不定積分習題課件

第四章不定積分習題課

第四章不定積分習題課1一、不定積分的基本概念與性質(zhì)1．原函數(shù)與不定積分的概念(1)原函數(shù)的定義：

(2)不定積分的定義：設為一個原函數(shù)，則

在區(qū)間上，若則稱是在上原函數(shù)。

一、不定積分的基本概念與性質(zhì)1．原函數(shù)與不定積分的概念(1)22．不定積分的性質(zhì)(1)線性性質(zhì)：

(2)微分與積分運算：2．不定積分的性質(zhì)(1)線性性質(zhì)：(2)微分與積分運3二、基本計算方法1．直接積分法

首先要對被積函數(shù)進行恒等變形，然后利用不定積分的基本性質(zhì)和基本積分表求出不定積分。常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,二、基本計算方法1．直接積分法首先要對被積函數(shù)42．第一類換元法（湊微分法）：

設，則常用的幾種配元形式:

萬能湊冪法2．第一類換元法（湊微分法）：設，則常用的幾種配元形式:5（適合求形如的積分）（P197例12）的積分）（適合求形如的積分）（適合求形如（適合求形如的積分）（P197例12）的積分）（適合求形如的6的積分）（適合求形如9）（P199例17）10)(1)分項積分:(2)降低冪次:利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如常用簡化技巧:的積分）（適合求形如9）（P199例17）10)(1)分73．第二類換元法（變量置換法）：第二類換元法：三角代換倒代換簡單無理函數(shù)代換

注意：式中

回代。必須單調(diào)可導，對t作完積分后,

要用反函數(shù)3．第二類換元法（變量置換法）：第二類換元法：三角代換倒代8第二類換元法常見類型:令令令或令令7)分母中因子次數(shù)較高時,可試用倒代換

令令8)第二類換元法常見類型:令令令或令令7)分母中因子次94．分部積分法：

或使用原則:1)由易求出v;2)比好求.一般經(jīng)驗:按“反,對,冪,指,三”的順序,排前者取為u,排后者取為題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;4．分部積分法：或使用原則:1)由易求出v;2)比105．有理函數(shù)的積分法：

積分法要點：若是假分式，先作多項式除法，使使之變?yōu)橐淮畏质胶投畏质降拇鷶?shù)和。之變?yōu)椋骸岸囗検?真分式”。對真分式進行分項，其中部分分式的形式為(1)用拼湊法(2)用賦值法分解方法：5．有理函數(shù)的積分法：積分法要點：若是假分式11四種典型部分分式的積分:

變分子為

再分項積分

四種典型部分分式的積分:變分子為再分項積分126．萬能公式法：

如果被積函數(shù)是三角函數(shù)有理式則可采用萬能公式。令則從而說明:通常求含的積分時,往往更方便.的有理式用代換6．萬能公式法：如果被積函數(shù)是三角函數(shù)有理式則可采用萬能13需要注意的問題(1)一般方法不一定是最簡便的方法,(2)初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù),要注意綜合使用各種基本積分法,簡便計算.因此不一定都能積出.例如,需要注意的問題(1)一般方法不一定是最簡便的方法,(2)14三、典型例題、【例1】設是的原函數(shù)，求解：由于是的原函數(shù)，故令，則三、典型例題、【例1】設是的原函數(shù)，求解：由于是的原函數(shù)15【例2】求不定積分解：利用不定積分的性質(zhì)，可知【例3】求不定積分解：【例2】求不定積分解：利用不定積分的性質(zhì)，可知【例316

分析：由于被積函數(shù)不能直接利用基本公式和湊微然后可利用基本公式。分法求解，所以應該首先對被積函數(shù)進行代數(shù)恒等變形，【例4】求不定積分解：分析：由于被積函數(shù)不能直接利用基本公式和湊微17【例5】求不定積分然后利用湊微分法。分析：一般情況下首先分母要進行有理化，解：【例5】求不定積分然后利用湊微分法。分析：一般情況下首先分18【例6】求不定積分分析：此題屬于型，故湊解：【例6】求不定積分分析：此題屬于型，故湊解：19【例7】求不定積分解：【例7】求不定積分解：20【例8】求不定積分分析：由于被積函數(shù)

