的值是（)A。錯誤!B。錯誤!C．－錯誤!D．－錯誤!剖析:選D∵sin錯誤!＝錯誤!，cos錯誤!＝cos2錯誤!＝1－2sin2錯誤!＝錯誤!,cos2錯誤!＝cos錯誤!＝cos錯誤!＝－cos錯誤!＝－錯誤!.5．等腰三角形一個底角的余弦為錯誤!，那么這個三角形頂角的正弦值為________．2剖析：設(shè)A是等腰△ABC的頂角，則cosB＝3，sinB＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!.因此sinA＝sin（180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB2×錯誤!×錯誤!＝錯誤!。答案：錯誤!6．已知角α，β為銳角，且1－cos2α＝sinαcosα,tan(β－α）＝錯誤!，則β＝________.剖析：由1－cos2α＝sinαcosα，得1－（1－2sin2α）＝sinαcosα，即2sin2αsinαcosα?！擀翞殇J角，∴sinα≠0，∴2sinα＝cosα，即tanα＝錯誤!。法一:由tan（β－α)＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!，得tanβ＝1。∵β為銳角，∴β＝錯誤!.法二:tanβ＝tan（β－α＋α)＝錯誤!＝錯誤!＝1?！擀聻殇J角,∴β＝錯誤!.答案：錯誤!7．已知向量m＝錯誤!，n＝(sinα，1）,m與n為共線向量，且α∈錯誤!。(1）求sinα＋cosα的值．sin2α2)求sinα－cosα的值．解：(1)因為m與n為共線向量,8學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精因此錯誤!×1－(－1)×sinα＝0，即sinα＋cosα＝錯誤!.2）因為1＋sin2α＝（sinα＋cosα）2＝錯誤!，因此sin2α＝－錯誤!，因為（sinα＋cosα）2＋（sinα－cosα)2＝2，22因此(sinα－cosα）＝2－錯誤!＝錯誤!.因此sinα－cosα<0，sinα－cosα＝－錯誤!。因此,錯誤!＝錯誤!。8．已知sin錯誤!－2cos錯誤!＝0。