高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換321倍角公式學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．2。1倍角公式預(yù)習(xí)課本P143～144，思慮并完成以下問題（1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推導(dǎo)？聯(lián)系已學(xué)公式，考慮cos2α，sin2α有哪幾種變形方法？錯(cuò)誤!二倍角公式錯(cuò)誤!1．判斷以下命題可否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×")（1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．（)(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．（)（3)對(duì)任意角α，總有tan2α＝錯(cuò)誤!.(）答案：(1)×（2)√(3)×2．已知sinα＝錯(cuò)誤!,cosα＝錯(cuò)誤!，則sin2α等于(）1學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A。錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!答案：D3．計(jì)算cos215°－sin215°結(jié)果等于(）A.錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!答案:D34．已知α為第三象限角，cosα＝－5，則tan2α＝________.答案：－錯(cuò)誤!給角求值問題[典例］求以下各式的值:1)sinπcosπ；(2）1－2sin2750°；1212(3）錯(cuò)誤!;（4)cos20°cos40°cos80°。［解］(1)原式＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°cos(4×360°＋60°)cos60°＝錯(cuò)誤!.原式＝tan(2×150°）＝tan300°＝tan（360°－60°）＝－tan60°＝－錯(cuò)誤!.原式＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。此類題型（1)(2）（3)小題直接利用公式或逆用公式較為簡單．而（4)小題經(jīng)過觀察角2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精度的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)(二倍角形式），逆用正弦二倍角公式,使得問題中可連用正弦二倍角公式，因此在解題過程中要注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及角之間可否存在特其他倍數(shù)關(guān)系，靈活運(yùn)用公式及其變形，從而使問題瓜熟蒂落．［活學(xué)活用]求以下各式的值．（1）sin錯(cuò)誤!sin錯(cuò)誤!；(2)cos2215°－cos75°；(3）2cos2錯(cuò)誤!－1；(4）錯(cuò)誤!。解：(1)∵sin錯(cuò)誤!＝sin錯(cuò)誤!＝cos錯(cuò)誤!，∴sin錯(cuò)誤!sin錯(cuò)誤!＝sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!·2sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!πsin4＝錯(cuò)誤!。(2）∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，2222∴cos15°－cos75°＝cos15°－sin15°＝cos30°＝錯(cuò)誤!。（3)2cos2錯(cuò)誤!－1＝cos錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!。（4)錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!tan60°＝錯(cuò)誤!?；唵栴}[典例]化簡：(1）錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!;錯(cuò)誤!。[解](1)原式＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝tan2θ。（2)原式＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!1.(1）化簡三角函數(shù)式的常用方法：①切化弦;②異名化同名；③異角化同角；④高次降低次．2)化簡三角函數(shù)式的常用技巧：①特別角的三角函數(shù)與特別值的互化；3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精②對(duì)于分式形式，應(yīng)分別對(duì)分子、分母進(jìn)行變形辦理,有公因式的提取公因式后進(jìn)行約分；③對(duì)于二次根式，注意倍角公式的逆用；④利用角與角之間的隱含關(guān)系，如互余、互補(bǔ)等;⑤利用“1”的恒等變形,如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．[活學(xué)活用］化簡：(1)錯(cuò)誤!－tanθtan2θ；22221(2)sinαsinβ＋cosαcosβ－2cos2αcos2β.1θ－tan解：(1)cos2θtan2θ＝錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!1－2sin2θcos2θ＝錯(cuò)誤!＝1.2222122（2)原式＝sinαsinβ＋cosαcosβ－2（2cosα－1)·(2cosβ－1)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－錯(cuò)誤!（4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1）sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－錯(cuò)誤!sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－錯(cuò)誤!sin2β＋cos2β－錯(cuò)誤!＝1－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!.給值求值［典例］已知cos錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!≤α〈錯(cuò)誤!，求cos錯(cuò)誤!的值．[解]∵錯(cuò)誤!≤α〈錯(cuò)誤!，∴錯(cuò)誤!≤α＋錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!?！遚os錯(cuò)誤!〉0，∴錯(cuò)誤!<α＋錯(cuò)誤!<錯(cuò)誤!.∴sin錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!。cos2α＝sin錯(cuò)誤!＝2sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!＝2×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!，2sin2α＝－cos錯(cuò)誤!＝1－2cos錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!cos2α－錯(cuò)誤!sin2α＝錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!.4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精［一題多變］1．［變?cè)O(shè)問］本例條件不變,求錯(cuò)誤!的值．解：原式＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!(cosα－sinα)＝2cos錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。π2．[變條件，變?cè)O(shè)問]若本例條件變?yōu)?若x∈［0，2,sin錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，求sin錯(cuò)誤!的值．解：由sin錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!,得sinxcos錯(cuò)誤!－cosxsin錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，兩邊平方，得錯(cuò)誤!sin2x＋錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!sin2x＝錯(cuò)誤!，∴錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!sin2x＝錯(cuò)誤!,即sin2x·3＋cos2x·錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，2∴sin錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!.解決條件求值問題的方法給值求值問題，注意搜尋已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個(gè)觀察方向：(1）有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系光亮化；2)搜尋角之間的關(guān)系，看可否適合相關(guān)公式的使用，注意常有角的變換和角之間的二倍關(guān)系．