，不能直接利用基本公式和湊微分法求解，所以應該先對被積函數(shù)進行代數(shù)恒等變形為：或，再想到湊微分：或，然后進行計算。中含有另外，由于，不能直接計算，可以考慮換元或，然后再進行計算?！纠?】求不定積分分析：由于被積函數(shù)，不能直接利用基本公21解法1：因為所以解法1：因為所以22解法2：因為所以解法3：令,則于是解法2：因為所以解法3：令,則于是23【例9】求不定積分解法1：(倒代換）設則則【例9】求不定積分解法1：(倒代換）設則則24【例10】求不定積分解法2：(三角代換）設則解：【例10】求不定積分解法2：(三角代換）設則解：25【例11】求不定積分分析：若取

積分法計算出結(jié)果，但如果注意到被積函數(shù)的特點，

顯然可以利用分部先將被積函數(shù)進行恒等變形，則會簡化計算。解：原式

注意

運算中綜合使用不同方法往往更有效。

【例11】求不定積分分析：若取積分法計算出結(jié)果，但如果注26【例12】求不定積分分析：由于被積函數(shù)中含有根式，所以首先要令把根式去掉，然后選擇合適的方法計算。另外，觀察被積表達式的特點，由于所以可應用分部積分法計算?！纠?2】求不定積分分析：由于被積函數(shù)中含有根式，所以首先27解法1：令，則所以應用分部積分法所以解法1：令，則所以應用分部積分法所以28解法2：因為所以應用分部積分法解法2：因為所以應用分部積分法29【例13】求不定積分解：【例13】求不定積分解：30【例14】求不定積分分析：設

，則由于中含有和，所以令或去掉根式，然后選擇適當?shù)挠嬎惴椒ā?/p>

進行恒等變形

然后運用基本積分公式就可以計算。另外，可對

【例14】求不定積分分析：設，則由于中含有和，所以令或去31，于是解法2：因為所以，則解法1：令注：在本題的計算中同樣可以選擇其計算的復雜程度與選擇相同。，于是解法2：因為所以，則解法1：令注：在本題的計算中同32【例15】求不定積分分析：

本題中隱含著不能積分的積分項，但在積分的過程中正、負項抵消.解：【例15】求不定積分分析：本題中隱含著不能積分的積分項，33【例16】設的一個原函數(shù)為，求解：由于

為

的原函數(shù)

，故從而

【例16】設的一個原函數(shù)為，求解：由于為的原函數(shù)，故34【例17】求不定積分把假分式化成一個多項式與一個真分式的和，對真

分析：由于被積函數(shù)為有理函數(shù)，且為假分式，所以首先采用拆項積分。解：設即得于是【例17】求不定積分把假分式化成一個多項式與一個真分式的和35【例18】求不定積分分析：由于被積函數(shù)為有理函數(shù)且為真分式，分母是二次

是一次式，而分母的導數(shù)也是一次式，因此將分

質(zhì)因式，即不能分解成一次因式的乘積，注意到分子子變成分母的導數(shù)

形式，所以把分子拆成和8兩部分，而分子可以湊微成，進而可以計算?！纠?8】求不定積分分析：由于被積函數(shù)為有理函數(shù)且為真分式36解：解：37【例19】求不定積分分析：(1)由于被積函數(shù)為三角函數(shù)有理式，所以首先想到用萬能公式計算；(2)對被積函數(shù)進行恒等變形為：進行計算；就可以用換元：

