等差數(shù)列前n項求和課件

等差數(shù)列前n項和公式等差數(shù)列前n項和公式1復習回顧2、等差數(shù)列的通項公式:已知首項a1和公差d,則有:

an=a1+(n-1)d已知第m項am和公差d,則有:

an=am+(n-m)d3、等差數(shù)列的性質(zhì):

在等差數(shù)列﹛an﹜中,如果m+n=p+q

(m,n,p,q∈N*),那么:an+am=ap+aq

1、等差數(shù)列的概念

an-an-1=d(n∈N*且n≥2)復習回顧1、等差數(shù)列的概念an-an-1=d(2課前練習1.在數(shù)列中，若，，則該數(shù)列的通項

.2.已知等差數(shù)列中，首項,公差，則－397是該數(shù)列的第______項.3.是等差數(shù)列，且a1+a4+a7+a10=46，則a3+a8=

，4. 已知{an}是等差數(shù)列，且a3=3,a6=15，則a9=

,5.三個數(shù)成遞增的等差數(shù)列，它們的乘積為48，和為12，這三個數(shù)為

，2n-120023272,4,6課前練習1.在數(shù)列中，若，3

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？問題呈現(xiàn)

問題1泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰4200多年前，德國古代著名數(shù)學家高斯10歲的時候很快就解決了這個問題。你知道高斯是怎樣計算的嗎？高斯十歲時，有一次老師出了一道題目，老師說:“現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+…100=?”過了兩分鐘，正當大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：“1+2+3+…+100=5050．”200多年前，德國古代著名數(shù)學家高斯10歲的時候很快就解決了1+2+3+……+100=？高斯的算法是：首項與末項的和：第2項與倒數(shù)第2項的和:第3項與倒數(shù)第3項的和:第50項與倒數(shù)第50項的和:于是所求的和是：101×=5050……1+100=1012+99=1013+98=10150+51=1011+2+3+……+100=？高斯的算法是：首項與末項探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

這是求奇數(shù)個項和的問題，不能簡單模仿偶數(shù)個項求和的辦法，需要把中間項11看成首、尾兩項1和21的等差中項。通過前后比較得出認識：高斯“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和。有無簡單的方法？

探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？7探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補成平行四邊形。探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？8探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

123212120191獲得算法：探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？19設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…它的前n項和是

Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序顛倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

下面將對等差數(shù)列的前n項和公式進行推導倒序相加法設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…下面將對等差數(shù)列的前n項和公式10

即前n項的和與首項末項及項數(shù)有關(guān)若已知a1，n，d，則如何表示Sn呢？

即前n項的和與首項末項及項數(shù)有關(guān)11由此得到等差數(shù)列的{an}前n項和的公式即：等差數(shù)列前n項的和等于首末項的和與項數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫成由等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d解題時需根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。正所謂：知三求二由此得到等差數(shù)列的{an}前n項和的公式即：等差數(shù)列前n項的12解：公式應用選用公式之解：公式應用選用公式之13練習一根據(jù)條件，求相應等差數(shù)列{an}的Sn:①a1=5,an=95,n=10;②a1=100,d=－2,n=50;答案：①500；②2550；練習一根據(jù)條件，求相應等差數(shù)列{an}的Sn:答案：①公式應用變用公式

例2等差數(shù)列－10，－6，－2，2，…的前

多少項的和為54？解:設(shè)該數(shù)列為{an},前n項的和是54,∵a1=－10,d=－6－(－10)=4,解得n=9,n=－3(舍棄).因此等差數(shù)列－10,－6,－2,2,…前9項的和是54.整理得n2－6n－27=0.之公式應用變用公式例2等差數(shù)列－10，－6，－2，2，…的15練習二等差數(shù)列的前項和記為.已知,.(1)求通項;(2)令,求.練習二等差數(shù)列的前項和記等差數(shù)列前n項求和課件等差數(shù)列前n項求和課件

1.推導等差數(shù)列前n項和公式的方法小結(jié)：2.公式的應用中的數(shù)學思想.

-------倒序相加法-------方程思想3.公式中五個量a1,d,an,n,sn,已知其中三個量，可以求其余兩個-------知三求二1.推導等差數(shù)列前n項和公式的方法小結(jié)：2.公式的應用19等差數(shù)列前n項和公式等差數(shù)列前n項和公式20復習回顧2、等差數(shù)列的通項公式:已知首項a1和公差d,則有:

an=a1+(n-1)d已知第m項am和公差d,則有:

an=am+(n-m)d3、等差數(shù)列的性質(zhì):

在等差數(shù)列﹛an﹜中,如果m+n=p+q

(m,n,p,q∈N*),那么:an+am=ap+aq

1、等差數(shù)列的概念

an-an-1=d(n∈N*且n≥2)復習回顧1、等差數(shù)列的概念an-an-1=d(21課前練習1.在數(shù)列中，若，，則該數(shù)列的通項

.2.已知等差數(shù)列中，首項,公差，則－397是該數(shù)列的第______項.3.是等差數(shù)列，且a1+a4+a7+a10=46，則a3+a8=

，4. 已知{an}是等差數(shù)列，且a3=3,a6=15，則a9=

,5.三個數(shù)成遞增的等差數(shù)列，它們的乘積為48，和為12，這三個數(shù)為

，2n-120023272,4,6課前練習1.在數(shù)列中，若，22

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？問題呈現(xiàn)

問題1泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰23200多年前，德國古代著名數(shù)學家高斯10歲的時候很快就解決了這個問題。你知道高斯是怎樣計算的嗎？高斯十歲時，有一次老師出了一道題目，老師說:“現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+…100=?”過了兩分鐘，正當大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：“1+2+3+…+100=5050．”200多年前，德國古代著名數(shù)學家高斯10歲的時候很快就解決了1+2+3+……+100=？高斯的算法是：首項與末項的和：第2項與倒數(shù)第2項的和:第3項與倒數(shù)第3項的和:第50項與倒數(shù)第50項的和:于是所求的和是：101×=5050……1+100=1012+99=1013+98=10150+51=1011+2+3+……+100=？高斯的算法是：首項與末項探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

這是求奇數(shù)個項和的問題，不能簡單模仿偶數(shù)個項求和的辦法，需要把中間項11看成首、尾兩項1和21的等差中項。通過前后比較得出認識：高斯“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和。有無簡單的方法？

探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？26探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補成平行四邊形。探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？27探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

123212120191獲得算法：探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？128設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…它的前n項和是

Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序顛倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

下面將對等差數(shù)列的前n項和公式進行推導倒序相加法設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…下面將對等差數(shù)列的前n項和公式29

即前n項的和與首項末項及項數(shù)有關(guān)若已知a1，n，d，則如何表示Sn呢？

即前n項的和與首項末項及項數(shù)有關(guān)30由此得到等差數(shù)列的{an}前n項和的公式即：等差數(shù)列前n項的和等于首末項的和與項數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫成由等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d解題時需根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。正所謂：知三求二由此得到等差數(shù)列的{an}前n項和的公式即：等差數(shù)列前n項的31解：公式應用選用公式之解：公式應用選用公式之32練習一根據(jù)條件，求相應等差數(shù)列{an}的Sn:①a1=5,an=95,n=10;②a1=100,d=－2,n=50;答案：①500；②2550；練習一根據(jù)條件，求相