層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．若sin錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，則cosα＝（)A．－錯(cuò)誤!B．－錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤!剖析:選C因?yàn)閟in錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!,因此cosα＝1－2sin2錯(cuò)誤!＝1－2×錯(cuò)誤!2＝錯(cuò)誤!.2．以下各式中，值為錯(cuò)誤!的是( )A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°剖析：選Bcos215°－sin215°＝cos30°＝錯(cuò)誤!.3．已知α為第三象限角，且cosα＝－錯(cuò)誤!，則tan2α的值為（)5學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4A．－3B.錯(cuò)誤!C．－錯(cuò)誤!D．－2剖析：選A由題意可得，sinα＝－錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!，∴tanα＝2，∴tan2α＝錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!，應(yīng)選A。4．化簡錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!等于（）A．2cosαB．2sinαC。錯(cuò)誤!D．cosα剖析:選A原式＝錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!＝2cosα.5．已知α為銳角，且滿足cos2α＝sinα，則α等于（）A．75°B．45°C．60°D．30°剖析：選D因?yàn)閏os2α＝1－2sin2α，故由題意,知2sin2α＋sinα－1＝0，即（sinα＋1)（2sinα－1）＝0.因?yàn)棣翞殇J角，因此sinα＝錯(cuò)誤!，因此α＝30°。應(yīng)選D.6．已知tanx＝2，則tan2錯(cuò)誤!＝________.剖析：∵tanx＝2,∴tan2x＝錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!。tan2錯(cuò)誤!＝tan錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!cos2xsin2x＝－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!.答案：錯(cuò)誤!7．已知sin錯(cuò)誤!＋cos錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!,那么sinθ＝____________,cos2θ＝____________.剖析:∵sin錯(cuò)誤!＋cos錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，2∴錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，即1＋2sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!,sinθ＝錯(cuò)誤!，cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×錯(cuò)誤!2＝錯(cuò)誤!。1答案：3錯(cuò)誤!8．求值：錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＝________。6學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精剖析:原式＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝4.答案:49．已知α為第二象限角,且sinα＝錯(cuò)誤!，求錯(cuò)誤!的值．解：原式＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!.α為第二象限角，且sinα＝錯(cuò)誤!，∴sinα＋cosα≠0，cosα＝－錯(cuò)誤!，∴原式＝錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!.10．已知α，β均為銳角,且tanα＝7，cosβ＝錯(cuò)誤!，求α＋2β的值．解：∵β為銳角，且cosβ＝錯(cuò)誤!，∴sinβ＝錯(cuò)誤!。tanβ＝1，tan2β＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。2π0<2β<2，0〈α＋2β〈π，又tan（α＋2β）＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝－1，∴α＋2β＝錯(cuò)誤!。層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．已知sin2α＝錯(cuò)誤!，則cos2錯(cuò)誤!＝（）A.錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!剖析:選A∵sin2α＝錯(cuò)誤!,cos2錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。2．若錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!,則cos錯(cuò)誤!的值為(）A.錯(cuò)誤!B．－錯(cuò)誤!C．－錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤!剖析：選A因?yàn)殄e(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!,因此錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!,因此cosα－sinα＝錯(cuò)誤!，平方得1－2cosαsinα＝錯(cuò)誤!，α7α因此sin2＝8，因此cos錯(cuò)誤!＝sin2＝錯(cuò)誤!。3．化簡:錯(cuò)誤!＝(）7學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A。錯(cuò)誤!B．－錯(cuò)誤!C．－1D．1剖析：選B原式＝錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!。4．已知sin錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，則cos2錯(cuò)誤!的值是（)A。錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤!C．－錯(cuò)誤!D．－錯(cuò)誤!剖析:選D∵sin錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，cos錯(cuò)誤!＝cos2錯(cuò)誤!＝1－2sin2錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!,cos2錯(cuò)誤!＝cos錯(cuò)誤!＝cos錯(cuò)誤!＝－cos錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!.5．等腰三角形一個(gè)底角的余弦為錯(cuò)誤!，那么這個(gè)三角形頂角的正弦值為________．2剖析：設(shè)A是等腰△ABC的頂角，則cosB＝3，sinB＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!.因此sinA＝sin（180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB2×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。答案：錯(cuò)誤!6．已知角α，β為銳角，且1－cos2α＝sinαcosα,tan(β－α）＝錯(cuò)誤!，則β＝________.剖析：由1－cos2α＝sinαcosα，得1－（1－2sin2α）＝sinαcosα，即2sin2αsinαcosα?！擀翞殇J角，∴sinα≠0，∴2sinα＝cosα，即tanα＝錯(cuò)誤!。法一:由tan（β－α)＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，得tanβ＝1?！擀聻殇J角，∴β＝錯(cuò)誤!.法二:tanβ＝tan（β－α＋α)＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝1?！擀聻殇J角,∴β＝錯(cuò)誤!.答案：錯(cuò)誤!7．已知向量m＝錯(cuò)誤!，n＝(sinα，1）,m與n為共線向量，且α∈錯(cuò)誤!。(1）求sinα＋cosα的值．sin2α2)求sinα－cosα的值．解：(1)因?yàn)閙與n為共線向量,8學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精因此錯(cuò)誤!×1－(－1)×sinα＝0，即sinα＋cosα＝錯(cuò)誤!.2）因?yàn)?＋sin2α＝（sinα＋cosα）2＝錯(cuò)誤!，因此sin2α＝－錯(cuò)誤!，因?yàn)椋╯inα＋cosα）2＋（sinα－cosα)2＝2，22因此(sinα－cosα）＝2－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!.因此sinα－cosα<0，sinα－cosα＝－錯(cuò)誤!。因此,錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。8．已知sin錯(cuò)誤!－2cos錯(cuò)誤!＝0。