再利用

(3)把被積函數(shù)進行恒等變形為：的關(guān)系進行計算.【例19】求不定積分分析：(1)由于被積函數(shù)為三角函數(shù)有理38解法1：令，則，于是解法1：令，則，于是39解法2：由于被積函數(shù)可化為的函數(shù)，可設則，于是解法2：由于被積函數(shù)可化為的函數(shù)，可設則，于是40解法3：由于所以注：(1)通過上面三種解法可看出，用萬能代換計算三角函數(shù)有理式的積分一定能解出，但計算復雜，所以不是最優(yōu)的。其余的二種解法，很明顯解法3最簡單快捷，因為它首先對被積函數(shù)進行了恒等變形，進而轉(zhuǎn)化成幾個基本積分公式的代數(shù)和。

(2)在計算三角函數(shù)有理式的不定積分時，關(guān)鍵是利用三角公式進行恒等變形，并利用三角函數(shù)與導數(shù)之間的關(guān)系進行換元或湊微。解法3：由于所以注：(1)通過上面三種解法可看出，用萬能代41第四章不定積分習題課

第四章不定積分習題課42一、不定積分的基本概念與性質(zhì)1．原函數(shù)與不定積分的概念(1)原函數(shù)的定義：

(2)不定積分的定義：設為一個原函數(shù)，則

在區(qū)間上，若則稱是在上原函數(shù)。

一、不定積分的基本概念與性質(zhì)1．原函數(shù)與不定積分的概念(1)432．不定積分的性質(zhì)(1)線性性質(zhì)：

(2)微分與積分運算：2．不定積分的性質(zhì)(1)線性性質(zhì)：(2)微分與積分運44二、基本計算方法1．直接積分法

首先要對被積函數(shù)進行恒等變形，然后利用不定積分的基本性質(zhì)和基本積分表求出不定積分。常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,二、基本計算方法1．直接積分法首先要對被積函數(shù)452．第一類換元法（湊微分法）：

設，則常用的幾種配元形式:

萬能湊冪法2．第一類換元法（湊微分法）：設，則常用的幾種配元形式:46（適合求形如的積分）（P197例12）的積分）（適合求形如的積分）（適合求形如（適合求形如的積分）（P197例12）的積分）（適合求形如的47的積分）（適合求形如9）（P199例17）10)(1)分項積分:(2)降低冪次:利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如常用簡化技巧:的積分）（適合求形如9）（P199例17）10)(1)分483．第二類換元法（變量置換法）：第二類換元法：三角代換倒代換簡單無理函數(shù)代換

注意：式中

回代。必須單調(diào)可導，對t作完積分后,

要用反函數(shù)3．第二類換元法（變量置換法）：第二類換元法：三角代換倒代49第二類換元法常見類型:令令令或令令7)分母中因子次數(shù)較高時,可試用倒代換

令令8)第二類換元法常見類型:令令令或令令7)分母中因子次504．分部積分法：

或使用原則:1)由易求出v;2)比好求.一般經(jīng)驗:按“反,對,冪,指,三”的順序,排前者取為u,排后者取為題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;4．分部積分法：或使用原則:1)由易求出v;2)比515．有理函數(shù)的積分法：

積分法要點：若是假分式，先作多項式除法，使使之變?yōu)橐淮畏质胶投畏质降拇鷶?shù)和。之變?yōu)椋骸岸囗検?真分式”。對真分式進行分項，其中部分分式的形式為(1)用拼湊法(2)用賦值法分解方法：5．有理函數(shù)的積分法：積分法要點：若是假分式52四種典型部分分式的積分:

變分子為

再分項積分

四種典型部分分式的積分:變分子為再分項積分536．萬能公式法：

如果被積函數(shù)是三角函數(shù)有理式則可采用萬能公式。令則從而說明:通常求含的積分時,往往更方便.的有理式用代換6．萬能公式法：如果被積函數(shù)是三角函數(shù)有理式則可采用萬能54需要注意的問題(1)一般方法不一定是最簡便的方法,(2)初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù),要注意綜合使用各種基本積分法,簡便計算.因此不一定都能積出.例如,需要注意的問題(1)一般方法不一定是最簡便的方法,(2)55三、典型例題、【例1】設是的原函數(shù)，求解：由于是的原函數(shù)，故令，則三、典型例題、【例1】設是的原函數(shù)，求解：由于是的原函數(shù)56【例2】求不定積分解：利用不定積分的性質(zhì)，可知【例3】求不定積分解：【例2】求不定積分解：利用不定積分的性質(zhì)，可知【例357

分析：由于被積函數(shù)不能直接利用基本公式和湊微然后可利用基本公式。分法求解，所以應該首先對被積函數(shù)進行代數(shù)恒等變形，【例4】求不定積分解：分析：由于被積函數(shù)不能直接利用基本公式和湊微58【例5】求不定積分然后利用湊微分法。分析：一般情況下首先分母要進行有理化，解：【例5】求不定積分然后利用湊微分法。分析：一般情況下首先分59【例6】求不定積分分析：此題屬于型，故湊解：【例6】求不定積分分析：此題屬于型，故湊解：60【例7】求不定積分解：【例7】求不定積分解：61【例8】求不定積分分析：由于被積函數(shù)

，不能直接利用基本公式和湊微分法求解，所以應該先對被積函數(shù)進行代數(shù)恒等變形為：或，再想到湊微分：或，然后進行計算。中含有另外，由于，不能直接計算，可以考慮換元或，然后再進行計算?！纠?】求不定積分分析：由于被積函數(shù)，不能直接利用基本公62解法1：因為所以解法1：因為所以63解法2：因為所以解法3：令,則于是解法2：因為所以解法3：令,則于是64【例9】求不定積分解法1：(倒代換）設則則【例9】求不定積分解法1：(倒代換）設則則65【例10】求不定積分解法2：(三角代換）設則解：【例10】求不定積分解法2：(三角代換）設則解：66【例11】求不定積分分析：若取

積分法計算出結(jié)果，但如果注意到被積函數(shù)的特點，

顯然可以利用分部先將被積函數(shù)進行恒等變形，則會簡化計算。解：原式

注意

運算中綜合使用不同方法往往更有效。

【例11】求不定積分分析：若取積分法計算出結(jié)果，但如果注67【例12】求不定積分分析：由于被積函數(shù)中含有根式，所以首先要令把根式去掉，然后選擇合適的方法計算。另外，觀察被積表達式的特點，由于所以可應用分部積分法計算?！纠?2】求不定積分分析：由于被積函數(shù)中含有根式，所以首先68解法1：令，則所以應用分部積分法所以解法1：令，則所以應用分部積分法所以69解法2：因為所以應用分部積分法解法2：因為所以應用分部積分法70【例13】求不定積分解：【例13】求不定積分解：71【例14】求不定積分分析：設

，則由于中含有和，所以令或去掉根式，然后選擇適當?shù)挠嬎惴椒ā?/p>

進行恒等變形

然后運用基本積分公式就可以計算。另外，可對

【例14】求不定積分分析：設，則由于中含有和，所以令或去72，于是解法2：因為所以，則解法1：令注：在本題的計算中同樣可以選擇其計算的復雜程度與選擇相同。，于是解法2：因為所以，則解法1：令注：在本題的計算中同73【例15】求不定積分分析：

本題中隱含著不能積分的積分項，但在積分的過程中正、負項抵消.解：【例15】求不定積分分析：本題中隱含著不能積分的積分項，74【例16】設的一個原函數(shù)為，求解：由于

為

的原函數(shù)

，故從而

【例16】設的一個原函數(shù)為，求解：由于為的原函數(shù)，故75【例17】求不定積分把假分式化成一個多項式與一個真分式的和，對真

分析：由于被積函數(shù)為有理函數(shù)，且為假分